V235.XGP[TEX,DEK]1 - www.SailDart.org

perm filename V235.XGP[TEX,DEK]1 blob sn#407115 filedate 1979-01-01 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000275*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	←␈↓ α6␈εαSECTION␈α3.5␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β

␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα140␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.5.␈α
WHA␈α⎇T␈α
IS␈α∞A␈α
RANDOM␈α
SE␈α␈QUENCE?
␈βαj␈↓ ↓H␈ε∩A.␈αλIn␈α␈troductory␈αλremarks.␈εα␈α⊃We␈αλhav␈α␈e␈αλseen␈α	in␈αλthis␈αλchapter␈α	ho␈α␈w␈αλto␈αλgenerate␈αλsequences
␈ββA␈↓ ¬␈ε⊗h␈↓ ¬_␈ελU␈↓ ¬A␈ε⊗i␈εα␈α
=␈↓ ε¬␈ελU␈↓ ε+␈εα,␈↓ εC␈ελU␈↓ εh␈εα,␈↓ π␈ελU␈↓ π&␈εα,␈↓ π>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εα(1)
␈ββO␈↓ ¬/␈εn␈↓ ε≤␈ε¬0␈↓ εZ␈ε¬1␈↓ π↔␈ε¬2
␈β∧_␈↓ ↓H␈εαof␈α
real␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞in␈α
the␈α
range␈α∞0␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬h␈ελU␈↓ ε≡␈εα<␈α1,␈α∞and␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α∞called␈α
them␈α
\random"
␈β∧&␈↓ ¬␈␈εn
␈β∧D␈↓ ↓H␈εαsequences␈α
ev␈α␈en␈α∞though␈α∞they␈α∞are␈α∞completely␈α∞deterministic␈α
in␈α∞character.␈α∩To␈α
jus-
␈β∧o␈↓ ↓H␈εαtify␈αthis␈αterminology,␈αw␈α␈e␈αclaimed␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α\behav␈α␈e␈αas␈αif␈αthey␈αare␈αtruly
␈β¬~␈↓ ↓H␈εαrandom."␈α∩Such␈α∞a␈α∞statemen␈α␈t␈α∞may␈α∂be␈α∞satisfactory␈α∞for␈α∞practical␈α∞purposes␈α∞(at␈α∞the
␈β¬E␈↓ ↓H␈εαpresen␈α␈t␈α⊂time),␈α⊂but␈α⊂it␈α⊂sidesteps␈α⊂a␈α⊂v␈α␈ery␈α⊂importan␈α␈t␈α⊂philosophical␈α⊂and␈α∂theoretical
␈β¬p␈↓ ↓H␈εαquestion:␈α∀Precisely␈α⊂what␈α⊂do␈α⊂w␈α␈e␈α⊂mean␈α⊂by␈α⊂\random␈α⊂behavior"?␈α↔A␈α⊂quan␈α␈titativ␈α␈e
␈βε≤␈↓ ↓H␈εαde|nition␈α⊂is␈α⊂needed.␈α→It␈α⊂is␈α⊂undesirable␈α⊃to␈α⊂talk␈α⊂about␈α⊂concepts␈α⊃that␈α⊂w␈α␈e␈α⊂do␈α⊂not
␈βεG␈↓ ↓H␈εαreally␈αunderstand,␈αespecially␈αsince␈αman␈α␈y␈αapparen␈α␈tly␈αparado␈α␈xical␈αstatemen␈α␈ts␈αcan
␈βεr␈↓ ↓H␈εαbe␈αmade␈αabout␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers.
␈βπ≥␈↓ α␈εαThe␈α⊃mathematical␈α⊂theory␈α⊃of␈α⊂probability␈α⊃and␈α⊂statistics␈α⊃carefully␈α⊂sidesteps
␈βπI␈↓ ↓H␈εαthe␈α
question;␈αit␈αrefrains␈αfrom␈αmaking␈α
absolute␈αstatemen␈α␈ts,␈αand␈αinstead␈α
expresses
␈βπt␈↓ ↓H␈εαev␈α␈erything␈α∂in␈α⊂terms␈α∂of␈α⊂ho␈α␈w␈α∂m␈α␈uch␈ε∂␈α⊂probability␈εα␈α⊂is␈α∂to␈α⊂be␈α∂attached␈α⊂to␈α∂statemen␈α␈ts
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈olving␈α⊂random␈α⊃sequences␈α⊂of␈α⊃ev␈α␈en␈α␈ts.␈α~The␈α⊂axioms␈α⊃of␈α⊂probability␈α⊃theory␈α⊂are
␈βλJ␈↓ ↓H␈εαset␈α∂up␈α⊂so␈α⊂that␈α∂abstract␈α⊂probabilities␈α⊂can␈α∂be␈α⊂computed␈α⊂readily,␈α⊂but␈α⊂nothing␈α∂is
␈βλu␈↓ ↓H␈εαsaid␈αabout␈α
what␈α
probability␈αreally␈α
signi|es,␈α
or␈αho␈α␈w␈α
this␈α
concept␈αcan␈α
be␈αapplied
␈β	!␈↓ ↓H␈εαmeaningfully␈αto␈αthe␈αactual␈αw␈α␈orld.␈αIn␈αthe␈αbook␈ε∂␈αProbability,␈αStatistics,␈αand␈αTruth
␈β	L␈↓ ↓H␈εα(New␈α	York:␈αMacmillan,␈α	1957),␈α
R.␈α
v␈α␈on␈α	Mises␈α	discusses␈α
this␈α	situation␈α	in␈α
detail,␈α	and
␈β	w␈↓ ↓H␈εαpresen␈α␈ts␈αthe␈αview␈αthat␈αa␈αproper␈αde|nition␈αof␈αprobability␈αdepends␈αon␈αobtaining␈αa
␈β
"␈↓ ↓H␈εαproper␈αde|nition␈αof␈αa␈αrandom␈αsequence.
␈β
N␈↓ α␈εαLet␈αus␈αparaphrase␈α
here␈αsome␈αstatemen␈α␈ts␈αmade␈αby␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αof␈αthe␈αman␈α␈y␈αauthors
␈β
y␈↓ ↓H␈εαwho␈αhav␈α␈e␈αcommen␈α␈ted␈αon␈αthe␈αsubject.
␈βP␈↓ α␈ε∂D.␈αH.␈αLehmer␈εα␈α
(1951):␈α\A␈α
random␈αsequence␈αis␈αa␈α
vague␈αnotion␈αem␈α␈bodying␈α
the
␈β|␈↓ α␈εαidea␈α	of␈α
a␈α	sequence␈α	in␈α	which␈α
each␈α	term␈α	is␈α	unpredictable␈α
to␈α	the␈α	uninitiated␈α	and
␈β'␈↓ α␈εαwhose␈α	digits␈α
pass␈α	a␈α	certain␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α	tests,␈α
traditional␈α	with␈α	statisticians␈α	and
␈βR␈↓ α␈εαdepending␈αsomewhat␈αon␈αthe␈αuses␈αto␈αwhich␈αthe␈αsequence␈αis␈αto␈αbe␈αput."
␈β
∃␈↓ α␈ε∂J.␈αN.␈αFranklin␈εα␈α(1962):␈α\The␈αsequence␈α(1)␈αis␈αrandom␈αif␈αit␈αhas␈αev␈α␈ery␈αproperty
␈β
@␈↓ α␈εαthat␈α∂is␈α∞shared␈α∂by␈α∂all␈α∞in|nite␈α∂sequences␈α∂of␈α∞independen␈α␈t␈α∂samples␈α∂of␈α∞random
␈β
k␈↓ α␈εαvariables␈αfrom␈αthe␈αuniform␈αdistribution."
␈β∞B␈↓ α␈εαFranklin's␈απstatemen␈α␈t␈αεessen␈α␈tially␈απgeneralizes␈απLehmer's␈απto␈αεsay␈απthat␈απthe␈αεsequence
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ust␈α⊂satisfy␈ε∂␈α∂all␈εα␈α⊂statistical␈α⊂tests.␈α_His␈α⊂de|nition␈α⊂is␈α⊂not␈α⊂completely␈α⊂precise,␈α⊂and
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α∂will␈α∂see␈α⊂later␈α∂that␈α∂a␈α⊂reasonable␈α∂in␈α␈terpretation␈α⊂of␈α∂his␈α∂statemen␈α␈t␈α⊂leads␈α∂us␈α∂to
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαconclude␈α∞that␈α
there␈α∞is␈α∞no␈α∞such␈α∞thing␈α∞as␈α∞a␈α∞random␈α∞sequence!␈α∩Let␈α∞us␈α∞begin␈α
with
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαLehmer's␈α∂less␈α∂restrictiv␈α␈e␈α⊂statemen␈α␈t␈α∂and␈α∂attempt␈α∂to␈α⊂mak␈α␈e␈ε∂␈α∂it␈εα␈α∂precise.␈α⊗What␈α∂w␈α␈e
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαreally␈αwan␈α␈t␈αis␈αa␈αrelativ␈α␈ely␈αshort␈αlist␈αof␈αmathematical␈αproperties,␈αeach␈αof␈αwhich␈αis
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαsatis|ed␈α
by␈αour␈α
in␈α␈tuitiv␈α␈e␈α
notion␈αof␈α
a␈αrandom␈α
sequence;␈αfurthermore,␈αthe␈αlist␈α
is␈α
to
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαbe␈αcomplete␈αenough␈αso␈αthat␈αw␈α␈e␈αare␈αwilling␈αto␈αagree␈αthat␈ε∂␈αan␈α␈y␈εα␈αsequence␈αsatisfying
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthese␈αproperties␈α
is␈α
\random."␈α∞In␈α
this␈αsection,␈α
w␈α␈e␈α
will␈α
dev␈α␈elop␈αwhat␈α
seems␈α
to␈αbe
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα141
␈βα(␈↓ ↓H␈εαan␈α
adequate␈α
de|nition␈αof␈α
randomness␈α
according␈αto␈α
these␈α
criteria,␈αalthough␈α
man␈α␈y
␈βαS␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teresting␈αquestions␈αremain␈αto␈αbe␈αansw␈α␈ered.
␈ββ↓␈↓ α␈εαLet␈↓ αP␈ελu␈↓ αs␈εαand␈↓ β;␈ελv␈↓ β[␈εαbe␈α∞real␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εA␈ελu␈↓ εc␈εα<␈↓ π∀␈ελv␈↓ π4␈ε⊗∀␈εα␈α
1.␈α⊃If␈↓ λ8␈ελU␈↓ λc␈εαis␈α∞a␈α∞random␈α
variable
␈ββ,␈↓ ↓H␈εαthat␈αis␈αuniformly␈αdistributed␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α0␈α
and␈α1,␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ 	u␈ελu␈↓ 
∃␈ε⊗∀␈↓ 
D␈ελU␈↓ 
k␈εα<␈↓ ~␈ελv
␈ββT␈↓ λ⊂␈ε¬1␈↓ 	6␈ε¬2␈↓ 	|␈ε¬1
␈ββW␈↓ ↓H␈εαis␈αequal␈αto␈↓ αv␈ελv␈↓ β⊃␈ε⊗␈␈↓ β=␈ελu␈↓ βS␈εα.␈αFor␈α
example,␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ λ-␈ε⊗∀␈↓ λ[␈ελU␈↓ 	β␈εα<␈↓ 	T␈εαis␈↓ 
∂␈εα.␈αHo␈α␈w␈αcan
␈ββg␈↓ λ⊂␈∧βgλ⊂α∂␈↓ 	6␈∧βg	6α∂␈↓ 	|␈∧βg	|α∂
␈ββj␈↓ λ⊂␈ε¬3␈↓ 	6␈ε¬3␈↓ 	|␈ε¬3
␈β∧α␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αtranslate␈αthis␈αproperty␈αof␈αthe␈αsingle␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ π6␈ελU␈↓ π←␈εαin␈α␈to␈αa␈αproperty␈αof␈αthe␈αin|nite
␈β∧-␈↓ ↓H␈εαsequence␈↓ α↑␈ελU␈↓ ββ␈εα,␈↓ β≤␈ελU␈↓ βB␈εα,␈↓ βZ␈ελU␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧→␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧I␈εα?␈α∩The␈α∂obvious␈α∞answ␈α␈er␈α∞is␈α∞to␈α∂coun␈α␈t␈α∞ho␈α␈w␈α∞man␈α␈y␈α∞times␈↓ ∧␈ελU
␈β∧;␈↓ αu␈ε¬0␈↓ β3␈ε¬1␈↓ βq␈ε¬2␈↓ ≠␈εn
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εαlies␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ β∂␈ελu␈↓ β0␈εαand␈↓ βv␈ελv␈↓ ∧λ␈εα,␈αand␈αthe␈αav␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtimes␈αshould␈αequal␈↓ 	⎇␈ελv␈↓ 
_␈ε⊗␈␈↓ 
C␈ελu␈↓ 
Y␈εα.␈αOur
␈β¬∧␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tuitiv␈α␈e␈αidea␈αof␈αprobability␈αis␈αbased␈αin␈αthis␈αway␈αon␈α
the␈αfrequency␈αof␈αoccurrence.
␈β¬1␈↓ α␈εαMore␈α⊂precisely,␈α⊃let␈↓ ∧G␈ελ↔␈↓ ∧X␈εα(␈↓ ∧d␈ελn␈↓ ∧y␈εα)␈α⊂be␈α⊂the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α⊂values␈α⊂of␈↓ λ↑␈ελj␈↓ λo␈εα,␈α⊃0␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ 	a␈ελj␈↓ 
↓␈εα<␈↓ 
6␈ελn␈↓ 
L␈εα,␈α⊂such
␈β¬]␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α↔␈ελu␈↓ α9␈ε⊗∀␈↓ αj␈ελU␈↓ β~␈εα<␈↓ βK␈ελv␈↓ β↑␈εα;␈α∞w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α∞the␈α
ratio␈↓ ε≡␈ελ↔␈↓ ε/␈εα(␈↓ ε;␈ελn␈↓ εP␈εα)/␈↓ εn␈ελn␈↓ π∩␈εαto␈α
approach␈α
the␈α∞value␈↓ 	⎇␈ελv␈↓ 
→␈ε⊗␈␈↓ 
F␈ελu␈↓ 
i␈εαas␈↓ ↔␈ελn
␈β¬j␈↓ β↓␈εj
␈βελ␈↓ ↓H␈εαapproaches␈αin|nity:
␈βε:␈↓ ¬≤␈εαlim␈↓ ¬`␈ελ↔␈↓ ¬q␈εα(␈↓ ¬⎇␈ελn␈↓ ε∪␈εα)/␈↓ ε1␈ελn␈↓ εQ␈εα=␈↓ ε␈␈ελv␈↓ π~␈ε⊗␈␈↓ πF␈ελu␈↓ π[␈εα.␈↓ α␈εα(2)
␈βε[␈↓ ¬∂␈εn␈↓ ¬!␈ε→!1
␈βπ%␈↓ ↓H␈εαIf␈α⊃this␈α⊃condition␈α⊂holds␈α⊃for␈α⊃all␈α⊃choices␈α⊃of␈↓ εc␈ελu␈↓ π
␈εαand␈↓ πU␈ελv␈↓ πh␈εα,␈α∩the␈α⊃sequence␈α⊃is␈α⊃said␈α⊂to␈α⊃be
␈βπP␈↓ ↓H␈ε∂equidistributed.
␈βπ}␈↓ α␈εαLet␈↓ αO␈ελS␈↓ αf␈εα(␈↓ αr␈ελn␈↓ βπ␈εα)␈α∞be␈α
a␈α
statemen␈α␈t␈α∞about␈α
the␈α∞in␈α␈teger␈↓ π9␈ελn␈↓ π\␈εαand␈α
the␈α∞sequence␈↓ 	x␈ελU␈↓ 
≡␈εα,␈↓ 
5␈ελU␈↓ 
[␈εα,␈↓ 
r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα;
␈βλ␈↓ 
∂␈ε¬1␈↓ 
L␈ε¬2
␈βλ)␈↓ ↓H␈εαfor␈α
example,␈↓ β∃␈ελS␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελn␈↓ βM␈εα)␈αmigh␈α␈t␈αbe␈αthe␈α
statemen␈α␈t␈αconsidered␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αnamely␈α\␈↓ 
λ␈ελu␈↓ 
(␈ε⊗∀␈↓ 
V␈ελU␈↓ λ␈εα<
␈βλ6␈↓ 
m␈εn
␈βλT␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα."␈α⊃We␈α∞can␈α
generalize␈α∞the␈α∞idea␈α
used␈α∞in␈α
the␈α∞preceding␈α∞paragraph␈α
to␈α∞de|ne␈α
\the
␈βλ␈␈↓ ↓H␈εαprobability␈αthat␈↓ βP␈ελS␈↓ βf␈εα(␈↓ βr␈ελn␈↓ ∧λ␈εα)␈αis␈αtrue"␈αwith␈αrespect␈αto␈αa␈αparticular␈αin|nite␈αsequence:␈αLet
␈β	*␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελn␈↓ ↓z␈εα)␈αbe␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αvalues␈αof␈↓ ¬D␈ελj␈↓ ¬U␈εα,␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε5␈ελj␈↓ εO␈εα<␈↓ ε⎇␈ελn␈↓ π∪␈εα,␈αsuch␈αthat␈↓ λI␈ελS␈↓ λ←␈εα(␈↓ λk␈ελj␈↓ λ{␈εα)␈αis␈αtrue.
␈β	[␈↓ ∧S␈ε↓␈␈↓ ¬$␈ε↓↓
␈β	{␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈αA.␈ε∂␈α~We␈αsay␈↓ ∧/␈εαPr␈↓ ∧a␈ελS␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬β␈ελn␈↓ ¬_␈εα)␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬l␈ελ∃␈↓ ε↓␈ε∂,␈αif␈↓ ε9␈εαlim␈↓ π=␈ελ↔␈↓ πN␈εα(␈↓ πZ␈ελn␈↓ πp␈εα)/␈↓ λ∞␈ελn␈↓ λ.␈εα=␈↓ λ]␈ελ∃␈↓ λr␈ε∂.␈εα␈α
(Read,␈α\The␈αprob-
␈β
λ␈↓ εk␈εn␈↓ ε⎇␈ε→!1
␈β
&␈↓ ↓H␈εαability␈αthat␈↓ β	␈ελS␈↓ β∨␈εα(␈↓ β+␈ελn␈↓ βA␈εα)␈αis␈α
true␈α
is␈↓ ∧o␈ελ∃␈↓ ¬∧␈εα,␈α
if␈αthe␈α
limit␈α
as␈↓ ε␈␈ελn␈↓ π"␈εαtends␈αto␈α
in|nity␈αof␈↓ 	X␈ελ↔␈↓ 	i␈εα(␈↓ 	u␈ελn␈↓ 
␈εα)/␈↓ 
)␈ελn␈↓ 
K␈εαis␈↓ 
o␈ελ∃␈↓ ∧␈εα.")
␈β
w␈↓ α␈εαIn␈α
terms␈α
of␈α
this␈α∞notation,␈α
the␈α
sequence␈↓ π␈ελU␈↓ π&␈εα,␈↓ π=␈ελU␈↓ πb␈εα,␈↓ πz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ1␈εαis␈α
equidistributed␈α
if␈α
and
␈β∧␈↓ π↔␈ε¬0␈↓ πT␈ε¬1
␈β"␈↓ ↓H␈εαonly␈α
if␈↓ α7␈εαPr␈↓ α[␈εα(␈↓ αg␈ελu␈↓ βπ␈ε⊗∀␈↓ β5␈ελU␈↓ βh␈εα<␈↓ ∧⊗␈ελv␈↓ ∧(␈εα)␈α
=␈↓ ∧l␈ελv␈↓ ¬¬␈ε⊗␈␈↓ ¬0␈ελu␈↓ ¬E␈εα,␈αfor␈αall␈αreal␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈↓ λ∃␈ελu␈↓ λ+␈εα,␈↓ λ@␈ελv␈↓ λ]␈εαwith␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	x␈ελu␈↓ 
_␈εα<␈↓ 
F␈ελv␈↓ 
b␈ε⊗∀␈εα␈α
1.
␈β/␈↓ βL␈εn
␈βO␈↓ α␈εαA␈α
sequence␈αmay␈α
be␈α
equidistributed␈αwithout␈α
being␈α
random.␈α∞For␈α
example,␈αif
␈β{␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓m␈εα,␈↓ α¬␈ελU␈↓ α*␈εα,␈↓ αB␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αy␈εαand␈↓ βA␈ελV␈↓ βc␈εα,␈↓ β{␈ελV␈↓ ∧≥␈εα,␈↓ ∧5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧l␈εαare␈α∞equidistributed␈α
sequences,␈α∞it␈α
is␈α
not␈α∞hard␈α
to␈α
sho␈α␈w
␈βλ␈↓ ↓←␈ε¬0␈↓ α≤␈ε¬1␈↓ βU␈ε¬0␈↓ ∧∂␈ε¬1
␈β&␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈αsequence
␈β
␈↓ ¬s␈ε¬1␈↓ εG␈ε¬1␈↓ π¬␈ε¬1␈↓ πV␈ε¬1␈↓ λ*␈ε¬1␈↓ λh␈ε¬1
␈β
β␈↓ β∃␈ελW␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈ελW␈↓ β}␈εα,␈↓ ∧∞␈ελW␈↓ ∧:␈εα,␈↓ ∧J␈ελW␈↓ ∧w␈εα,␈↓ ¬π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬A␈εα=␈↓ ε¬␈ελU␈↓ ε+␈εα,␈↓ ε[␈εα+␈↓ π↔␈ελV␈↓ π:␈εα,␈↓ πh␈ελU␈↓ λ∞␈εα,␈↓ λ>␈εα+␈↓ λz␈ελV␈↓ 	≥␈εα,␈↓ 	5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εα(3)
␈β
⊂␈↓ β3␈ε¬0␈↓ βp␈ε¬1␈↓ ∧,␈ε¬2␈↓ ∧h␈ε¬3␈↓ ε≤␈ε¬0␈↓ π+␈ε¬0␈↓ π␈␈ε¬1␈↓ 	∞␈ε¬1
␈β
∪␈↓ ¬s␈∧
∪¬sα∂␈↓ εG␈∧
∪εGα∂␈↓ π¬␈∧
∪π¬α∂␈↓ πV␈∧
∪πVα∂␈↓ λ*␈∧
∪λ*α∂␈↓ λh␈∧
∪λhα∂
␈β
⊗␈↓ ¬s␈ε¬2␈↓ εG␈ε¬2␈↓ π¬␈ε¬2␈↓ πV␈ε¬2␈↓ λ*␈ε¬2␈↓ λh␈ε¬2
␈β
]␈↓ εN␈ε¬1␈↓ π≥␈ε¬1
␈β
`␈↓ ↓H␈εαis␈αλalso␈αλequidistributed,␈α	since␈αλthe␈α	sequence␈↓ ε`␈ελU␈↓ πε␈εα,␈↓ π/␈ελU␈↓ πU␈εα,␈↓ πh␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ~␈εαis␈αλequidistributed␈αλbet␈α␈w␈α␈een
␈β
m␈↓ εw␈ε¬0␈↓ πF␈ε¬1
␈β
p␈↓ εN␈∧
pεNα∂␈↓ π≥␈∧
pπ≥α∂
␈β
s␈↓ εN␈ε¬2␈↓ π≥␈ε¬2
␈β∞λ␈↓ α5␈ε¬1␈↓ ε∪␈ε¬1␈↓ εU␈ε¬1␈↓ π(␈ε¬1␈↓ πj␈ε¬1
␈β∞␈↓ ↓H␈εα0␈α∞and␈↓ αH␈εα,␈α∂while␈α∂the␈α∂alternate␈α∂terms,␈↓ ε)␈εα+␈↓ εh␈ελV␈↓ π
␈εα,␈↓ π>␈εα+␈↓ π|␈ελV␈↓ λ∨␈εα,␈↓ λ8␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λh␈εα,␈α⊂are␈α∞equidistributed
␈β∞→␈↓ ε|␈ε¬0␈↓ λ⊂␈ε¬1
␈β∞≠␈↓ α5␈∧∞≠α5α∂␈↓ ε∪␈∧∞≠ε∪α∂␈↓ εU␈∧∞≠εUα∂␈↓ π(␈∧∞≠π(α∂␈↓ πj␈∧∞≠πjα∂
␈β∞≡␈↓ α5␈ε¬2␈↓ ε∪␈ε¬2␈↓ εU␈ε¬2␈↓ π(␈ε¬2␈↓ πj␈ε¬2
␈β∞3␈↓ αV␈ε¬1␈↓ λt␈ε¬1
␈β∞6␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈↓ αt␈εαand␈α1.␈αIn␈αthe␈αsequence␈αof␈↓ ε
␈ελW␈↓ ε.␈εα's,␈αa␈αvalue␈αless␈αthan␈↓ 	∩␈εαis␈αalways␈αfollo␈α␈w␈α␈ed
␈β∞G␈↓ αV␈∧∞GαVα∂␈↓ λt␈∧∞Gλtα∂
␈β∞I␈↓ αV␈ε¬2␈↓ λt␈ε¬2
␈β∞↑␈↓ ¬s␈ε¬1
␈β∞b␈↓ ↓H␈εαby␈α
a␈α
value␈α
greater␈αthan␈α
or␈α
equal␈α
to␈↓ εε␈εα,␈α
and␈αcon␈α␈v␈α␈ersely;␈αhence␈α
that␈α
sequence␈α
is␈α
not
␈β∞r␈↓ ¬s␈∧∞r¬sα∂
␈β∞t␈↓ ¬s␈ε¬2
␈β∂
␈↓ ↓H␈εαrandom␈αby␈αan␈α␈y␈αreasonable␈αde|nition.␈αA␈αstronger␈αproperty␈αthan␈αequidistribution
␈β∂8␈↓ ↓H␈εαis␈αneeded.
␈β∂e␈↓ α␈εαA␈α⊃natural␈α⊂generalization␈α⊃of␈α⊃the␈α⊂equidistribution␈α⊃property,␈α∩which␈α⊂remo␈α␈v␈α␈es
␈β⊂⊃␈↓ ↓H␈εαthe␈αobjection␈αstated␈αin␈αthe␈αpreceding␈αparagraph,␈αis␈αto␈αconsider␈αadjacen␈α␈t␈αpairs␈αof
␈β⊂<␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αour␈αsequence.␈αWe␈αcan␈αrequire␈αthe␈αsequence␈αto␈αsatisfy␈αthe␈αcondition
␈β⊃→␈↓ αB␈εαPr␈↓ αf␈εα(␈↓ αr␈ελu␈↓ β∨␈ε⊗∀␈↓ βM␈ελU␈↓ ∧␈εα<␈↓ ∧.␈ελv␈↓ ∧p␈εαand␈↓ ¬N␈ελu␈↓ ¬{␈ε⊗∀␈↓ ε)␈ελU␈↓ ππ␈εα<␈↓ π5␈ελv␈↓ πT␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ λ$␈ελv␈↓ λJ␈ε⊗␈␈↓ λv␈ελu␈↓ 	→␈εα)(␈↓ 	1␈ελv␈↓ 	W␈ε⊗␈␈↓ 
β␈ελu␈↓ 
&␈εα)␈↓ α␈εα(4)
␈β⊃&␈↓ βπ␈ε¬1␈↓ βd␈εn␈↓ ∧>␈ε¬1␈↓ ¬c␈ε¬2␈↓ ε@␈εn␈↓ εR␈ε¬+1␈↓ πE␈ε¬2␈↓ λ3␈ε¬1␈↓ 	
␈ε¬1␈↓ 	@␈ε¬2␈↓ 
↔␈ε¬2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα142␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ ↓H␈εαfor␈αan␈α␈y␈αfour␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ∧!␈ελu␈↓ ∧D␈εα,␈↓ ∧Z␈ελv␈↓ ∧x␈εα,␈↓ ¬∞␈ελu␈↓ ¬1␈εα,␈↓ ¬G␈ελv␈↓ ¬r␈εαwith␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π∞␈ελu␈↓ π;␈εα<␈↓ πi␈ελv␈↓ λ∩␈ε⊗∀␈εα␈α
1,␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	2␈ελu␈↓ 	`␈εα<␈↓ 
∞␈ελv␈↓ 
6␈ε⊗∀␈εα␈α
1.␈αIn
␈βα5␈↓ ∧6␈ε¬1␈↓ ∧j␈ε¬1␈↓ ¬#␈ε¬2␈↓ ¬W␈ε¬2␈↓ π#␈ε¬1␈↓ πy␈ε¬1␈↓ 	G␈ε¬2␈↓ 
≥␈ε¬2
␈βαS␈↓ ↓H␈εαgeneral,␈α
for␈α	an␈α␈y␈α	positiv␈α␈e␈α
in␈α␈teger␈↓ ¬:␈ελk␈↓ ¬V␈εαw␈α␈e␈α	can␈α	require␈α
our␈α	sequence␈α
to␈α	be␈↓ 	c␈ελk␈↓ 	t␈ε∂-distributed
␈βα}␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αsense:
␈ββE␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈αB.␈ε∂␈α→The␈αsequence␈εα␈α(1)␈ε∂␈αis␈αsaid␈αto␈αbe␈↓ π	␈ελk␈↓ π≠␈ε∂-distributed␈αif
␈β∧≡␈↓ α*␈εαPr␈↓ αN␈εα(␈↓ αZ␈ελu␈↓ βπ␈ε⊗∀␈↓ β5␈ελU␈↓ βh␈εα<␈↓ ∧⊗␈ελv␈↓ ∧4␈εα,␈↓ ∧D␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧t␈εα,␈↓ ¬∧␈ελu␈↓ ¬1␈ε⊗∀␈↓ ¬←␈ελU␈↓ εi␈εα<␈↓ π↔␈ελv␈↓ π5␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ λ¬␈ελv␈↓ λ+␈ε⊗␈␈↓ λW␈ελu␈↓ λz␈εα)␈↓ 	␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	<␈εα(␈↓ 	H␈ελv␈↓ 	o␈ε⊗␈␈↓ 
≠␈ελu␈↓ 
>␈εα)␈↓ α␈εα(5)
␈β∧+␈↓ αo␈ε¬1␈↓ βL␈εn␈↓ ∧&␈ε¬1␈↓ ¬→␈εk␈↓ ¬v␈εn␈↓ ελ␈ε¬+␈↓ ε%␈εk␈↓ ε4␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π'␈εk␈↓ λ∃␈ε¬1␈↓ λl␈ε¬1␈↓ 	X␈εk␈↓ 
/␈εk
␈β∧w␈↓ ↓H␈ε∂for␈αall␈αchoices␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ¬,␈ελu␈↓ ¬M␈ε∂,␈↓ ¬c␈ελv␈↓ ε␈ε∂,␈αwith␈εα␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π2␈ελu␈↓ π↑␈εα<␈↓ λ␈ελv␈↓ λ3␈ε⊗∀␈εα␈α
1␈ε∂,␈αfor␈εα␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
␈ελj␈↓ 
&␈ε⊗∀␈↓ 
T␈ελk␈↓ 
e␈ε∂.
␈β¬∧␈↓ ¬@␈εj␈↓ ¬s␈εj␈↓ πG␈εj␈↓ λ≤␈εj
␈β¬=␈↓ α␈εαAn␈αequidistributed␈αsequence␈αis␈αa␈α1-distributed␈αsequence.␈αNote␈αthat␈αif␈↓ 
G␈ελk␈↓ 
b␈εα>␈α
1,
␈β¬h␈↓ ↓H␈εαa␈↓ ↓f␈ελk␈↓ ↓x␈εα-distributed␈αsequence␈αis␈αalways␈α(␈↓ ¬v␈ελk␈↓ ε⊂␈ε⊗␈␈εα␈α	1)-distributed,␈αsince␈αw␈α␈e␈αmay␈αset␈↓ 
?␈ελu␈↓ 
l␈εα=␈α
0
␈β¬v␈↓ 
S␈εk
␈βε∪␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α⊂␈ελv␈↓ α=␈εα=␈α∞1␈α∂in␈α∞Eq.␈α∂(5).␈α∀Th␈α␈us,␈α∂in␈α∂particular,␈α∂an␈α␈y␈α∞sequence␈α∂that␈α∂is␈α∞kno␈α␈wn␈α∂to␈α∞be
␈βε!␈↓ α ␈εk
␈βε?␈↓ ↓H␈εα4-distributed␈αm␈α␈ust␈αalso␈αbe␈α3-distributed,␈α
2-distributed,␈αand␈αequidistributed.␈αWe
␈βεj␈↓ ↓H␈εαcan␈α
in␈α␈v␈α␈estigate␈α
the␈α
largest␈↓ ∧i␈ελk␈↓ ¬¬␈εαfor␈α
which␈α
a␈αgiv␈α␈en␈α
sequence␈α
is␈↓ λP␈ελk␈↓ λa␈εα-distributed;␈αand␈α
this
␈βπ∃␈↓ ↓H␈εαleads␈αus␈αto␈αform␈α␈ulate
␈βπ\␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈αC.␈ε∂␈α↔A␈αsequence␈αis␈αsaid␈αto␈αbe␈ε⊗␈α1␈ε∂-distributed␈αif␈αit␈αis␈↓ λz␈ελk␈↓ 	␈ε∂-distributed␈αfor␈αall
␈βλπ␈↓ ↓H␈ε∂positiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈↓ βR␈ελk␈↓ βc␈ε∂.
␈βλM␈↓ α␈εαSo␈αfar␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αconsidered␈α\[␈αε0,␈αε1)␈αsequences,"␈αi.e.,␈αsequences␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈βλx␈↓ ↓H␈εαlying␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈α
and␈α
one.␈α∞The␈α
same␈αideas␈α
apply␈α
to␈α
in␈α␈teger-valued␈αsequences;
␈β	$␈↓ ↓H␈εαlet␈αus␈α
say␈α
a␈α
sequence␈ε⊗␈α
h␈↓ ∧,␈ελX␈↓ ∧W␈ε⊗i␈εα␈α=␈↓ ¬≥␈ελX␈↓ ¬E␈εα,␈↓ ¬\␈ελX␈↓ εβ␈εα,␈↓ ε~␈ελX␈↓ εB␈εα,␈↓ εY␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∂␈εαis␈α
a␈α
\␈↓ πe␈ελb␈↓ πs␈εα-ary␈α
sequence"␈α
if␈α
each␈↓ 
]␈ελX␈↓ ∀␈εαis
␈β	1␈↓ ∧E␈εn␈↓ ¬6␈ε¬0␈↓ ¬u␈ε¬1␈↓ ε3␈ε¬2␈↓ 
v␈εn
␈β	O␈↓ ↓H␈εαone␈α
of␈αthe␈αin␈α␈tegers␈α0,␈α1,␈↓ ∧@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧p␈εα,␈↓ ¬¬␈ελb␈↓ ¬~␈ε⊗␈␈εα␈αε1.␈αTh␈α␈us,␈αa␈α
2-ary␈α(binary)␈αsequence␈αis␈αa␈α
sequence
␈β	z␈↓ ↓H␈εαof␈αzeros␈αand␈αones.
␈β
&␈↓ α␈εαA␈↓ α5␈ελk␈↓ αG␈εα-digit␈α∂\␈↓ β<␈ελb␈↓ βJ␈εα-ary␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber"␈↓ ¬1␈ελx␈↓ ¬P␈ελx␈↓ ¬u␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε%␈ελx␈↓ εS␈εαis␈α∂an␈α∂ordered␈α∂set␈α∂of␈↓ 	≥␈ελk␈↓ 	>␈εαin␈α␈tegers,␈α∂where
␈β
3␈↓ ¬A␈ε¬1␈↓ ¬`␈ε¬2␈↓ ε5␈εk
␈β
Q␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελx␈↓ α9␈εα<␈↓ αg␈ελb␈↓ βα␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧∧␈ελj␈↓ ∧≡␈ε⊗∀␈↓ ∧L␈ελk␈↓ ∧↑␈εα.
␈β
←␈↓ α"␈εj
␈β_␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈αD.␈ε∂␈α→A␈↓ βU␈ελb␈↓ βc␈ε∂-ary␈αsequence␈αis␈αsaid␈αto␈αbe␈↓ π
␈ελk␈↓ π∨␈ε∂-distributed␈αif
␈βk␈↓ 	λ␈εk
␈βq␈↓ β↑␈εαPr␈↓ ∧α␈εα(␈↓ ∧∞␈ελX␈↓ ∧9␈ελX␈↓ ¬∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬E␈ελX␈↓ εP␈εα=␈↓ ε}␈ελx␈↓ π≥␈ελx␈↓ πB␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πr␈ελx␈↓ λ⊃␈εα)␈α
=␈α
1/␈↓ λy␈ελb␈↓ α␈εα(6)
␈β}␈↓ ∧'␈εn␈↓ ∧R␈εn␈↓ ∧d␈ε¬+␈α␈1␈↓ ¬↑␈εn␈↓ ¬p␈ε¬+␈↓ ε
␈εk␈↓ ε≠␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π∂␈ε¬1␈↓ π.␈ε¬2␈↓ λβ␈εk
␈βI␈↓ ↓H␈ε∂for␈αall␈↓ α2␈ελb␈↓ α@␈ε∂-ary␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧;␈ελx␈↓ ∧`␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⊂␈ελx␈↓ ¬/␈ε∂.
␈βW␈↓ ∧-␈ε¬1␈↓ ∧L␈ε¬2␈↓ ¬ ␈εk
␈β
⊂␈↓ α␈εαIt␈α⊂is␈α⊃clear␈α⊂from␈α⊃this␈α⊂de|nition␈α⊂that␈α⊃if␈↓ ε{␈ελU␈↓ π!␈εα,␈↓ π<␈ελU␈↓ πb␈εα,␈↓ π⎇␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ7␈εαis␈α⊃a␈↓ 	α␈ελk␈↓ 	∀␈εα-distributed␈α⊂[␈αε0,␈αε1)
␈β
≥␈↓ π∩␈ε¬0␈↓ πS␈ε¬1
␈β
;␈↓ ↓H␈εαsequence,␈α∂then␈α∞the␈α∂sequence␈ε⊗␈α∞b␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬1␈ελU␈↓ ¬V␈ε⊗c␈εα,␈ε⊗␈α∂b␈↓ ε␈ελb␈↓ ε→␈ελU␈↓ ε?␈ε⊗c␈εα,␈↓ εf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π≡␈εαis␈α∂a␈↓ πe␈ελk␈↓ πw␈εα-distributed␈↓ 	>␈ελb␈↓ 	L␈εα-ary␈α∞sequence.
␈β
G␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β
I␈↓ ¬H␈ε¬0␈↓ ε0␈ε¬1
␈β
f␈↓ ↓V␈εαIf␈α∞w␈α␈e␈α∂set␈↓ αo␈ελu␈↓ β ␈εα=␈↓ βR␈ελx␈↓ βp␈εα/␈↓ ∧α␈ελb␈↓ ∧⊃␈εα,␈↓ ∧*␈ελv␈↓ ∧V␈εα=␈α∞(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬<␈εα+␈α
1)/␈↓ ε~␈ελb␈↓ ε(␈εα,␈↓ εB␈ελX␈↓ ε|␈εα=␈ε⊗␈α∞b␈↓ π<␈ελb␈↓ πK␈ελU␈↓ πt␈ε⊗c␈εα,␈α∂Eq.␈α∂(5)␈α∂becomes␈α∂Eq.␈α∞(6).
␈β
t␈↓ β∧␈εj␈↓ βc␈εj␈↓ ∧:␈εj␈↓ ¬%␈εj␈↓ ε[␈εn␈↓ πb␈εn
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαFurthermore,␈α∩ev␈α␈ery␈↓ ∧∩␈ελk␈↓ ∧#␈εα-distributed␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ¬{␈εα-ary␈α⊂sequence,␈α∪for␈↓ λ,␈ελk␈↓ λP␈εα>␈α∩1,␈α∩is␈α⊃also␈α⊃(␈↓ 
6␈ελk␈↓ 
S␈ε⊗␈␈εα␈α1)-
␈β∞=␈↓ ↓H␈εαdistributed:␈αw␈α␈e␈α
add␈αtogether␈αthe␈α
probabilities␈αfor␈α
the␈↓ λ
␈ελb␈↓ λ_␈εα-ary␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ 	q␈ελx␈↓ 
⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
F␈ελx␈↓ ⊂␈εα0,
␈β∞J␈↓ 
α␈ε¬1␈↓ 
W␈εk␈↓ 
e␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞h␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓m␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α≥␈ελx␈↓ αg␈εα1,␈↓ β∂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β?␈εα,␈↓ βU␈ελx␈↓ βz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧*␈ελx␈↓ ∧t␈εα(␈↓ ¬␈ελb␈↓ ¬↔␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈αto␈αobtain
␈β∞u␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ α-␈εk␈↓ α<␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βe␈ε¬1␈↓ ∧:␈εk␈↓ ∧I␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂;␈↓ λH␈εk␈↓ λW␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂A␈↓ βh␈εαPr␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧_␈ελX␈↓ ∧I␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧y␈ελX␈↓ ε¬␈εα=␈↓ ε3␈ελx␈↓ εX␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πλ␈ελx␈↓ πR␈εα)␈α
=␈α
1/␈↓ λ:␈ελb␈↓ 	α␈εα.
␈β∂N␈↓ ∧1␈εn␈↓ ¬∩␈εn␈↓ ¬$␈ε¬+␈↓ ¬A␈εk␈↓ ¬O␈ε→␈␈ε¬2␈↓ εC␈ε¬1␈↓ π_␈εk␈↓ π'␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εα(Probabilities␈α⊂for␈α⊃disjoin␈α␈t␈α⊃ev␈α␈en␈α␈ts␈α⊃are␈α⊂additiv␈α␈e;␈α∀see␈α⊂ex␈α␈ercise␈α⊃5.)␈α"It␈α⊃therefore␈α⊂is
␈β⊂E␈↓ ↓H␈εαnatural␈αto␈αspeak␈αof␈αan␈ε⊗␈α1␈εα-distributed␈↓ ε~␈ελb␈↓ ε(␈εα-ary␈αsequence,␈αas␈αin␈αDe|nition␈αC␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β⊂q␈↓ α␈εαThe␈α
represen␈α␈tation␈α
of␈αa␈α
positiv␈α␈e␈α
real␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
in␈α
the␈α
radix-␈↓ 	#␈ελb␈↓ 	>␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αsystem
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαmay␈α
be␈αregarded␈α
as␈α
a␈↓ ∧*␈ελb␈↓ ∧8␈εα-ary␈α
sequence;␈α∞for␈α
example,␈↓ πw␈ελ→␈↓ λ_␈εαcorresponds␈α
to␈α
the␈α10-ary
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα143
␈βα(␈↓ ↓H␈εαsequence␈α3,␈α1,␈α4,␈α1,␈α5,␈α9,␈α2,␈α6,␈α5,␈α3,␈α5,␈α8,␈α9,␈↓ ε←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∃␈εα.␈αIt␈αhas␈αbeen␈αconjectured␈αthat␈αthis
␈βαS␈↓ ↓H␈εαsequence␈αis␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed,␈αbut␈α
nobody␈αhas␈αy␈α␈et␈αbeen␈αable␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αit␈αis␈α
ev␈α␈en
␈βα}␈↓ ↓H␈εα1-distributed.
␈ββ*␈↓ α␈εαLet␈αus␈αanalyze␈α
these␈αconcepts␈αa␈αlittle␈α
more␈αclosely␈αin␈αthe␈α
case␈αwhen␈↓ 
0␈ελk␈↓ 
L␈εαequals
␈ββU␈↓ ↓H␈εαa␈α
million.␈αA␈αbinary␈αsequence␈αthat␈αis␈α
1000000-distributed␈αis␈αgoing␈αto␈αhav␈α␈e␈αruns␈α
of
␈β∧␈↓ ↓H␈εαa␈αmillion␈αzeros␈αin␈α
a␈αro␈α␈w!␈α
Similarly,␈αa␈α[␈αε0,␈αε1)␈α
sequence␈αthat␈αis␈α1000000-distributed
␈β∧(␈↓ ⊂␈ε¬1
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαis␈α
going␈α
to␈α
hav␈α␈e␈αruns␈α
of␈α
a␈αmillion␈α
consecutiv␈α␈e␈α
values␈α
each␈αof␈α
which␈α
is␈α
less␈αthan␈↓ "␈εα.
␈β∧<␈↓ ⊂␈∧∧<⊂α∂
␈β∧>␈↓ ⊂␈ε¬2
␈β∧Q␈↓ ε<␈ε¬100␈α↓00␈α↓00
␈β∧S␈↓ ε≥␈ε¬1
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαIt␈α
is␈α
true␈α
that␈α
this␈α∞will␈α
happen␈α
only␈α
(␈↓ ε0␈εα)␈↓ π.␈εαof␈α
the␈α
time,␈α∞on␈α
the␈α
av␈α␈erage,␈α
but
␈β∧g␈↓ ε≥␈∧∧gε≥α∂
␈β∧i␈↓ ε≥␈ε¬2
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαthe␈αfact␈αis␈αthat␈αit␈ε∂␈αdoes␈εα␈αhappen.␈αIndeed,␈αthis␈αphenomenon␈αwill␈αoccur␈αin␈αan␈α␈y␈αtruly
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαrandom␈αsequence,␈α
using␈α
our␈αin␈α␈tuitiv␈α␈e␈α
notion␈α
of␈α\truly␈α
random."␈α∞One␈α
can␈αeasily
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαimagine␈α∞that␈α∂such␈α∂a␈α∂situation␈α∂will␈α∞hav␈α␈e␈α∂a␈α∂drastic␈α∂e{ect␈α∂if␈α∞this␈α∂set␈α∂of␈α∂a␈α∞million
␈βεβ␈↓ ↓H␈εα\truly␈α⊃random"␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers␈α⊃is␈α⊃being␈α⊃used␈α⊃in␈α⊂a␈α⊃computer-sim␈α␈ulation␈α⊃experimen␈α␈t;
␈βε.␈↓ ↓H␈εαthere␈α∞w␈α␈ould␈α∂be␈α∂good␈α∂reason␈α∂to␈α∞complain␈α∂about␈α∂the␈α∂random-n␈α␈um␈α␈ber␈α∞generator.
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α⊃if␈α⊃w␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂a␈α⊃sequence␈α⊂of␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers␈α⊂that␈α⊂nev␈α␈er␈α⊃has␈α⊂runs␈α⊃of␈α⊂a␈α⊂million
␈βπα␈↓ ∧n␈ε¬1
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαconsecutiv␈α␈e␈↓ β
␈ελU␈↓ β'␈εα's␈α∂less␈α∂than␈↓ ¬␈εα,␈α⊂the␈α∂sequence␈α∂is␈α∂not␈α∂random,␈α⊂and␈α∂it␈α∂will␈α∂not␈α∞be␈α∂a
␈βπ∃␈↓ ∧n␈∧π∃∧nα∂
␈βπ_␈↓ ∧n␈ε¬2
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαsuitable␈α
source␈αof␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αfor␈α
other␈αconceivable␈α
applications␈α
that␈αuse␈α
extremely
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαlong␈α
blocks␈α
of␈↓ β1␈ελU␈↓ βO␈εα's␈α
as␈α
input.␈α∂In␈α
summary,␈ε∂␈α∞a␈α
truly␈α
random␈α
sequence␈α
will␈α
exhibit
␈βλε␈↓ ↓H␈ε∂local␈α	nonrandomness␈↓ ∧␈εα;␈α
local␈α	nonrandomness␈α	is␈α	necessary␈α	in␈α	some␈α	applications,␈α	but
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαit␈αλis␈α	disastrous␈αλin␈α	others.␈αWe␈α	are␈αλforced␈α	to␈αλconclude␈α	that␈α	no␈αλsequence␈α	of␈αλ\random"
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αcan␈αbe␈αadequate␈αfor␈αev␈α␈ery␈αapplication.
␈β	λ␈↓ α␈εαIn␈α∞a␈α∞similar␈α∞v␈α␈ein,␈α∂one␈α∞may␈α∞argue␈α∞that␈α∞there␈α∞is␈α∞no␈α∞way␈α∞to␈α∞judge␈α∞whether␈α∞a
␈β	3␈↓ ↓H␈ε∂|nite␈εα␈αsequence␈αis␈αrandom␈αor␈αnot;␈αan␈α␈y␈αparticular␈αsequence␈αis␈αjust␈αas␈αlik␈α␈ely␈αas␈αan␈α␈y
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαother␈α
one.␈α⊃These␈α∞facts␈α∞are␈α
de|nitely␈α∞stum␈α␈bling␈α∞blocks␈α
if␈α∞w␈α␈e␈α∞are␈α
ev␈α␈er␈α∞to␈α∞hav␈α␈e␈α
a
␈β

␈↓ ↓H␈εαuseful␈α∞de|nition␈α∂of␈α∂randomness,␈α⊂but␈α∞they␈α∂are␈α∂not␈α∂really␈α∂cause␈α∞for␈α∂alarm.␈α∃It␈α∞is
␈β
5␈↓ ↓H␈εαstill␈αpossible␈αto␈αgiv␈α␈e␈αa␈αde|nition␈αfor␈αthe␈αrandomness␈αof␈αin|nite␈αsequences␈αof␈αreal
␈β
`␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α
such␈α
a␈α
way␈α
that␈α
the␈α
corresponding␈α
theory␈α
(view␈α␈ed␈α
properly)␈α
will␈α
giv␈α␈e
␈β␈↓ ↓H␈εαus␈α∂a␈α⊂great␈α⊂deal␈α∂of␈α⊂insigh␈α␈t␈α⊂concerning␈α∂the␈α⊂ordinary␈α∂|nite␈α⊂sequences␈α⊂of␈α∂rational
␈β6␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α
that␈α
are␈α
actually␈α
generated␈α
on␈α
a␈α
computer.␈α∂Furthermore,␈α
w␈α␈e␈α
shall␈α
see
␈βb␈↓ ↓H␈εαlater␈α
in␈αthis␈α
section␈αthat␈α
there␈αare␈α
sev␈α␈eral␈αplausible␈α
de|nitions␈α
of␈αrandomness␈α
for
␈β
␈↓ ↓H␈εα|nite␈αsequences.
␈βJ␈↓ ↓H␈ε∩B.␈ε⊗␈α
1␈ε∩-distributed␈α
sequences.␈εα␈α≠Let␈α
us␈α
no␈α␈w␈α
undertak␈α␈e␈α
a␈α
brief␈α
study␈α
of␈α
the␈α
theory
␈βu␈↓ ↓H␈εαof␈αsequences␈αthat␈αare␈ε⊗␈α1␈εα-distributed.␈αTo␈αdescribe␈αthe␈αtheory␈αadequately,␈αw␈α␈e␈αwill
␈β
 ␈↓ ↓H␈εαneed␈αto␈α
use␈αa␈α
bit␈αof␈α
higher␈αmathematics,␈α
so␈αw␈α␈e␈α
assume␈αin␈α
the␈αremainder␈α
of␈αthis
␈β
K␈↓ ↓H␈εαsubsection␈α
that␈α	the␈α
reader␈α
kno␈α␈ws␈α
the␈α
material␈α
ordinarily␈α
taugh␈α␈t␈α
in␈α
an␈α	\advanced
␈β
w␈↓ ↓H␈εαcalculus"␈αcourse.
␈β∞"␈↓ α␈εαFirst␈α∂it␈α∞is␈α∂con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α∞to␈α∂generalize␈α∂De|nition␈α∞A␈↓ λ¬␈εα,␈α⊂since␈α∞the␈α∂limit␈α∞appearing
␈β∞M␈↓ ↓H␈εαthere␈αdoes␈αnot␈αexist␈αfor␈αall␈αsequences.␈αLet␈αus␈αde|ne
␈β∞{␈↓ βε␈ε↓␈␈↓ βX␈ε↓↓␈↓ ¬␈ε↓␈␈↓ ε↓␈ε↓↓␈↓ π␈ε↓␈␈↓ π\␈ε↓↓␈↓ 	¬␈ε↓␈␈↓ 	z␈ε↓↓
␈β∂↔␈↓ αb␈∧∂↔αbα$
␈β∂≠␈↓ αb␈εαPr␈↓ β∀␈ελS␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελn␈↓ βL␈εα)␈↓ βp␈εα=␈↓ ∧≡␈εαlim␈αεsup␈↓ ¬~␈ελ↔␈↓ ¬+␈εα(␈↓ ¬7␈ελn␈↓ ¬M␈εα)/␈↓ ¬k␈ελn␈↓ ε∂␈εα,␈↓ εg␈εαPr␈↓ π→␈ελS␈↓ π/␈εα(␈↓ π;␈ελn␈↓ πP␈εα)␈↓ πt␈εα=␈↓ λ"␈εαlim␈αεin␈↓ λx␈εαf␈↓ 	∪␈ελ↔␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελn␈↓ 	F␈εα)/␈↓ 	d␈ελn␈↓ 
λ␈εα.␈↓ α␈εα(7)
␈β∂8␈↓ εg␈∧∂8εgα$
␈β∂<␈↓ λ.␈εn␈↓ λ@␈ε→!1
␈β∂C␈↓ ∧/␈εn␈↓ ∧A␈ε→!1
␈β∂w␈↓ αJ␈ε↓␈␈↓ β≤␈ε↓↓␈↓ λ∀␈ε↓␈␈↓ λe␈ε↓↓␈↓ 	i␈ε↓␈␈↓ 
;␈ε↓↓
␈β⊂∪␈↓ 	E␈∧⊂∪	Eα$
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαThen␈↓ α&␈εαPr␈↓ αX␈ελS␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελn␈↓ β⊂␈εα)␈↓ β*␈εα,␈αif␈αit␈αexists,␈αis␈αthe␈αcommon␈αvalue␈αof␈↓ πp␈εαPr␈↓ λ"␈ελS␈↓ λ8␈εα(␈↓ λD␈ελn␈↓ λY␈εα)␈↓ λ␈␈εαand␈↓ 	E␈εαPr␈↓ 	w␈ελS␈↓ 
∞␈εα(␈↓ 
~␈ελn␈↓ 
/␈εα)␈↓ 
I␈εα.
␈β⊂4␈↓ πp␈∧⊂4πpα$
␈β⊂F␈↓ α␈εαWe␈αhav␈α␈e␈αseen␈αthat␈αa␈↓ ∧W␈ελk␈↓ ∧i␈εα-distributed␈α[␈αε0,␈αε1)␈αsequence␈αleads␈αto␈αa␈↓ 	=␈ελk␈↓ 	O␈εα-distributed␈↓ ∩␈ελb␈↓  ␈εα-
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαary␈αsequence,␈αif␈↓ βH␈ελU␈↓ βq␈εαis␈αreplaced␈αby␈ε⊗␈αb␈↓ ¬e␈ελb␈↓ ¬t␈ελU␈↓ ε⊃␈ε⊗c␈εα.␈αOur␈α|rst␈αtheorem␈αsho␈α␈ws␈αthat␈αa␈αcon␈α␈v␈α␈erse
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαresult␈αis␈αalso␈αtrue.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα144␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αA.␈ε∂␈α→Let␈ε⊗␈αh␈↓ βk␈ελU␈↓ ∧∀␈ε⊗i␈εα␈α
=␈↓ ∧X␈ελU␈↓ ∧⎇␈ε∂,␈↓ ¬∪␈ελU␈↓ ¬9␈ε∂,␈↓ ¬O␈ελU␈↓ ¬t␈ε∂,␈↓ ε
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε@␈ε∂be␈αa␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈αsequence.␈αIf␈αthe␈αsequence
␈βα4␈↓ ∧α␈εn␈↓ ∧o␈ε¬0␈↓ ¬*␈ε¬1␈↓ ¬f␈ε¬2
␈βαx␈↓ ∧ ␈ε⊗hb␈↓ ∧:␈ελb␈↓ ∧T␈ελU␈↓ ∧⎇␈ε⊗ci␈εα␈α
=␈ε⊗␈α
b␈↓ ¬]␈ελb␈↓ ¬w␈ελU␈↓ ε≥␈ε⊗c␈εα,␈ε⊗␈α∞b␈↓ εQ␈ελb␈↓ εk␈ελU␈↓ π⊂␈ε⊗c␈εα,␈ε⊗␈α∞b␈↓ πD␈ελb␈↓ π←␈ελU␈↓ λ∧␈ε⊗c␈εα,␈↓ λ*␈εα.␈αε.␈αε.
␈ββ¬␈↓ ∧G␈εj␈↓ ∧k␈εn␈↓ ¬j␈εj␈↓ ε∞␈ε¬0␈↓ ε↑␈εj␈↓ πα␈ε¬1␈↓ πQ␈εj␈↓ πv␈ε¬2
␈ββI␈↓ ↓H␈ε∂is␈α⊂a␈↓ α∩␈ελk␈↓ α$␈ε∂-distributed␈↓ βl␈ελb␈↓ ∧ε␈ε∂-ary␈α⊂sequence␈α⊂for␈α⊂all␈↓ ε`␈ελb␈↓ π␈ε∂in␈α⊂an␈α⊂in|nite␈α⊂sequence␈α⊂of␈α⊂in␈α␈tegers
␈ββW␈↓ βy␈εj␈↓ εm␈εj
␈ββu␈↓ ↓H␈εα1␈α
<␈↓ α∩␈ελb␈↓ α7␈εα<␈↓ αe␈ελb␈↓ β
␈εα<␈↓ β8␈ελb␈↓ β↑␈εα<␈↓ ∧␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧<␈ε∂,␈αthen␈αthe␈αoriginal␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ λ∧␈ελU␈↓ λ-␈ε⊗i␈ε∂␈αis␈↓ λi␈ελk␈↓ λ{␈ε∂-distributed.
␈β∧α␈↓ α∨␈ε¬1␈↓ αr␈ε¬2␈↓ βE␈ε¬3␈↓ λ≠␈εn
␈β∧.␈↓ λ@␈εj␈↓ 
b␈εj
␈β∧3␈↓ α␈εαAs␈αan␈αexample␈αof␈α
this␈αtheorem,␈αsuppose␈αthat␈↓ π[␈ελb␈↓ λ␈εα=␈↓ λ.␈εα2␈↓ λM␈εα.␈α
The␈αsequence␈ε⊗␈αb␈↓ 
P␈εα2␈↓ 
o␈ελU␈↓ ∀␈ε⊗c␈εα,
␈β∧A␈↓ πh␈εj␈↓ ε␈ε¬0
␈β∧Y␈↓ ↓h␈εj
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε⊗b␈↓ ↓V␈εα2␈↓ ↓u␈ελU␈↓ α~␈ε⊗c␈εα,␈↓ α:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αk␈εαis␈απessen␈α␈tially␈απthe␈απsequence␈απof␈απthe␈απ|rst␈↓ π≥␈ελj␈↓ π4␈εαbits␈απof␈απthe␈απbinary␈αεrepresen␈α␈tations
␈β∧l␈↓ α␈ε¬1
␈β¬
␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓t␈ελU␈↓ α~␈εα,␈↓ α3␈ελU␈↓ αY␈εα,␈↓ αr␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β(␈εα.␈α∃If␈α∂all␈α∞these␈α∂in␈α␈teger␈α∂sequences␈α∂are␈↓ π←␈ελk␈↓ πp␈εα-distributed,␈α⊂in␈α∂the␈α∂sense␈α∞of
␈β¬↔␈↓ α␈ε¬0␈↓ αJ␈ε¬1
␈β¬5␈↓ ↓H␈εαDe|nition␈α
D␈↓ β
␈εα,␈α
the␈α
real-valued␈α
sequence␈↓ ε3␈ελU␈↓ εX␈εα,␈↓ εp␈ελU␈↓ π∃␈εα,␈↓ π,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πd␈εαm␈α␈ust␈α
also␈α
be␈↓ 	8␈ελk␈↓ 	I␈εα-distributed␈α
in
␈β¬B␈↓ εJ␈ε¬0␈↓ ππ␈ε¬1
␈β¬`␈↓ ↓H␈εαthe␈αsense␈αof␈αDe|nition␈αB.
␈βε∨␈↓ ↓H␈ε∂Proof␈αof␈αTheorem␈αA.␈εα␈α_If␈αthe␈αsequence␈ε⊗␈αb␈↓ ε(␈ελb␈↓ ε6␈ελU␈↓ ε\␈ε⊗c␈εα,␈ε⊗␈αb␈↓ π
␈ελb␈↓ π≤␈ελU␈↓ πA␈ε⊗c␈εα,␈↓ πe␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ≠␈εαis␈↓ λ>␈ελk␈↓ λP␈εα-distributed,␈αit␈αfollo␈α␈ws
␈βε,␈↓ εM␈ε¬0␈↓ π3␈ε¬1
␈βεJ␈↓ ↓H␈εαby␈αthe␈α
addition␈αof␈α
probabilities␈αthat␈αEq.␈α
(5)␈αholds␈α
whenev␈α␈er␈αeach␈↓ 	X␈ελu␈↓ 
ε␈εαand␈↓ 
L␈ελv␈↓ 
v␈εαis␈αa
␈βεW␈↓ 	l␈εj␈↓ 
\␈εj
␈βεu␈↓ ↓H␈εαrational␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
with␈α
denominator␈↓ ¬m␈ελb␈↓ ¬{␈εα.␈αNo␈α␈w␈α
let␈↓ π∀␈ελu␈↓ π6␈εα,␈↓ πJ␈ελv␈↓ πr␈εαbe␈α
an␈α␈y␈α
real␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈α
and␈α
let
␈βπβ␈↓ π)␈εj␈↓ πZ␈εj
␈βπ≠␈↓ ↓]␈ε→0␈↓ α∪␈ε→0
␈βπ ␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα,␈↓ α↓␈ελv␈↓ α-␈εαbe␈αrational␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αwith␈αdenominator␈↓ π↔␈ελb␈↓ π1␈εαsuch␈αthat
␈βπ2␈↓ ↓]␈εj␈↓ α∪␈εj
␈βπl␈↓ βf␈ε→0␈↓ ¬≠␈ε→0␈↓ εy␈ε→0␈↓ λ&␈ε→0
␈βπr␈↓ βP␈ελu␈↓ β⎇␈ε⊗∀␈↓ ∧+␈ελu␈↓ ∧W␈εα<␈↓ ¬¬␈ελu␈↓ ¬0␈εα+␈αλ1/␈↓ ε␈ελb␈↓ ε∞␈εα,␈↓ εf␈ελv␈↓ π⊂␈ε⊗∀␈↓ π>␈ελv␈↓ πe␈εα<␈↓ λ∪␈ελv␈↓ λ;␈εα+␈αλ1/␈↓ 	␈ελb␈↓ 	~␈εα.
␈βπ␈␈↓ ∧@␈εj␈↓ πN␈εj
␈βλ∧␈↓ βf␈εj␈↓ ¬≠␈εj␈↓ εy␈εj␈↓ λ&␈εj
␈βλD␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ απ␈ελS␈↓ α≥␈εα(␈↓ α)␈ελn␈↓ α?␈εα)␈α
be␈α	the␈α
statemen␈α␈t␈α	that␈↓ ¬.␈ελu␈↓ ¬[␈ε⊗∀␈↓ ε	␈ελU␈↓ ε<␈εα<␈↓ εj␈ελv␈↓ πλ␈εα,␈↓ π≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πL␈εα,␈↓ π`␈ελu␈↓ λ
␈ε⊗∀␈↓ λ;␈ελU␈↓ 	D␈εα<␈↓ 	r␈ελv␈↓ 
⊃␈εα.␈αWe␈α	hav␈α␈e
␈βλQ␈↓ ¬B␈ε¬1␈↓ ε ␈εn␈↓ εy␈ε¬1␈↓ πt␈εk␈↓ λR␈εn␈↓ λd␈ε¬+␈↓ 	↓␈εk␈↓ 	∂␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
α␈εk
␈β	␈↓ α⊂␈ε↓␈␈↓ αb␈ε↓↓
␈β	∩␈↓ βR␈ε↓∩␈↓ 	{␈ε↓∪
␈β	∃␈↓ ¬}␈εα1␈↓ 	e␈εα1
␈β	&␈↓ β⎇␈ε→0␈↓ ¬7␈ε→0␈↓ π
␈ε→0␈↓ 	≡␈ε→0
␈β	)␈↓ ↓l␈∧	)↓lα$
␈β	,␈↓ ↓l␈εαPr␈↓ α≡␈ελS␈↓ α4␈εα(␈↓ α@␈ελn␈↓ αV␈εα)␈↓ αz␈ε⊗∀␈↓ β(␈εαPr␈↓ βh␈ελu␈↓ ∧⊗␈ε⊗∀␈↓ ∧D␈ελU␈↓ ∧w␈εα<␈↓ ¬%␈ελv␈↓ ¬N␈εα+␈↓ ε∀␈εα,␈↓ ε.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↑␈εα,␈↓ εx␈ελu␈↓ π&␈ε⊗∀␈↓ πT␈ελU␈↓ λ]␈εα<␈↓ 	␈ελv␈↓ 	5␈εα+
␈β	9␈↓ ∧[␈εn␈↓ πk␈εn␈↓ π⎇␈ε¬+␈↓ λ~␈εk␈↓ λ(␈ε→␈␈ε¬1
␈β	<␈↓ ¬}␈∧	<¬}α∩␈↓ 	e␈∧	<	eα∩
␈β	>␈↓ β⎇␈ε¬1␈↓ ¬7␈ε¬1␈↓ π
␈εk␈↓ 	≡␈εk
␈β	D␈↓ ε␈ελb␈↓ 	g␈ελb
␈β	o␈↓ εb␈ε↓∩␈↓ λ?␈ε↓∪␈↓ 	␈ε↓∩␈↓ 
h␈ε↓∪
␈β	s␈↓ λ)␈εα1␈↓ 
R␈εα1
␈β
∧␈↓ π
␈ε→0␈↓ πc␈ε→0␈↓ 	4␈ε→0␈↓ 
␈ε→0
␈β

␈↓ ε4␈εα=␈↓ εx␈ελv␈↓ π!␈ε⊗␈␈↓ πM␈ελu␈↓ πy␈εα+␈↓ λ[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	!␈ελv␈↓ 	J␈ε⊗␈␈↓ 	v␈ελu␈↓ 
"␈εα+␈↓ 
}␈εα;
␈β
~␈↓ λ)␈∧
~λ)α∩␈↓ 
R␈∧
~
Rα∩
␈β
≤␈↓ π
␈ε¬1␈↓ πc␈ε¬1␈↓ 	4␈εk␈↓ 
␈εk
␈β
"␈↓ λ+␈ελb␈↓ 
T␈ελb
␈β
Y␈↓ α⊂␈ε↓␈␈↓ αb␈ε↓↓
␈β
↑␈↓ βR␈ε↓∩␈↓ 	{␈ε↓∪
␈β
b␈↓ ∧D␈εα1␈↓ πT␈εα1
␈β
s␈↓ β⎇␈ε→0␈↓ ε¬␈ε→0␈↓ π
␈ε→0␈↓ 	l␈ε→0
␈β
y␈↓ ↓l␈εαPr␈↓ α≡␈ελS␈↓ α4␈εα(␈↓ α@␈ελn␈↓ αV␈εα)␈↓ αz␈ε⊗∃␈↓ β(␈εαPr␈↓ βh␈ελu␈↓ ∧∀␈εα+␈↓ ∧d␈ε⊗∀␈↓ ¬∩␈ελU␈↓ ¬E␈εα<␈↓ ¬s␈ελv␈↓ ε∀␈εα,␈↓ ε.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↑␈εα,␈↓ εx␈ελu␈↓ π$␈εα+␈↓ πt␈ε⊗∀␈↓ λ"␈ελU␈↓ 	+␈εα<␈↓ 	Y␈ελv
␈βε␈↓ ¬)␈εn␈↓ λ9␈εn␈↓ λK␈ε¬+␈↓ λh␈εk␈↓ λv␈ε→␈␈ε¬1
␈β	␈↓ ∧D␈∧	∧Dα∩␈↓ πT␈∧	πTα∩
␈β␈↓ β⎇␈ε¬1␈↓ ε¬␈ε¬1␈↓ π
␈εk␈↓ 	l␈εk
␈β⊃␈↓ ∧E␈ελb␈↓ πV␈ελb
␈β⊗␈↓ ↓l␈∧⊗↓lα$
␈β<␈↓ εb␈ε↓∩␈↓ λ?␈ε↓∪␈↓ 	␈ε↓∩␈↓ 
h␈ε↓∪
␈β?␈↓ λ)␈εα1␈↓ 
R␈εα1
␈βP␈↓ π
␈ε→0␈↓ πc␈ε→0␈↓ 	4␈ε→0␈↓ 
␈ε→0
␈βV␈↓ ε4␈εα=␈↓ εx␈ελv␈↓ π!␈ε⊗␈␈↓ πM␈ελu␈↓ πy␈ε⊗␈␈↓ λ[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	!␈ελv␈↓ 	J␈ε⊗␈␈↓ 	v␈ελu␈↓ 
"␈ε⊗␈␈↓ 
}␈εα.
␈βg␈↓ λ)␈∧gλ)α∩␈↓ 
R␈∧g
Rα∩
␈βh␈↓ π
␈ε¬1␈↓ πc␈ε¬1␈↓ 	4␈εk␈↓ 
␈εk
␈βo␈↓ λ+␈ελb␈↓ 
T␈ελb
␈β8␈↓ αA␈ε→0␈↓ β⊃␈ε→0
␈β>␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈ε⊗␈α	j␈εα(␈↓ α.␈ελv␈↓ αS␈ε⊗␈␈↓ α{␈ελu␈↓ β#␈ε⊗ε␈εα␈α∧1/␈↓ βo␈ελb␈↓ β}␈εα)␈ε⊗␈α∧␈␈εα␈α¬(␈↓ ∧C␈ελv␈↓ ∧d␈ε⊗␈␈↓ ¬
␈ελu␈↓ ¬/␈εα)␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
2/␈↓ ε!␈ελb␈↓ ε/␈εα;␈α
since␈α
our␈α	inequalities␈α
hold␈α	for␈α	all␈↓ 
B␈ελb␈↓ 
Z␈εα=␈↓ λ␈ελb␈↓ "␈εα,
␈βK␈↓ ∧S␈εj␈↓ ¬!␈εj␈↓ ∃␈εj
␈βO␈↓ αA␈εj␈↓ β⊃␈εj
␈βi␈↓ ↓H␈εαand␈αsince␈↓ αf␈ελb␈↓ β
␈ε⊗!␈α
1␈εα␈αas␈↓ ∧∀␈ελj␈↓ ∧.␈ε⊗!␈α
1␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βv␈↓ αs␈εj
␈β
≠␈↓ ¬≤␈ε↓␈␈↓ ¬n␈ε↓↓␈↓ εX␈ε↓␈␈↓ π*␈ε↓↓
␈β
7␈↓ ε4␈∧
7ε4α$
␈β
:␈↓ ↓p␈εα(␈↓ ↓|␈ελv␈↓ α"␈ε⊗␈␈↓ αN␈ελu␈↓ αq␈εα)␈↓ ββ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β3␈εα(␈↓ β?␈ελv␈↓ βe␈ε⊗␈␈↓ ∧⊃␈ελu␈↓ ∧4␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧x␈εαPr␈↓ ¬*␈ελS␈↓ ¬A␈εα(␈↓ ¬M␈ελn␈↓ ¬b␈εα)␈↓ εε␈ε⊗∀␈↓ ε4␈εαPr␈↓ εf␈ελS␈↓ ε|␈εα(␈↓ πλ␈ελn␈↓ π≡␈εα)␈↓ πB␈ε⊗∀␈εα␈α
(␈↓ π|␈ελv␈↓ λ"␈ε⊗␈␈↓ λN␈ελu␈↓ λq␈εα)␈↓ 	β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	3␈εα(␈↓ 	?␈ελv␈↓ 	f␈ε⊗␈␈↓ 
∩␈ελu␈↓ 
5␈εα).
␈β
?␈↓ 
r␈∧
?
r≠∂
␈β
H␈↓ α␈ε¬1␈↓ αc␈ε¬1␈↓ βO␈εk␈↓ ∧&␈εk␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λc␈ε¬1␈↓ 	O␈εk␈↓ 
&␈εk
␈β
W␈↓ ∧x␈∧
W∧xα$
␈β∞␈↓ α␈εαThe␈α∂next␈α∞theorem␈α∂is␈α∞our␈α∂main␈α∞tool␈α∂for␈α∞pro␈α␈ving␈α∂things␈α∞about␈↓ 	c␈ελk␈↓ 	t␈εα-distributed
␈β∞7␈↓ ↓H␈εαsequences.
␈β∞v␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αB.␈ε∂␈α~Let␈ε⊗␈αh␈↓ βj␈ελU␈↓ ∧∪␈ε⊗i␈ε∂␈α
be␈αa␈↓ ∧z␈ελk␈↓ ¬␈ε∂-distributed␈εα␈α
[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈αsequence,␈αand␈α
let␈↓ 	F␈ελf␈↓ 	W␈εα(␈↓ 	c␈ελx␈↓ 
α␈εα,␈↓ 
∩␈ελx␈↓ 
1␈εα,␈↓ 
A␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
q␈εα,␈↓ ↓␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β∂β␈↓ ∧↓␈εn␈↓ 	t␈ε¬1␈↓ 
#␈ε¬2␈↓ ∩␈εk
␈β∂!␈↓ ↓H␈ε∂be␈αa␈αRiemann-in␈α␈tegrable␈αfunction␈αof␈↓ ε∞␈ελk␈↓ ε+␈ε∂variables;␈αthen
␈β∂←␈↓ ∧r␈ε↓X
␈β∂k␈↓ ∧;␈εα1
␈β⊂α␈↓ βp␈εαlim␈↓ ¬F␈ελf␈↓ ¬W␈εα(␈↓ ¬c␈ελU␈↓ επ␈εα,␈↓ ε↔␈ελU␈↓ εg␈εα,␈↓ εw␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π'␈εα,␈↓ π7␈ελU␈↓ λ1␈εα)
␈β⊂∂␈↓ ¬z␈εj␈↓ ε.␈εj␈↓ ε;␈ε¬+1␈↓ πN␈εj␈↓ π[␈ε¬+␈↓ πx␈εk␈↓ λε␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂∩␈↓ ∧9␈∧⊂∩∧9α⊗
␈β⊂~␈↓ ∧9␈ελn
␈β⊂#␈↓ βc␈εn␈↓ βu␈ε→!1
␈β⊂3␈↓ ∧Y␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬∧␈εj␈↓ ¬⊃␈ε¬<␈↓ ¬.␈εn
␈β⊂D␈↓ α␈εα(8)
␈β⊂Z␈↓ ∧]␈ε↓Z␈↓ ¬L␈ε↓Z
␈β⊂c␈↓ ¬↓␈ε¬1␈↓ ¬p␈ε¬1
␈β⊃π␈↓ ∧/␈εα=␈↓ ¬⊗␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε∧␈ελf␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελx␈↓ ε@␈εα,␈↓ εP␈ελx␈↓ εo␈εα,␈↓ ε␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π/␈εα,␈↓ π?␈ελx␈↓ π↑␈εα)␈↓ πp␈ελd␈↓ λ¬␈ελx␈↓ λ*␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λZ␈ελd␈↓ λn␈ελx␈↓ 	
␈εα.
␈β⊃∃␈↓ ε2␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬2␈↓ πP␈εk␈↓ λ∃␈ε¬1␈↓ λ}␈εk
␈β⊃+␈↓ ∧q␈ε¬0␈↓ ¬`␈ε¬0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα145
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≠The␈α
de|nition␈α∞of␈α
a␈↓ ∧x␈ελk␈↓ ¬
␈εα-distributed␈α
sequence␈α
states␈α
that␈α∞this␈α
result␈α
is␈α
true
␈βαS␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αspecial␈αcase␈αthat
␈ββ$␈↓ ∧d␈ε↓~
␈ββ)␈↓ ∧z␈εα1,␈↓ ¬↑␈εαif␈↓ ε␈ελu␈↓ ε-␈ε⊗∀␈↓ ε[␈ελx␈↓ π∧␈εα<␈↓ π2␈ελv␈↓ πP␈εα,␈↓ π`␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ⊂␈εα,␈↓ λ ␈ελu␈↓ λN␈ε⊗∀␈↓ λ|␈ελx␈↓ 	%␈εα<␈↓ 	S␈ελv␈↓ 	q␈εα;
␈ββ6␈↓ ε∃␈ε¬1␈↓ εl␈ε¬1␈↓ πB␈ε¬1␈↓ λ5␈εk␈↓ 	␈εk␈↓ 	b␈εk
␈ββ>␈↓ αu␈ελf␈↓ βε␈εα(␈↓ β∩␈ελx␈↓ β1␈εα,␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βq␈εα,␈↓ ∧↓␈ελx␈↓ ∧ ␈εα)␈α
=␈↓ α␈εα(9)
␈ββL␈↓ β#␈ε¬1␈↓ ∧∩␈εk
␈ββT␈↓ ∧z␈εα0,␈↓ ¬↑␈εαotherwise.
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαTherefore␈αEq.␈α(8)␈αis␈αtrue␈αwhenev␈α␈er␈↓ ¬m␈ελf␈↓ ελ␈εα=␈↓ ε6␈ελa␈↓ εU␈ελf␈↓ εv␈εα+␈↓ π!␈ελa␈↓ π@␈ελf␈↓ πa␈εα+␈↓ λ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ=␈εα+␈↓ λi␈ελa␈↓ 	∪␈ελf␈↓ 	D␈εαand␈αwhen␈αeach
␈β∧8␈↓ εG␈ε¬1␈↓ ε`␈ε¬1␈↓ π2␈ε¬2␈↓ πK␈ε¬2␈↓ λy␈εm␈↓ 	≡␈εm
␈β∧V␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓m␈εαis␈αa␈α
function␈αof␈α
type␈α
(9);␈α
in␈αother␈α
w␈α␈ords,␈α
Eq.␈α(8)␈α
holds␈α
whenev␈α␈er␈↓ 	m␈ελf␈↓ 
␈εαis␈α
a␈α\step-
␈β∧d␈↓ ↓S␈εj
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαfunction"␈αobtained␈α
by␈α(i)␈α
partitioning␈α
the␈αunit␈↓ π2␈ελk␈↓ πD␈εα-dimensional␈αcube␈α
in␈α␈to␈αsubcells
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαwhose␈α	faces␈α	are␈αλparallel␈α	to␈α	the␈α	coordinate␈α	ax␈α␈es,␈α
and␈α	(ii)␈α	assigning␈α	a␈α	constan␈α␈t␈αλvalue
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓t␈ελf␈↓ α⊃␈εαon␈αeach␈αsubcell.
␈βεβ␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αλlet␈↓ β␈ελf␈↓ β$␈εαbe␈αλan␈α␈y␈αλRiemann-in␈α␈tegrable␈αλfunction.␈α
If␈↓ λβ␈ελ∂␈↓ λ→␈εαis␈αλan␈α␈y␈αλpositiv␈α␈e␈αλn␈α␈um␈α␈ber,␈αλw␈α␈e
␈βε/␈↓ ↓H␈εαkno␈α␈w␈α
(by␈α
the␈αde|nition␈α
of␈αRiemann-in␈α␈tegrability)␈α
that␈α
there␈αexist␈α
step␈α
functions
␈βεV␈↓ α+␈∧εVα+α∩␈↓ πG␈∧εVπGα∩
␈βεZ␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓e␈εαand␈↓ α+␈ελf␈↓ αH␈εαsuch␈αthat␈↓ βh␈ελf␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελx␈↓ ∧$␈εα,␈↓ ∧4␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧d␈εα,␈↓ ∧t␈ελx␈↓ ¬∀␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬X␈ελf␈↓ ¬i␈εα(␈↓ ¬u␈ελx␈↓ ε∀␈εα,␈↓ ε$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εT␈εα,␈↓ εd␈ελx␈↓ πβ␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ πG␈ελf␈↓ πX␈εα(␈↓ πd␈ελx␈↓ λβ␈εα,␈↓ λ∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λC␈εα,␈↓ λS␈ελx␈↓ λr␈εα),␈αand␈αsuch␈αthat␈αthe
␈βεg␈↓ ∧⊗␈ε¬1␈↓ ¬¬␈εk␈↓ ε¬␈ε¬1␈↓ εt␈εk␈↓ πu␈ε¬1␈↓ λd␈εk
␈βε}␈↓ ↓H␈∧ε}↓Hα∩␈↓ βh␈∧ε}βhα∩
␈βπε␈↓ ¬p␈∧πε¬pα∩
␈βπ	␈↓ ↓H␈εαdi{erence␈αof␈αthe␈αin␈α␈tegrals␈αof␈↓ ¬
␈ελf␈↓ ¬*␈εαand␈↓ ¬p␈ελf␈↓ ε
␈εαis␈αless␈αthan␈↓ πG␈ελ∂␈↓ πU␈εα.␈αSince␈αEq.␈α(8)␈αholds␈αfor␈↓ 
U␈ελf␈↓ 
r␈εαand
␈βπ-␈↓ ¬
␈∧π-¬
α∩␈↓ 
U␈∧π-
Uα∩
␈βπ5␈↓ ↓H␈∧π5↓Hα∩
␈βπ9␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα,␈αand␈αsince
␈βπ|␈↓ β-␈ε↓X␈↓ π∞␈ε↓X
␈βλλ␈↓ αv␈εα1␈↓ εW␈εα1
␈βλ∨␈↓ ∧↓␈ελf␈↓ ∧∩␈εα(␈↓ ∧≡␈ελU␈↓ ∧B␈εα,␈↓ ∧R␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬α␈εα,␈↓ ¬∩␈ελU␈↓ ε
␈εα)␈↓ ε#␈ε⊗∀␈↓ πb␈ελf␈↓ πs␈εα(␈↓ π␈␈ελU␈↓ λ#␈εα,␈↓ λ3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λc␈εα,␈↓ λs␈ελU␈↓ 	n␈εα)
␈βλ,␈↓ ∧5␈εj␈↓ ¬)␈εj␈↓ ¬7␈ε¬+␈↓ ¬S␈εk␈↓ ¬b␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ⊗␈εj␈↓ 	
␈εj␈↓ 	_␈ε¬+␈↓ 	4␈εk␈↓ 	C␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ/␈↓ αt␈∧λ/αtα⊗␈↓ εU␈∧λ/εUα⊗
␈βλ7␈↓ αt␈ελn␈↓ εU␈ελn
␈βλC␈↓ ∧↓␈∧λC∧↓α∩
␈βλP␈↓ β∀␈ε¬0␈ε→∀␈↓ β?␈εj␈↓ βL␈ε¬<␈↓ βi␈εn␈↓ εu␈ε¬0␈ε→∀␈↓ π ␈εj␈↓ π-␈ε¬<␈↓ πJ␈εn
␈βλs␈↓ π∞␈ε↓X
␈β	␈↓ εW␈εα1
␈β	∪␈↓ πb␈∧	∪πbα∩
␈β	⊗␈↓ ε#␈ε⊗∀␈↓ πb␈ελf␈↓ πs␈εα(␈↓ π␈␈ελU␈↓ λ#␈εα,␈↓ λ3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λc␈εα,␈↓ λs␈ελU␈↓ 	n␈εα),
␈β	$␈↓ λ⊗␈εj␈↓ 	
␈εj␈↓ 	_␈ε¬+␈↓ 	4␈εk␈↓ 	C␈ε→␈␈ε¬1
␈β	'␈↓ εU␈∧	'εUα⊗
␈β	/␈↓ εU␈ελn
␈β	H␈↓ εu␈ε¬0␈ε→∀␈↓ π ␈εj␈↓ π-␈ε¬<␈↓ πJ␈εn
␈β
%␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αconclude␈αthat␈αEq.␈α(8)␈αis␈αtrue␈αalso␈αfor␈↓ εE␈ελf␈↓ εV␈εα.
␈β
*␈↓ ππ␈∧
*ππ≠∂
␈β
h␈↓ α␈εαTheorem␈α	B␈α
can␈α	be␈α	applied,␈α
for␈α
example,␈α
to␈α	the␈ε∂␈α	perm␈α␈utation␈α
test␈εα␈α	described␈α	in
␈β∪␈↓ ↓H␈εαSection␈α	3.3.2.␈αLet␈α	(␈↓ βm␈ελp␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧≤␈ελp␈↓ ∧<␈εα,␈↓ ∧L␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧|␈εα,␈↓ ¬␈ελp␈↓ ¬+␈εα)␈α	be␈α	an␈α␈y␈α	perm␈α␈utation␈α	of␈α
the␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈ε⊗␈α	f␈εα1,␈αε2,␈↓ 
?␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
o␈εα,␈↓ 
␈␈ελk␈↓ ⊂␈ε⊗g␈εα;
␈β ␈↓ β}␈ε¬1␈↓ ∧-␈ε¬2␈↓ ¬≥␈εk
␈β>␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat
␈β⊗␈↓ β"␈εαPr␈↓ βF␈εα(␈↓ βR␈ελU␈↓ ∧f␈εα<␈↓ ¬∀␈ελU␈↓ ε)␈εα<␈↓ εW␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π␈εα<␈↓ π9␈ελU␈↓ λE␈εα)␈α
=␈α
1/␈↓ 	-␈ελk␈↓ 	>␈εα!.␈↓ 
p␈εα(10)
␈β#␈↓ βi␈εn␈↓ β{␈ε¬+␈↓ ∧↔␈εp␈↓ ∧1␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬+␈εn␈↓ ¬=␈ε¬+␈↓ ¬Z␈εp␈↓ ¬t␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ πP␈εn␈↓ πb␈ε¬+␈↓ π␈␈εp␈↓ λ→␈ε→␈␈ε¬1
␈β,␈↓ ∧&␈επ1␈↓ ¬h␈επ2␈↓ λ
␈ε
k
␈βm␈↓ ↓H␈εαTo␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthis,␈αassume␈αthat␈αthe␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ εZ␈ελU␈↓ πβ␈ε⊗i␈εα␈αis␈↓ π?␈ελk␈↓ πP␈εα-distributed,␈αand␈αlet
␈βz␈↓ εq␈εn
␈β
@␈↓ ¬4␈ε↓~
␈β
D␈↓ ¬J␈εα1,␈↓ ε.␈εαif␈↓ εP␈ελx␈↓ π∧␈εα<␈↓ π2␈ελx␈↓ πf␈εα<␈↓ λ∀␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λH␈εα<␈↓ λv␈ελx␈↓ 	"␈εα;
␈β
R␈↓ ε`␈εp␈↓ πC␈εp␈↓ 	π␈εp
␈β
Z␈↓ βD␈ελf␈↓ βV␈εα(␈↓ βb␈ελx␈↓ ∧↓␈εα,␈↓ ∧⊃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧A␈εα,␈↓ ∧Q␈ελx␈↓ ∧p␈εα)␈α
=␈↓ εo␈επ1␈↓ πQ␈επ2␈↓ 	∃␈ε
k
␈β
g␈↓ βr␈ε¬1␈↓ ∧a␈εk
␈β
o␈↓ ¬J␈εα0,␈↓ ε.␈εαotherwise.
␈β∞E␈↓ ↓H␈εαWe␈αhav␈α␈e
␈β∞d␈↓ β0␈εαPr␈↓ βT␈εα(␈↓ β`␈ελU␈↓ ∧u␈εα<␈↓ ¬#␈ελU␈↓ ε7␈εα<␈↓ εe␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π→␈εα<␈↓ πG␈ελU␈↓ λS␈εα)
␈β∞r␈↓ βw␈εn␈↓ ∧	␈ε¬+␈↓ ∧&␈εp␈↓ ∧?␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬:␈εn␈↓ ¬K␈ε¬+␈↓ ¬h␈εp␈↓ εα␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π↑␈εn␈↓ πp␈ε¬+␈↓ λ
␈εp␈↓ λ(␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞z␈↓ ∧4␈επ1␈↓ ¬w␈επ2␈↓ λ≠␈ε
k
␈β∂∞␈↓ ∧*␈ε↓Z␈↓ ¬_␈ε↓Z
␈β∂⊗␈↓ ∧N␈ε¬1␈↓ ¬<␈ε¬1
␈β∂;␈↓ β|␈εα=␈↓ ∧b␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬Q␈ελf␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελx␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εM␈εα,␈↓ ε]␈ελx␈↓ ε|␈εα)␈↓ π∞␈ελd␈↓ π"␈ελx␈↓ πG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πw␈ελd␈↓ λ␈ελx
␈β∂H␈↓ ¬␈␈ε¬1␈↓ εn␈εk␈↓ π3␈ε¬1␈↓ λ≤␈εk
␈β∂←␈↓ ∧>␈ε¬0␈↓ ¬,␈ε¬0
␈β∂k␈↓ ∧*␈ε↓Z␈↓ ¬.␈ε↓Z␈↓ ε5␈ε↓Z␈↓ πP␈ε↓Z
␈β∂t␈↓ ∧N␈ε¬1␈↓ ¬R␈εx␈↓ εY␈εx␈↓ πt␈εx
␈β∂|␈↓ ¬`␈ε
p␈↓ εh␈ε
p␈↓ λα␈ε
p
␈β⊂α␈↓ 	%␈εα1
␈β⊂β␈↓ ¬m␈ε
k␈↓ εt␈επ3␈↓ λ∂␈επ2
␈β⊂_␈↓ β|␈εα=␈↓ ∧h␈ελd␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬␈␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π␈ελd␈↓ π ␈ελx␈↓ λ&␈ελd␈↓ λ:␈ελx␈↓ λn␈εα=␈↓ 	@␈εα.
␈β⊂&␈↓ ¬
␈εp␈↓ π0␈εp␈↓ λK␈εp
␈β⊂)␈↓ 	 ␈∧⊂)	 α≤
␈β⊂.␈↓ ¬≠␈ε
k␈↓ π?␈επ2␈↓ λY␈επ1
␈β⊂1␈↓ 	 ␈ελk␈↓ 	2␈εα!
␈β⊂<␈↓ ∧>␈ε¬0␈↓ ¬B␈ε¬0␈↓ εI␈ε¬0␈↓ πd␈ε¬0
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ε∩Corollary␈α
P.␈ε∂␈α∀If␈α
a␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈α
sequence␈α
is␈↓ ¬i␈ελk␈↓ ¬{␈ε∂-distributed,␈α
it␈α
satis|es␈α
the␈α
perm␈α␈utation␈α
test
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∂of␈αorder␈↓ αP␈ελk␈↓ αa␈ε∂,␈αin␈αthe␈αsense␈αof␈αEq.␈εα␈α(10)␈ε∂.
␈β⊃∨␈↓ ε∪␈∧⊃∨ε∪≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα146␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ α␈εαWe␈αcan␈αalso␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthe␈ε∂␈αserial␈αcorrelation␈αtest␈εα␈αis␈αsatis|ed:
␈βαh␈↓ ↓H␈ε∩Corollary␈α⊂S.␈ε∂␈α!If␈α⊂a␈εα␈α⊂[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈α⊂sequence␈α⊂is␈εα␈α⊂(␈↓ ε#␈ελk␈↓ ε@␈εα+␈α1)␈ε∂-distributed,␈α⊃the␈α⊂serial␈α⊂correlation
␈ββ∀␈↓ ↓H␈ε∂coe}cien␈α␈t␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ βy␈ελU␈↓ ∧.␈ε∂and␈↓ ∧t␈ελU␈↓ ¬T␈ε∂tends␈αto␈αzero:
␈ββ!␈↓ ∧⊂␈εn␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬≤␈ε¬+␈↓ ¬9␈εk
␈ββK␈↓ ε⊃␈ε↓␈␈↓ π∂␈ε↓↓␈↓ π≥␈ε↓␈␈↓ λF␈ε↓↓
␈ββN␈↓ ∧=␈ε↓P␈↓ ε?␈ε↓P␈↓ πK␈ε↓P
␈ββg␈↓ ∧#␈ε¬1␈↓ ε%␈ε¬1␈↓ π1␈ε¬1
␈ββj␈↓ ∧i␈ελU␈↓ ¬
␈ελU␈↓ ¬e␈ε⊗␈␈↓ εk␈ελU␈↓ πw␈ελU
␈ββx␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬$␈εj␈↓ ¬2␈ε¬+␈↓ ¬N␈εk␈↓ πα␈εj␈↓ λ∞␈εj␈↓ λ≠␈ε¬+␈↓ λ8␈εk
␈ββ{␈↓ ∧!␈∧β{∧!α∩␈↓ ε#␈∧β{ε#α∩␈↓ π/␈∧β{π/α∩
␈ββ⎇␈↓ ∧!␈εn␈↓ ε#␈εn␈↓ π/␈εn
␈β∧β␈↓ β≤␈ε↓q
␈β∧¬␈↓ αS␈εαlim␈↓ 	d␈εα=␈α
0.
␈β∧∪␈↓ β@␈ε↓␈␈↓ ∧z␈ε↓␈␈↓ ¬x␈ε↓↓␈↓ ε∀␈ε↓↓␈↓ ε"␈ε↓␈␈↓ λα␈ε↓␈␈↓ 	+␈ε↓↓␈↓ 	H␈ε↓↓
␈β∧∃␈↓ β≤␈∧∧∃β≤αε:
␈β∧⊗␈↓ βn␈ε↓P␈↓ ¬(␈ε↓P␈↓ εP␈ε↓P␈↓ λ0␈ε↓P
␈β∧≡␈↓ β@␈∧∧≡β@αε⊗
␈β∧%␈↓ εε␈ε¬2␈↓ 	9␈ε¬2
␈β∧&␈↓ αF␈εn␈↓ αX␈ε→!1
␈β∧/␈↓ βT␈ε¬1␈↓ ¬∞␈ε¬1␈↓ ε6␈ε¬1␈↓ λ⊗␈ε¬1
␈β∧0␈↓ ∧8␈ε¬2␈↓ π~␈ε¬2
␈β∧2␈↓ ∧~␈ελU␈↓ ∧N␈ε⊗␈␈↓ ¬T␈ελU␈↓ ε|␈ελU␈↓ πV␈ε⊗␈␈↓ λ\␈ελU
␈β∧@␈↓ ¬k␈εj␈↓ λs␈εj␈↓ 	␈ε¬+␈↓ 	≥␈εk
␈β∧B␈↓ βR␈∧∧BβRα∩␈↓ ¬␈∧∧B¬α∩␈↓ ε4␈∧∧Bε4α∩␈↓ λ∀␈∧∧Bλ∀α∩
␈β∧D␈↓ ∧3␈εj␈↓ π∃␈εj␈↓ π"␈ε¬+␈↓ π?␈εk
␈β∧E␈↓ βR␈εn␈↓ ¬␈εn␈↓ ε4␈εn␈↓ λ∀␈εn
␈β¬∞␈↓ ↓H␈εα(All␈αsummations␈αhere␈αare␈αfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬b␈ελj␈↓ ¬|␈εα<␈↓ ε*␈ελn␈↓ ε@␈εα.)
␈β¬N␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α→By␈αTheorem␈αB␈↓ ∧'␈εα,␈αthe␈αquan␈α␈tities
␈βελ␈↓ α:␈ε↓P␈↓ ∧Q␈ε↓P␈↓ ε!␈ε↓P␈↓ λ↔␈ε↓P␈↓ 	←␈ε↓P
␈βε∨␈↓ ¬≠␈ε¬2␈↓ εk␈ε¬2
␈βε ␈↓ α∨␈ε¬1␈↓ ∧7␈ε¬1␈↓ επ␈ε¬1␈↓ π|␈ε¬1␈↓ 	E␈ε¬1
␈βε$␈↓ αf␈ελU␈↓ β
␈ελU␈↓ βY␈εα,␈↓ ∧⎇␈ελU␈↓ ¬)␈εα,␈↓ εM␈ελU␈↓ π∨␈εα,␈↓ λC␈ελU␈↓ λg␈εα,␈↓ 
␈ελU
␈βε1␈↓ α⎇␈εj␈↓ β!␈εj␈↓ β.␈ε¬+␈↓ βK␈εk␈↓ λZ␈εj␈↓ 
"␈εj␈↓ 
/␈ε¬+␈↓ 
L␈εk
␈βε4␈↓ α≡␈∧ε4α≡α∩␈↓ ∧5␈∧ε4∧5α∩␈↓ ε¬␈∧ε4ε¬α∩␈↓ π{␈∧ε4π{α∩␈↓ 	C␈∧ε4	Cα∩
␈βε6␈↓ α≡␈εn␈↓ ∧5␈εn␈↓ ¬⊗␈εj␈↓ ε¬␈εn␈↓ εf␈εj␈↓ εs␈ε¬+␈↓ π⊂␈εk␈↓ π{␈εn␈↓ 	C␈εn
␈βεz␈↓ ¬∪␈ε¬1␈↓ ¬?␈ε¬1␈↓ ¬k␈ε¬1␈↓ ε_␈ε¬1␈↓ εD␈ε¬1
␈βε⎇␈↓ ↓H␈εαtend␈αto␈αthe␈αrespectiv␈α␈e␈αlimits␈↓ ¬%␈εα,␈↓ ¬Q␈εα,␈↓ ¬}␈εα,␈↓ ε*␈εα,␈↓ εc␈εαas␈↓ π∂␈ελn␈↓ π.␈ε⊗!␈α
1␈εα.
␈βπα␈↓ λ2␈∧παλ2≠∂
␈βπ
␈↓ ¬∪␈∧π
¬∪α∂␈↓ ¬?␈∧π
¬?α∂␈↓ ¬k␈∧π
¬kα∂␈↓ ε_␈∧π
ε_α∂␈↓ εD␈∧π
εDα∂
␈βπ⊂␈↓ ¬∪␈ε¬4␈↓ ¬?␈ε¬3␈↓ ¬k␈ε¬3␈↓ ε_␈ε¬2␈↓ εD␈ε¬2
␈βπ=␈↓ α␈εαLet␈α∂us␈α⊂no␈α␈w␈α∂consider␈α∂some␈α∂sligh␈α␈tly␈α∂more␈α⊂general␈α∂distribution␈α∂properties␈α∂of
␈βπi␈↓ ↓H␈εαsequences.␈αWe␈αhav␈α␈e␈α
de|ned␈αthe␈αnotion␈α
of␈↓ εT␈ελk␈↓ εe␈εα-distribution␈αby␈αconsidering␈α
all␈αof␈α
the
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εαadjacen␈α␈t␈↓ αU␈ελk␈↓ αf␈εα-tuples;␈α
for␈αλexample,␈α	a␈αλsequence␈αλis␈αλ2-distributed␈αλif␈αλand␈αλonly␈αλif␈αλthe␈αλpoin␈α␈ts
␈βλi␈↓ βJ␈εα(␈↓ βV␈ελU␈↓ β{␈εα,␈↓ ∧␈ελU␈↓ ∧1␈εα),␈α∞(␈↓ ∧a␈ελU␈↓ ¬ε␈εα,␈↓ ¬⊗␈ελU␈↓ ¬<␈εα),␈α∞(␈↓ ¬l␈ελU␈↓ ε⊃␈εα,␈↓ ε!␈ελU␈↓ εF␈εα),␈α∞(␈↓ εv␈ελU␈↓ π≤␈εα,␈↓ π,␈ελU␈↓ πQ␈εα),␈α∞(␈↓ λ↓␈ελU␈↓ λ'␈εα,␈↓ λ7␈ελU␈↓ λ\␈εα),␈↓ 	␈εα.␈αε.␈αε.
␈βλw␈↓ βm␈ε¬0␈↓ ∧"␈ε¬1␈↓ ∧x␈ε¬1␈↓ ¬-␈ε¬2␈↓ εβ␈ε¬2␈↓ ε8␈ε¬3␈↓ π
␈ε¬3␈↓ πC␈ε¬4␈↓ λ_␈ε¬4␈↓ λN␈ε¬5
␈β	?␈↓ ↓H␈εαare␈α∂equidistributed␈α⊂in␈α∂the␈α∂unit␈α⊂square.␈α⊗It␈α⊂is␈α∂quite␈α∂possible,␈α⊃ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α⊂that␈α∂this
␈β	j␈↓ ↓H␈εαcan␈αhappen␈αwhile␈αalternate␈αpairs␈αof␈αpoin␈α␈ts␈α(␈↓ εw␈ελU␈↓ π≥␈εα,␈↓ π-␈ελU␈↓ πR␈εα),␈α(␈↓ λ␈ελU␈↓ λ&␈εα,␈↓ λ6␈ελU␈↓ λ[␈εα),␈α(␈↓ 		␈ελU␈↓ 	/␈εα,␈↓ 	?␈ελU␈↓ 	d␈εα),␈↓ 
ε␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
<␈εαare␈ε∂␈αnot
␈β	w␈↓ π∞␈ε¬1␈↓ πD␈ε¬2␈↓ λ↔␈ε¬3␈↓ λM␈ε¬4␈↓ 	 ␈ε¬5␈↓ 	V␈ε¬6
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαequidistributed;␈α
if␈α	the␈α	density␈α
of␈α	poin␈α␈ts␈α	(␈↓ ε9␈ελU␈↓ π≤␈εα,␈↓ π,␈ελU␈↓ πc␈εα)␈α	is␈α
de|cien␈α␈t␈α	in␈α	some␈α
area,␈α	the
␈β
#␈↓ εP␈ε¬2␈↓ ε←␈εn␈↓ εq␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ πC␈ε¬2␈↓ πQ␈εn
␈β
@␈↓ ↓H␈εαother␈α
poin␈α␈ts␈α∞(␈↓ β ␈ελU␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈ελU␈↓ ∧J␈εα)␈α∞migh␈α␈t␈α
compensate.␈α⊃For␈α∞example,␈α∞the␈α∞periodic␈α
binary
␈β
N␈↓ β7␈ε¬2␈↓ βE␈εn␈↓ β}␈ε¬2␈↓ ∧
␈εn␈↓ ∧∨␈ε¬+␈α␈1
␈β
l␈↓ ↓H␈εαsequence
␈βA␈↓ α←␈ε⊗h␈↓ αk␈ελX␈↓ β∃␈ε⊗i␈εα␈α
=␈α
0,␈αε0,␈αε0,␈αε1,␈α_0,␈αε0,␈αε0,␈αε1,␈α_1,␈αε1,␈αε0,␈αε1,␈α_1,␈αε1,␈αε0,␈αε1,␈α_0,␈αε0,␈αε0,␈απ1,␈↓ 	\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈εα,␈↓ 
p␈εα(11)
␈βN␈↓ β∧␈εn
␈β⊗␈↓ ↓H␈εαwith␈αa␈αperiod␈αof␈αlength␈α16,␈αis␈αseen␈αto␈αbe␈α3-distributed;␈αy␈α␈et␈αthe␈αsequence␈αof␈αev␈α␈en-
␈βB␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bered␈α∞elemen␈α␈ts␈ε⊗␈α∞h␈↓ ∧⊃␈ελX␈↓ ∧J␈ε⊗i␈εα␈α∞=␈α∞0,␈α∂0,␈α∞0,␈α∂0,␈α∂1,␈α∂0,␈α∂1,␈α∞0,␈↓ πl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ$␈εαhas␈α∂three␈α∞times␈α∞as␈α∞man␈α␈y
␈βO␈↓ ∧*␈ε¬2␈↓ ∧9␈εn
␈βm␈↓ ↓H␈εαzeros␈αas␈αones,␈αwhile␈αthe␈αsubsequence␈αof␈αodd-n␈α␈um␈α␈bered␈αelemen␈α␈ts␈ε⊗␈αh␈↓ 	@␈ελX␈↓ 
%␈ε⊗i␈εα␈α
=␈α
0,␈α1,
␈βz␈↓ 	Y␈ε¬2␈↓ 	h␈εn␈↓ 	y␈ε¬+1
␈β
_␈↓ ↓H␈εα0,␈α1,␈α1,␈α1,␈α1,␈α1,␈↓ β8␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βn␈εαhas␈αthree␈αtimes␈αas␈αman␈α␈y␈αones␈αas␈αzeros.
␈β
C␈↓ α␈εαIf␈αa␈αsequence␈ε⊗␈α
h␈↓ βo␈ελU␈↓ ∧↔␈ε⊗i␈εα␈α
is␈ε⊗␈α1␈εα-distributed,␈αexample␈α(11)␈αsho␈α␈ws␈α
that␈αit␈αis␈αnot␈αat␈αall
␈β
Q␈↓ ∧ε␈εn
␈β
n␈↓ ↓H␈εαobvious␈αthat␈αthe␈αsubsequence␈αof␈αalternate␈αterms␈ε⊗␈αh␈↓ πT␈ελU␈↓ λ␈ε⊗i␈εα␈α
=␈↓ λP␈ελU␈↓ λv␈εα,␈↓ 	␈ελU␈↓ 	1␈εα,␈↓ 	G␈ελU␈↓ 	m␈εα,␈↓ 
β␈ελU␈↓ 
(␈εα,␈↓ 
>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
t␈εαwill
␈β
|␈↓ πk␈ε¬2␈↓ πz␈εn␈↓ λg␈ε¬0␈↓ 	#␈ε¬2␈↓ 	↑␈ε¬4␈↓ 
~␈ε¬6
␈β∞~␈↓ ↓H␈εαbe␈ε⊗␈α∞1␈εα-distributed␈α∞or␈α
ev␈α␈en␈α∞1-distributed.␈α∩But␈α∞w␈α␈e␈α∞shall␈α∞see␈α∞that␈ε⊗␈α∞h␈↓ 	9␈ελU␈↓ 	p␈ε⊗i␈εα␈α∞is,␈α∂in␈α
fact,
␈β∞'␈↓ 	P␈ε¬2␈↓ 	↑␈εn
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε⊗1␈εα-distributed,␈αand␈αm␈α␈uch␈αmore␈αis␈αtrue.
␈β∂¬␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈αE.␈ε∂␈α→A␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ¬M␈ελU␈↓ ¬v␈ε⊗i␈ε∂␈αis␈αsaid␈αto␈αbe␈εα␈α(␈↓ πd␈ελm␈↓ λβ␈εα,␈↓ λ∪␈ελk␈↓ λ%␈εα)␈ε∂-distributed␈αif
␈β∂∪␈↓ ¬d␈εn
␈β∂[␈↓ ↓l␈εαPr␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελu␈↓ αI␈ε⊗∀␈↓ αw␈ελU␈↓ βm␈εα<␈↓ ∧≠␈ελv␈↓ ∧:␈εα,␈↓ ∧P␈ελu␈↓ ∧⎇␈ε⊗∀␈↓ ¬+␈ελU␈↓ εM␈εα<␈↓ ε{␈ελv␈↓ π→␈εα,␈↓ π/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π←␈εα,␈↓ πu␈ελu␈↓ λ"␈ε⊗∀␈↓ λP␈ελU␈↓ 
≥␈εα<␈↓ 
K␈ελv␈↓ 
j␈εα)
␈β∂h␈↓ α0␈ε¬1␈↓ β∞␈εm␈↓ β(␈εn␈↓ β9␈ε¬+␈↓ βV␈εj␈↓ ∧+␈ε¬1␈↓ ∧d␈ε¬2␈↓ ¬B␈εm␈↓ ¬\␈εn␈↓ ¬m␈ε¬+␈↓ ε
␈εj␈↓ ε↔␈ε¬+1␈↓ π
␈ε¬2␈↓ λ	␈εk␈↓ λg␈εm␈↓ 	↓␈εn␈↓ 	∪␈ε¬+␈↓ 	0␈εj␈↓ 	=␈ε¬+␈↓ 	Z␈εk␈↓ 	h␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
[␈εk
␈β⊂≠␈↓ λ
␈εα=␈α
(␈↓ λD␈ελv␈↓ λj␈ε⊗␈␈↓ 	⊗␈ελu␈↓ 	9␈εα)␈↓ 	K␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	{␈εα(␈↓ 
π␈ελv␈↓ 
-␈ε⊗␈␈↓ 
Y␈ελu␈↓ 
|␈εα)
␈β⊂)␈↓ λT␈ε¬1␈↓ 	+␈ε¬1␈↓ 
↔␈εk␈↓ 
n␈εk
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε∂for␈αall␈αchoices␈α
of␈αreal␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈↓ ¬.␈ελu␈↓ ¬P␈ε∂,␈↓ ¬f␈ελv␈↓ ε⊂␈ε∂with␈εα␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ π-␈ελu␈↓ πZ␈εα<␈↓ λ	␈ελv␈↓ λ0␈ε⊗∀␈εα␈α1␈ε∂␈αfor␈εα␈α
1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
↓␈ελr␈↓ 
≤␈ε⊗∀␈↓ 
J␈ελk␈↓ 
\␈ε∂,␈αand
␈β⊂}␈↓ ¬C␈εr␈↓ ¬v␈εr␈↓ πB␈εr␈↓ λ_␈εr
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ε∂for␈αall␈αin␈α␈tegers␈↓ β7␈ελj␈↓ βS␈ε∂with␈εα␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧o␈ελj␈↓ ¬	␈εα<␈↓ ¬7␈ελm␈↓ ¬W␈ε∂.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα147
␈βα(␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈α
a␈↓ α>␈ελk␈↓ αO␈εα-distributed␈αsequence␈α
is␈αthe␈α
special␈αcase␈↓ π@␈ελm␈↓ πj␈εα=␈α
1␈α
in␈αDe|nition␈α
E␈↓ 
≠␈εα;␈αthe␈α
case
␈βαS␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓t␈εα=␈α
2␈α∞means␈α
that␈α∞the␈↓ ∧D␈ελk␈↓ ∧V␈εα-tuples␈α
starting␈α∞in␈α∞ev␈α␈en␈α∞positions␈α
m␈α␈ust␈α∞hav␈α␈e␈α∞the␈α
same
␈βα}␈↓ ↓H␈εαdensity␈αas␈αthe␈↓ β0␈ελk␈↓ βA␈εα-tuples␈αstarting␈αin␈αodd␈αpositions,␈αetc.
␈ββ*␈↓ α␈εαSev␈α␈eral␈αproperties␈αof␈αDe|nition␈αE␈αare␈αobvious:
␈ββu␈↓ ↓Z␈ε∂An␈εα␈α(␈↓ α ␈ελm␈↓ α@␈εα,␈↓ αP␈ελk␈↓ αb␈εα)␈ε∂-distributed␈αsequence␈αis␈εα␈α(␈↓ ¬v␈ελm␈↓ ε⊗␈εα,␈↓ ε&␈ελ∀␈↓ ε8␈εα)␈ε∂-distributed␈αfor␈εα␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	
␈ελ∀␈↓ 	'␈ε⊗∀␈↓ 	U␈ελk␈↓ 	g␈ε∂.␈↓ 
p␈εα(12)
␈β∧/␈↓ ↓Z␈ε∂An␈εα␈α(␈↓ α ␈ελm␈↓ α@␈εα,␈↓ αP␈ελk␈↓ αb␈εα)␈ε∂-distributed␈αsequence␈αis␈εα␈α(␈↓ ¬v␈ελd␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈ελk␈↓ ε,␈εα)␈ε∂-distributed␈αfor␈αall␈αdivisors␈↓ 	j␈ελd␈↓ 

␈ε∂of␈↓ 
4␈ελm␈↓ 
T␈ε∂.␈↓ 
p␈εα(13)
␈β¬␈↓ ↓H␈εαWe␈α⊂can␈α⊂also␈α⊃de|ne␈α⊂the␈α⊂concept␈α⊃of␈α⊂an␈α⊂(␈↓ εF␈ελm␈↓ εf␈εα,␈↓ εv␈ελk␈↓ πλ␈εα)-distributed␈↓ λ\␈ελb␈↓ λj␈εα-ary␈α⊃sequence,␈α⊃as␈α⊂in
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαDe|nition␈α∞D␈↓ β∞␈εα;␈α∂and␈α∞the␈α∞proof␈α∞of␈α∞Theorem␈α∞A␈α∞remains␈α∞valid␈α∞for␈α∞(␈↓ 	'␈ελm␈↓ 	G␈εα,␈↓ 	W␈ελk␈↓ 	h␈εα)-distributed
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαsequences.
␈βε↓␈↓ α␈εαThe␈αnext␈αtheorem,␈αwhich␈αis␈αin␈αman␈α␈y␈αways␈αrather␈αsurprising,␈αsho␈α␈ws␈αthat␈αthe
␈βε,␈↓ ↓H␈εαproperty␈α∞of␈α∞being␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed␈α∞is␈α∞v␈α␈ery␈α∞strong␈α∞indeed,␈α∂m␈α␈uch␈α∞stronger␈α∞than␈α
w␈α␈e
␈βεX␈↓ ↓H␈εαimagined␈αit␈αto␈αbe␈αwhen␈αw␈α␈e␈α|rst␈αconsidered␈αthe␈αde|nition␈αof␈αthe␈αconcept.
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
C␈εα␈α∞(Ivan␈α
Niv␈α␈en␈α∞and␈α
H.␈α∞S.␈α
Zuck␈α␈erman)␈ε∩.␈ε∂␈α≤An␈ε⊗␈α
1␈ε∂-distributed␈α∞sequence␈α
is
␈βπA␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελm␈↓ ↓s␈εα,␈↓ αβ␈ελk␈↓ α∃␈εα)␈ε∂-distributed␈αfor␈αall␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈↓ εY␈ελm␈↓ π¬␈ε∂and␈↓ πK␈ελk␈↓ π]␈ε∂.
␈βλ␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∞It␈απsu}ces␈αλto␈απpro␈α␈v␈α␈e␈αλthe␈απtheorem␈αλfor␈↓ εD␈ελb␈↓ εR␈εα-ary␈αλsequences,␈αλby␈αλusing␈απthe␈απgeneraliza-
␈βλ+␈↓ ↓H␈εαtion␈α
of␈α
Theorem␈α
A␈α
just␈α
men␈α␈tioned.␈α∂Furthermore,␈α
w␈α␈e␈α
may␈α
assume␈α
that␈↓ 
6␈ελm␈↓ 
a␈εα=␈↓ ⊃␈ελk␈↓ "␈εα:
␈βλV␈↓ ↓H␈εαaccording␈αλto␈α	(12)␈αλand␈αλ(13),␈α
the␈αλsequence␈αλwill␈α	be␈αλ(␈↓ π(␈ελm␈↓ πH␈εα,␈↓ πX␈ελk␈↓ πj␈εα)-distributed␈αλif␈α	it␈αλis␈α	(␈↓ 
"␈ελm␈↓ 
A␈ελk␈↓ 
S␈εα,␈↓ 
c␈ελm␈↓ β␈ελk␈↓ ∀␈εα)-
␈β	↓␈↓ ↓H␈εαdistributed.
␈β	,␈↓ α␈εαSo␈α
w␈α␈e␈α	will␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α	that␈ε∂␈α
an␈α␈y␈ε⊗␈α
1␈ε∂-distributed␈↓ πβ␈ελb␈↓ π∩␈ε∂-ary␈α	sequence␈↓ λm␈ελX␈↓ 	∀␈ε∂,␈↓ 	(␈ελX␈↓ 	P␈ε∂,␈↓ 	d␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
↔␈ε∂is␈εα␈α
(␈↓ 
E␈ελm␈↓ 
e␈εα,␈↓ 
u␈ελm␈↓ ∀␈εα)␈ε∂-
␈β	:␈↓ 	ε␈ε¬0␈↓ 	A␈ε¬1
␈β	X␈↓ ↓H␈ε∂distributed␈α∞for␈α∞all␈α∞positiv␈α␈e␈α∞in␈α␈tegers␈↓ ¬}␈ελm␈↓ ε≡␈ε∂.␈εα␈α∩Our␈α∂proof␈α∞is␈α∞a␈α∞simpli|ed␈α∞v␈α␈ersion␈α∞of␈α∞the
␈β
β␈↓ ↓H␈εαoriginal␈α	one␈α	giv␈α␈en␈α	by␈α	Niv␈α␈en␈α	and␈α	Zuck␈α␈erman␈α	in␈ε∂␈α	Paci|c␈α	J.␈α	Math.␈ε∩␈α	1␈εα␈α	(1951),␈α	103↑109.
␈β
.␈↓ α␈εαThe␈α∞k␈α␈ey␈α
idea␈α∞w␈α␈e␈α∞shall␈α∞use␈α
is␈α∞an␈α∞importan␈α␈t␈α∞technique␈α
that␈α∞applies␈α∞to␈α
man␈α␈y
␈β
Y␈↓ ↓H␈εαsituations␈α⊂in␈α⊂mathematics:␈α∀\If␈α⊂the␈α⊃sum␈α⊂of␈↓ ε␈␈ελm␈↓ π/␈εαquan␈α␈tities␈α⊂and␈α⊂the␈α⊂sum␈α⊂of␈α⊂their
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsquares␈αare␈αboth␈αconsisten␈α␈t␈αwith␈αthe␈αh␈α␈ypothesis␈αthat␈αthe␈↓ λE␈ελm␈↓ λp␈εαquan␈α␈tities␈αare␈αequal,
␈β0␈↓ ↓H␈εαthen␈αthat␈α
h␈α␈ypothesis␈αis␈α
true."␈α∞In␈αa␈α
strong␈α
form,␈αthis␈α
principle␈α
may␈αbe␈α
stated␈αas
␈β[␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈ws:
␈β→␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈απE.␈ε∂␈α∞Giv␈α␈en␈↓ βZ␈ελm␈↓ ∧↓␈ε∂sequences␈απof␈απn␈α␈um␈α␈bers␈ε⊗␈αλh␈↓ ε[␈ελy␈↓ π␈ε⊗i␈εα␈α
=␈↓ πO␈ελy␈↓ π{␈ε∂,␈↓ λ∞␈ελy␈↓ λ:␈ε∂,␈↓ λM␈ελy␈↓ λy␈ε∂,␈↓ 	␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	=␈ε∂for␈εα␈απ1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
:␈ελj␈↓ 
U␈ε⊗∀␈↓ β␈ελm␈↓ "␈ε∂,
␈β'␈↓ εl␈εj␈↓ εy␈εn␈↓ π`␈εj␈↓ πm␈ε¬0␈↓ λ∨␈εj␈↓ λ,␈ε¬1␈↓ λ↑␈εj␈↓ λk␈ε¬2
␈βD␈↓ ↓H␈ε∂suppose␈αthat
␈βj␈↓ ∧6␈εαlim␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελy␈↓ ¬:␈εα+␈↓ ¬f␈ελy␈↓ ε ␈εα+␈↓ εL␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε}␈εα+␈↓ π*␈ελy␈↓ πf␈εα)␈↓ π|␈εα=␈↓ λ*␈ελm␈↓ λJ␈ελ␈↓ λ↑␈εα,
␈βw␈↓ ¬∩␈ε¬1␈↓ ¬ ␈εn␈↓ ¬w␈ε¬2␈↓ εε␈εn␈↓ π;␈εm␈↓ πU␈εn
␈β
␈↓ ∧)␈εn␈↓ ∧;␈ε→!1
␈β
)␈↓ 
p␈εα(14)
␈β
6␈↓ ¬␈ε¬2␈↓ ¬t␈ε¬2␈↓ π;␈ε¬2␈↓ λ↑␈ε¬2
␈β
<␈↓ β}␈εαlim␈αεsup␈↓ ∧l␈εα(␈↓ ∧x␈ελy␈↓ ¬4␈εα+␈↓ ¬`␈ελy␈↓ ε≥␈εα+␈↓ εI␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε{␈εα+␈↓ π'␈ελy␈↓ πf␈εα)␈↓ π|␈ε⊗∀␈↓ λ*␈ελm␈↓ λJ␈ελ␈↓ λl␈εα.
␈β
N␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ ¬~␈εn␈↓ ¬t␈ε¬2␈↓ εβ␈εn␈↓ π;␈εm␈↓ πU␈εn
␈β
d␈↓ ∧∂␈εn␈↓ ∧!␈ε→!1
␈β∞%␈↓ ↓H␈ε∂Then␈αfor␈αeach␈↓ β0␈ελj␈↓ β@␈ε∂,␈↓ βV␈εαlim␈↓ ∧Z␈ελy␈↓ ¬⊗␈ε∂exists␈αand␈αequals␈↓ π,␈ελ␈↓ π@␈ε∂.
␈β∞3␈↓ ∧λ␈εn␈↓ ∧~␈ε→!1␈↓ ∧k␈εj␈↓ ∧x␈εn
␈β∞c␈↓ ↓H␈εαAn␈αincredibly␈αsimple␈αproof␈αof␈αthis␈αlemma␈αis␈αgiv␈α␈en␈αin␈αex␈α␈ercise␈α9.
␈β∞h␈↓ 	Q␈∧∞h	Q≠∂
␈β∂"␈↓ α␈εαResuming␈α∞our␈α
proof␈α∞of␈α
Theorem␈α∞C␈↓ ε7␈εα,␈α
let␈↓ π∧␈ελx␈↓ π#␈εα=␈↓ πT␈ελx␈↓ πs␈ελx␈↓ λ_␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λH␈ελx␈↓ 	␈εαbe␈α
a␈↓ 	Q␈ελb␈↓ 	←␈εα-ary␈α
n␈α␈um␈α␈ber,
␈β∂/␈↓ πd␈ε¬1␈↓ λβ␈ε¬2␈↓ λX␈εm
␈β∂M␈↓ ↓H␈εαand␈αsay␈αthat␈↓ β_␈ελx␈↓ β6␈ε∂occurs␈εα␈αat␈αposition␈↓ ¬U␈ελp␈↓ ¬r␈εαof␈αthe␈αsequence␈αif␈↓ λ␈ελX␈↓ 	⊗␈ελX␈↓ 
&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
V␈ελX␈↓ λ␈εα=
␈β∂Z␈↓ λ%␈εp␈↓ λ4␈ε→␈␈↓ λQ␈εm␈↓ λk␈ε¬+1␈↓ 	/␈εp␈↓ 	>␈ε→␈␈↓ 	[␈εm␈↓ 	u␈ε¬+2␈↓ 
o␈εp
␈β∂x␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα.␈α∪Let␈↓ α;␈ελ↔␈↓ αW␈εα(␈↓ αc␈ελn␈↓ αy␈εα)␈α∞be␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞occurrences␈α∞of␈↓ π$␈ελx␈↓ πD␈εαat␈α∂position␈↓ λ⎇␈ελp␈↓ 	≥␈εαwhen␈↓ 	⎇␈ελp␈↓ 
≥␈εα<␈↓ 
O␈ελn␈↓ 
r␈εαand
␈β⊂ε␈↓ αJ␈εj
␈β⊂#␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓`␈εαmod␈↓ α*␈ελm␈↓ αT␈εα=␈↓ βα␈ελj␈↓ β∩␈εα.␈αLet␈↓ βj␈ελy␈↓ ∧$␈εα=␈↓ ∧R␈ελ↔␈↓ ∧n␈εα(␈↓ ∧z␈ελn␈↓ ¬⊂␈εα)/␈↓ ¬.␈ελn␈↓ ¬D␈εα;␈αw␈α␈e␈αwish␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat
␈β⊂1␈↓ β{␈εj␈↓ ∧λ␈εn␈↓ ∧a␈εj
␈β⊂n␈↓ π.␈εm
␈β⊂t␈↓ ¬/␈εαlim␈↓ ¬t␈ελy␈↓ ε.␈εα=␈α
1/␈↓ π␈ελm␈↓ π ␈ελb␈↓ πH␈εα.␈↓ 
p␈εα(15)
␈β⊃α␈↓ ε¬␈εj␈↓ ε∩␈εn
␈β⊃⊗␈↓ ¬"␈εn␈↓ ¬4␈ε→!1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα148␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ α␈εαFirst␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αthat
␈βαw␈↓ λa␈εm
␈βα⎇␈↓ β|␈εαlim␈↓ ∧;␈εα(␈↓ ∧G␈ελy␈↓ ¬␈εα+␈↓ ¬,␈ελy␈↓ ¬e␈εα+␈↓ ε⊃␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εC␈εα+␈↓ εo␈ελy␈↓ πk␈εα)␈α
=␈α
1/␈↓ λS␈ελb␈↓ λ{␈εα,␈↓ 
p␈εα(16)
␈ββ
␈↓ ∧X␈ε¬0␈↓ ∧f␈εn␈↓ ¬=␈ε¬1␈↓ ¬K␈εn
␈ββ␈↓ π␈ε¬(␈↓ π
␈εm␈↓ π$␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ πY␈εn
␈ββ≡␈↓ βo␈εn␈↓ ∧↓␈ε→!1
␈ββt␈↓ ↓H␈εαsince␈α
the␈αsequence␈αis␈↓ ∧⊃␈ελm␈↓ ∧0␈εα-distributed.␈αBy␈αLemma␈αE␈α
and␈αEq.␈α(16),␈αthe␈αtheorem␈α
will
␈β∧∨␈↓ ↓H␈εαbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αif␈αw␈α␈e␈αcan␈αsho␈α␈w␈αthat
␈β∧n␈↓ ∧P␈ε¬2␈↓ ¬9␈ε¬2␈↓ ε␈␈ε¬2␈↓ λ␈␈ε¬2␈↓ 	∞␈εm
␈β∧t␈↓ βB␈εαlim␈αεsup␈↓ ∧0␈εα(␈↓ ∧<␈ελy␈↓ ∧y␈εα+␈↓ ¬%␈ελy␈↓ ¬a␈εα+␈↓ ε
␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε?␈εα+␈↓ εk␈ελy␈↓ πi␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
1/␈↓ λQ␈ελm␈↓ λq␈ελb␈↓ 	(␈εα.␈↓ 
p␈εα(17)
␈β¬ε␈↓ ∧P␈ε¬0␈↓ ∧←␈εn␈↓ ¬9␈ε¬1␈↓ ¬G␈εn␈↓ ε␈␈ε¬(␈↓ π	␈εm␈↓ π#␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ πX␈εn
␈β¬≤␈↓ βT␈εn␈↓ βe␈ε→!1
␈β¬p␈↓ α␈εαThis␈αλinequality␈αλis␈αλnot␈αλobvious␈α	y␈α␈et;␈α	some␈αλrather␈αλdelicate␈αλmaneuv␈α␈ering␈αλis␈αλneces-
␈βε≠␈↓ ↓H␈εαsary␈αbefore␈αw␈α␈e␈αcan␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αit.␈αLet␈↓ ¬K␈ελq␈↓ ¬g␈εαbe␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ πl␈ελm␈↓ λ␈εα,␈αand␈αconsider
␈βε`␈↓ ¬>␈ε↓X
␈βεi␈↓ ε∃␈ε↓∩␈↓ λ7␈ε↓∪
␈βεl␈↓ ε+␈ελ↔␈↓ εG␈εα(␈↓ εS␈ελn␈↓ εi␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π)␈ελ↔␈↓ πE␈εα(␈↓ πQ␈ελn␈↓ πo␈ε⊗␈␈↓ λ≠␈ελq␈↓ λ+␈εα)
␈βεz␈↓ ε:␈εj␈↓ π8␈εj
␈βπβ␈↓ ∧≥␈ελC␈↓ ∧:␈εα(␈↓ ∧F␈ελn␈↓ ∧\␈εα)␈α
=␈↓ λM␈εα.␈↓ 
p␈εα(18)
␈βπ≤␈↓ π(␈εα2
␈βπ5␈↓ ¬ ␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬K␈εj␈↓ ¬X␈ε¬<␈↓ ¬u␈εm
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαThis␈αis␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αpairs␈α
of␈αoccurrences␈αof␈↓ π↔␈ελx␈↓ π6␈εαin␈αpositions␈↓ λv␈ελp␈↓ 	⊗␈εα,␈↓ 	&␈ελp␈↓ 	Q␈εαwith␈↓ 
$␈ελn␈↓ 
B␈ε⊗␈␈↓ 
n␈ελq␈↓ λ␈ε⊗∀
␈βλ≠␈↓ 	π␈ε¬1␈↓ 	7␈ε¬2
␈βλ9␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓q␈εα<␈↓ α∨␈ελp␈↓ αH␈εα<␈↓ αv␈ελn␈↓ β_␈εαand␈αwith␈↓ ∧0␈ελp␈↓ ∧X␈ε⊗␈␈↓ ¬∧␈ελp␈↓ ¬/␈εαa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ π∧␈ελm␈↓ π$␈εα.␈αConsider␈αno␈α␈w␈αthe␈αsum
␈βλF␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ α0␈ε¬2␈↓ ∧A␈ε¬2␈↓ ¬∃␈ε¬1
␈βλj␈↓ ε%␈ε↓X
␈β	
␈↓ ¬␈ελS␈↓ ¬B␈εα=␈↓ π∀␈ελC␈↓ π1␈εα(␈↓ π=␈ελn␈↓ πS␈εα).␈↓ 
p␈εα(19)
␈β	≠␈↓ ¬≥␈εN
␈β	?␈↓ ¬p␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ε≠␈εn␈↓ ε-␈ε→∀␈↓ εJ␈εN␈↓ εd␈ε¬+␈↓ π↓␈εq
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαEach␈α
pair␈α∞of␈α
occurrences␈α∞of␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬'␈εαin␈α∞positions␈↓ εj␈ελp␈↓ π
␈εα,␈↓ π~␈ελp␈↓ πG␈εαwith␈↓ λ~␈ελp␈↓ λF␈εα<␈↓ λw␈ελp␈↓ 	#␈εα<␈↓ 	S␈ελp␈↓ 	{␈εα+␈↓ 
(␈ελq␈↓ 
9␈εα,␈α
where
␈β
%␈↓ ε{␈ε¬1␈↓ π+␈ε¬2␈↓ λ+␈ε¬1␈↓ 	λ␈ε¬2␈↓ 	d␈ε¬1
␈β
C␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓n␈ε⊗␈␈↓ α→␈ελp␈↓ αC␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ∧9␈ελm␈↓ ∧c␈εαand␈↓ ¬(␈ελp␈↓ ¬R␈ε⊗∀␈↓ ε␈ελN␈↓ ε!␈εα,␈αis␈αcoun␈α␈ted␈↓ π`␈ελp␈↓ λε␈εα+␈↓ λ1␈ελq␈↓ λH␈ε⊗␈␈↓ λs␈ελp␈↓ 	≥␈εαtimes␈αin␈αthe␈αtotal
␈β
P␈↓ ↓Y␈ε¬2␈↓ α*␈ε¬1␈↓ ¬9␈ε¬1␈↓ πq␈ε¬1␈↓ 	∧␈ε¬2
␈β
n␈↓ ↓H␈ελS␈↓ αβ␈εα(namely,␈α∂when␈↓ β{␈ελp␈↓ ∧)␈εα<␈↓ ∧[␈ελn␈↓ ∧␈␈ε⊗∀␈↓ ¬2␈ελp␈↓ ¬[␈εα+␈↓ ε	␈ελq␈↓ ε→␈εα);␈α⊂and␈α∞the␈α∂pairs␈α∂of␈α∞such␈α∂occurrences␈α∞with
␈β
{␈↓ ↓Z␈εN␈↓ ∧␈ε¬2␈↓ ¬C␈ε¬1
␈β→␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓s␈εα<␈↓ α!␈ελp␈↓ αK␈εα<␈↓ αy␈ελp␈↓ β"␈εα<␈↓ βP␈ελN␈↓ βz␈εα+␈↓ ∧&␈ελq␈↓ ∧B␈εαare␈αcoun␈α␈ted␈↓ ε¬␈ελN␈↓ ε.␈εα+␈↓ εZ␈ελq␈↓ εs␈ε⊗␈␈↓ π∨␈ελp␈↓ πJ␈εαtimes.
␈β&␈↓ α2␈ε¬1␈↓ β
␈ε¬2␈↓ π0␈ε¬2
␈βD␈↓ α␈εαLet␈↓ αN␈ελd␈↓ αj␈εα(␈↓ αv␈ελn␈↓ β␈εα)␈α
be␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
pairs␈αof␈αoccurrences␈αof␈↓ λ,␈ελx␈↓ λK␈εαin␈αpositions␈↓ 
␈ελp␈↓ 
+␈εα,␈↓ 
;␈ελp␈↓ 
f␈εαwith
␈βR␈↓ α←␈εt␈↓ 
≤␈ε¬1␈↓ 
L␈ε¬2
␈βo␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓o␈εα+␈↓ α≠␈ελt␈↓ α2␈εα=␈↓ α`␈ελp␈↓ β	␈εα<␈↓ β7␈ελn␈↓ βM␈εα.␈αThe␈αanalysis␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αsho␈α␈ws␈αthat
␈β⎇␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ αq␈ε¬2
␈β!␈↓ αo␈ε↓X␈↓ πO␈ε↓X
␈βD␈↓ βM␈εα(␈↓ βY␈ελq␈↓ βq␈ε⊗␈␈↓ ∧≥␈ελm␈↓ ∧=␈ελt␈↓ ∧J␈εα)␈↓ ∧V␈ελd␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελN␈↓ ¬A␈εα+␈↓ ¬m␈ελq␈↓ ¬⎇␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ εA␈ελS␈↓ εw␈ε⊗∃␈↓ λ.␈εα(␈↓ λ:␈ελq␈↓ λR␈ε⊗␈␈↓ λ}␈ελm␈↓ 	≥␈ελt␈↓ 	*␈εα)␈↓ 	6␈ελd␈↓ 	l␈εα(␈↓ 	x␈ελN␈↓ 
→␈εα).␈↓ 
p␈εα(20)
␈βR␈↓ ∧g␈εm␈↓ ¬␈εt␈↓ εS␈εN␈↓ 	G␈εm␈↓ 	a␈εt
␈βv␈↓ αE␈ε¬0<␈↓ αp␈εt␈↓ α{␈ε¬<␈↓ β↔␈εq␈↓ β%␈ε¬/␈↓ β3␈εm␈↓ π%␈ε¬0␈α↓<␈↓ πQ␈εt␈↓ π[␈ε¬<␈↓ πx␈εq␈↓ λ¬␈ε¬/␈↓ λ∀␈εm
␈β
P␈↓ ↓H␈εαSince␈αthe␈αoriginal␈αsequence␈αis␈↓ ¬≡␈ελq␈↓ ¬.␈εα-distributed,
␈β∞≥␈↓ ¬]␈εα1
␈β∞.␈↓ πT␈ε¬2␈↓ πc␈εm
␈β∞4␈↓ ¬λ␈εαlim␈↓ ¬{␈ελd␈↓ ε0␈εα(␈↓ ε<␈ελN␈↓ ε↑␈εα)␈α
=␈α
1/␈↓ πF␈ελb␈↓ 
p␈εα(21)
␈β∞A␈↓ ε␈εm␈↓ ε&␈εt
␈β∞D␈↓ ¬V␈∧∞D¬Vα"
␈β∞L␈↓ ¬V␈ελN
␈β∞U␈↓ ∧w␈εN␈↓ ¬∩␈ε→!1
␈β∂+␈↓ ↓H␈εαfor␈αall␈↓ α2␈ελt␈↓ α?␈εα,␈α0␈α
<␈↓ β∨␈ελt␈↓ β6␈εα<␈↓ βd␈ελq␈↓ βt␈εα/␈↓ ∧ε␈ελm␈↓ ∧%␈εα,␈αand␈αtherefore␈αby␈α(20)␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β∂m␈↓ ∧w␈ε↓X
␈β∂z␈↓ βd␈ελS
␈β⊂π␈↓ βv␈εN
␈β⊂
␈↓ ε}␈ε¬2␈↓ π␈εm␈↓ 	<␈ε¬2␈↓ 	J␈εm
␈β⊂⊃␈↓ β↔␈εαlim␈↓ ∧∨␈εα=␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελq␈↓ ¬y␈ε⊗␈␈↓ ε%␈ελm␈↓ εD␈ελt␈↓ εR␈εα)/␈↓ εp␈ελb␈↓ π0␈εα=␈↓ π↑␈ελq␈↓ πn␈εα(␈↓ πz␈ελq␈↓ λ∩␈ε⊗␈␈↓ λ>␈ελm␈↓ λ↑␈εα)/2␈↓ 	∞␈ελm␈↓ 	.␈ελb␈↓ 	d␈εα.␈↓ 
p␈εα(22)
␈β⊂!␈↓ βd␈∧⊂!βdα-
␈β⊂)␈↓ βi␈ελN
␈β⊂2␈↓ βε␈εN␈↓ β ␈ε→!1
␈β⊂B␈↓ ∧M␈ε¬0<␈↓ ∧x␈εt␈↓ ¬α␈ε¬<␈↓ ¬∨␈εq␈↓ ¬,␈ε¬/␈↓ ¬;␈εm
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαThis␈αfact␈αwill␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αtheorem,␈αafter␈αsome␈αmanipulation.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα149
␈βα(␈↓ α␈εαBy␈αde|nition,
␈βαe␈↓ βC␈ε↓X␈↓ ∧\␈ε↓X
␈βαh␈↓ ¬-␈ε↓␈␈↓ 
E␈ε↓↓
␈ββα␈↓ π←␈ε¬2
␈ββλ␈↓ α↔␈εα2␈↓ α)␈ελS␈↓ α←␈εα=␈↓ ¬;␈εα(␈↓ ¬G␈ελ↔␈↓ ¬c␈εα(␈↓ ¬o␈ελn␈↓ ε¬␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εE␈ελ↔␈↓ εa␈εα(␈↓ εm␈ελn␈↓ π␈ε⊗␈␈↓ π7␈ελq␈↓ πG␈εα)␈↓ πS␈εα)␈↓ πu␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ λ-␈ελ↔␈↓ λJ␈εα(␈↓ λV␈ελn␈↓ λk␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	+␈ελ↔␈↓ 	H␈εα(␈↓ 	T␈ελn␈↓ 	q␈ε⊗␈␈↓ 
≥␈ελq␈↓ 
-␈εα))␈↓ 
S␈εα,
␈ββ∃␈↓ α;␈εN␈↓ ¬V␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ λ<␈εj␈↓ 	:␈εj
␈ββ9␈↓ β
␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ β9␈εn␈↓ βK␈ε→∀␈↓ βg␈εN␈↓ ∧α␈ε¬+␈↓ ∧∨␈εq␈↓ ∧>␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ∧i␈εj␈↓ ∧v␈ε¬<␈↓ ¬∪␈εm
␈β∧∨␈↓ ↓H␈εαand␈αw␈α␈e␈αcan␈αremo␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αunsquared␈αterms␈αby␈αapplying␈α(16)␈αto␈αget
␈β∧y␈↓ ∧u␈ελT
␈β¬π␈↓ ¬
␈εN
␈β¬
␈↓ π-␈ε¬2␈↓ π;␈εm␈↓ λ9␈εm
␈β¬⊂␈↓ ∧(␈εαlim␈↓ ¬3␈εα=␈↓ ¬a␈ελq␈↓ ¬q␈εα(␈↓ ¬⎇␈ελq␈↓ ε∃␈ε⊗␈␈↓ εA␈ελm␈↓ εa␈εα)/␈↓ ε␈␈ελm␈↓ π≡␈ελb␈↓ π]␈εα+␈↓ λ	␈ελq␈↓ λ→␈εα/␈↓ λ+␈ελb␈↓ λS␈εα,␈↓ 
p␈εα(23)
␈β¬!␈↓ ∧u␈∧¬!∧uα0
␈β¬)␈↓ ∧|␈ελN
␈β¬1␈↓ ∧↔␈εN␈↓ ∧1␈ε→!1
␈βε⊂␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βε"␈↓ ∧s␈ε↓X␈↓ ε␈ε↓X
␈βε%␈↓ ε↑␈ε↓␈␈↓ λx␈ε↓↓
␈βε8␈↓ 	ε␈ε¬2
␈βεE␈↓ βV␈ελT␈↓ ∧⊂␈εα=␈↓ εl␈ελ↔␈↓ πλ␈εα(␈↓ π∀␈ελn␈↓ π*␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πj␈ελ↔␈↓ λε␈εα(␈↓ λ∩␈ελn␈↓ λ/␈ε⊗␈␈↓ λ[␈ελq␈↓ λl␈εα)␈↓ 	∀␈εα.
␈βεR␈↓ βk␈εN␈↓ ε{␈εj␈↓ πy␈εj
␈βεv␈↓ ∧>␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧{␈ε→∀␈↓ ¬_␈εN␈↓ ¬2␈ε¬+␈↓ ¬O␈εq␈↓ ¬n␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ε~␈εj␈↓ ε'␈ε¬<␈↓ εD␈εm
␈βπK␈↓ α␈εαUsing␈αthe␈αinequality
␈βλ$␈↓ ¬3␈ε↓X␈↓ ε9␈ε¬2␈↓ π⊗␈ε↓X
␈βλ-␈↓ ¬ε␈ε↓∩␈↓ ε#␈ε↓∪
␈βλ0␈↓ ∧p␈εα1
␈βλA␈↓ πz␈ε¬2
␈βλG␈↓ ε¬␈ελa␈↓ εQ␈ε⊗∀␈↓ πh␈ελa
␈βλT␈↓ ε∃␈εj
␈βλW␈↓ ∧p␈∧λW∧pα∩
␈βλY␈↓ πz␈εj
␈βλ←␈↓ ∧q␈ελr
␈βλx␈↓ ¬≤␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬G␈εj␈↓ ¬U␈ε→∀␈↓ ¬q␈εr␈↓ ε␈␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ π*␈εj␈↓ π8␈ε→∀␈↓ πT␈εr
␈β	↑␈↓ ↓H␈εα(cf.␈αex␈α␈ercise␈α1.2.3↑30),␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β
9␈↓ β&␈ε↓X␈↓ ¬p␈ε↓X␈↓ 	_␈ε¬2
␈β
<␈↓ εZ␈ε↓␈␈↓ λt␈ε↓↓
␈β
B␈↓ ¬%␈ε↓∩␈↓ 	α␈ε↓∪
␈β
E␈↓ ∧H␈εα1
␈β
\␈↓ α∀␈εαlim␈αεsup␈↓ εh␈ελ↔␈↓ π∧␈εα(␈↓ π⊂␈ελn␈↓ π&␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πf␈ελ↔␈↓ λα␈εα(␈↓ λ∞␈ελn␈↓ λ+␈ε⊗␈␈↓ λW␈ελq␈↓ λh␈εα)
␈β
i␈↓ εw␈εj␈↓ πu␈εj
␈β
l␈↓ ∧α␈∧
l∧αα↓ 
␈β
t␈↓ ∧α␈ελN␈↓ ∧#␈εα(␈↓ ∧/␈ελN␈↓ ∧Y␈εα+␈↓ ¬¬␈ελq␈↓ ¬∃␈εα)
␈β∧␈↓ α!␈εN␈↓ α<␈ε→!1
␈β
␈↓ βλ␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β4␈εj␈↓ βA␈ε¬<␈↓ β↑␈εm␈↓ ¬;␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ¬f␈εn␈↓ ¬x␈ε→∀␈↓ ε∃␈εN␈↓ ε0␈ε¬+␈↓ εL␈εq
␈β=␈↓ λy␈ε¬2␈↓ 	π␈εm␈↓ 
ε␈εm
␈βC␈↓ ε␈␈ε⊗∀␈↓ π-␈ελq␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελq␈↓ πa␈ε⊗␈␈↓ λ
␈ελm␈↓ λ-␈εα)/␈↓ λK␈ελm␈↓ λk␈ελb␈↓ 	)␈εα+␈↓ 	U␈ελq␈↓ 	e␈εα/␈↓ 	w␈ελb␈↓ 
 ␈εα.␈↓ 
p␈εα(24)
␈β#␈↓ ↓H␈εαWe␈αalso␈αhav␈α␈e
␈β`␈↓ βR␈ε↓X␈↓ ¬}␈ε↓X
␈βc␈↓ εh␈ε↓␈␈↓ 	α␈ε↓↓
␈β
β␈↓ ↓r␈ελq␈↓ αλ␈ελ↔␈↓ α%␈εα(␈↓ α1␈ελN␈↓ αR␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧G␈ελ↔␈↓ ∧c␈εα(␈↓ ∧o␈ελn␈↓ ¬¬␈εα)␈α
=␈↓ εv␈ελ↔␈↓ π∩␈εα(␈↓ π≡␈ελn␈↓ π4␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πt␈ελ↔␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελn␈↓ λ:␈ε⊗␈␈↓ λf␈ελq␈↓ λv␈εα)␈↓ 	~␈ε⊗∀␈↓ 	H␈ελq␈↓ 	↑␈ελ↔␈↓ 	z␈εα(␈↓ 
ε␈ελN␈↓ 
0␈εα+␈↓ 
\␈ελq␈↓ 
l␈εα),
␈β
⊂␈↓ α↔␈εj␈↓ ∧V␈εj␈↓ π¬␈εj␈↓ λβ␈εj␈↓ 	m␈εj
␈β
4␈↓ β⊗␈εN␈↓ β1␈ε¬<␈↓ βN␈εn␈↓ β`␈ε→∀␈↓ β⎇␈εN␈↓ ∧↔␈ε¬+␈↓ ∧4␈εq␈↓ ¬I␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬t␈εn␈↓ εε␈ε→∀␈↓ ε#␈εN␈↓ ε>␈ε¬+␈↓ ε[␈εq
␈β∞~␈↓ ↓H␈εαand␈αputting␈αthis␈αin␈α␈to␈α(24)␈αgiv␈α␈es
␈β∞←␈↓ ∧≥␈ε↓X
␈β∞b␈↓ ∧n␈ε↓␈␈↓ εε␈ε↓↓
␈β∞u␈↓ ε∀␈ε¬2
␈β∞|␈↓ λ&␈ε¬2␈↓ λ5␈εm␈↓ 	E␈εm
␈β∂α␈↓ β␈εαlim␈αεsup␈↓ ∧|␈ελ↔␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελN␈↓ ¬F␈εα)/␈↓ ¬d␈ελN␈↓ ε,␈ε⊗∀␈εα␈α
(␈↓ εf␈ελq␈↓ ε}␈ε⊗␈␈↓ π*␈ελm␈↓ πJ␈εα)/␈↓ πh␈ελq␈↓ πx␈ελm␈↓ λ_␈ελb␈↓ λV␈εα+␈αλ1/␈↓ 	&␈ελq␈↓ 	7␈ελb␈↓ 	←␈εα.␈↓ 
p␈εα(25)
␈β∂∂␈↓ ¬␈εj
␈β∂*␈↓ β_␈εN␈↓ β3␈ε→!1
␈β∂3␈↓ β␈␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧*␈εj␈↓ ∧8␈ε¬<␈↓ ∧T␈εm
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαThis␈α
form␈α␈ula␈α
has␈α
been␈α∞established␈α
whenev␈α␈er␈↓ π⊃␈ελq␈↓ π.␈εαis␈α∞a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ 	,␈ελm␈↓ 	L␈εα;␈α∞and␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
let
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓b␈ε⊗!␈α
1␈εα␈αw␈α␈e␈αobtain␈α(17),␈αcompleting␈αthe␈αproof.
␈β⊂q␈↓ α␈εαFor␈αa␈αpossibly␈αsimpler␈αproof,␈αsee␈αJ.␈αW.␈αS.␈αCassels,␈ε∂␈αPaci|c␈αJ.␈αMath.␈ε∩␈α2␈εα␈α(1952),
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εα555↑557.
␈β⊃!␈↓ αw␈∧⊃!αw≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα150␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ α␈εαEx␈α␈ercises␈α∂29␈α⊂and␈α∂30␈α⊂illustrate␈α∂the␈α⊂non␈α␈triviality␈α∂of␈α∂this␈α⊂theorem,␈α⊂and␈α∂they
␈βαS␈↓ ↓H␈εαalso␈α∞demonstrate␈α∂the␈α∞fact␈α∂that␈α∞a␈↓ ¬←␈ελq␈↓ ¬o␈εα-distributed␈α∂sequence␈α∞will␈α∂hav␈α␈e␈α∞probabilities
␈βα}␈↓ ↓H␈εαdeviating␈αfrom␈αthe␈αtrue␈α(␈↓ ∧P␈ελm␈↓ ∧p␈εα,␈↓ ¬␈ελm␈↓ ¬∨␈εα)-distribution␈αprobabilities␈αby␈αessen␈α␈tially␈α1/␈↓ 
q␈ελq␈↓ ␈εαat
␈ββ␈↓ 
q␈∧β
qα⊃
␈ββ↓␈↓ 
M␈ε⊗p
␈ββ
␈↓ α0␈ε↓␈␈↓ β@␈ε↓↓
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαmost.␈↓ α>␈εαCf.␈α
(25).␈↓ β`␈εαThe␈α	full␈α
h␈α␈ypothesis␈α	of␈ε⊗␈α	1␈εα-distribution␈α	is␈α
necessary␈α	for␈α	the␈α	proof
␈ββU␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αtheorem.
␈β∧α␈↓ α␈εαAs␈α⊂a␈α∂result␈α⊂of␈α⊂Theorem␈α⊂C␈↓ ¬3␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂pro␈α␈v␈α␈e␈α∂that␈α⊂an␈ε⊗␈α⊂1␈εα-distributed␈α∂sequence
␈β∧-␈↓ ↓H␈εαpasses␈αthe␈αserial␈αtest,␈αthe␈αmaxim␈α␈um-of-␈↓ ε/␈ελt␈↓ εH␈εαtest,␈αthe␈αcollision␈αtest,␈αand␈αthe␈αtests␈αon
␈β∧X␈↓ ↓H␈εαsubsequences␈α	men␈α␈tioned␈α
in␈α	Section␈α
3.3.2.␈αIt␈α	is␈α
not␈α	hard␈α
to␈α	sho␈α␈w␈α
that␈α	the␈α
gap␈α	test,
␈β¬β␈↓ ↓H␈εαthe␈α
pok␈α␈er␈α
test,␈α
and␈α
the␈α
run␈α
test␈α
are␈α
also␈α
satis|ed␈α
(see␈α
ex␈α␈ercises␈α
12␈α
through␈α
14);
␈β¬.␈↓ ↓H␈εαthe␈αcoupon␈αcollector's␈αtest␈αis␈αconsiderably␈αmore␈αdi}cult␈αto␈αdeal␈αwith,␈αbut␈αit␈αtoo
␈β¬Z␈↓ ↓H␈εαis␈αsatis|ed␈α(see␈αex␈α␈ercises␈α15␈αand␈α16).
␈βε⊗␈↓ α␈εαThe␈αεexistence␈απof␈ε⊗␈αε1␈εα-distributed␈αεsequences␈απof␈αεa␈αεrather␈απsimple␈αεtype␈αεis␈αεguaran␈α␈teed
␈βεA␈↓ ↓H␈εαby␈αthe␈αnext␈αtheorem.
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αF␈εα␈α(J.␈αFranklin)␈ε∩.␈ε∂␈α→The␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈αsequence␈↓ π)␈ελU␈↓ πN␈ε∂,␈↓ πd␈ελU␈↓ λ
␈ε∂,␈↓ λ ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λP␈ε∂,␈αwith
␈βπ~␈↓ π@␈ε¬0␈↓ π{␈ε¬1
␈βπb␈↓ ε>␈εn
␈βπh␈↓ ¬B␈ελU␈↓ ¬{␈εα=␈↓ ε/␈ελ∩␈↓ εV␈εαmod␈↓ π ␈εα1␈↓ 
p␈εα(26)
␈βπu␈↓ ¬Y␈εn
␈βλC␈↓ ↓H␈ε∂is␈ε⊗␈α1␈ε∂-distributed␈αfor␈αalmost␈αall␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ πλ␈ελ∩␈↓ π!␈εα>␈α
1␈ε∂.␈αThat␈αis,␈αthe␈αset
␈β	≡␈↓ βr␈ε⊗f␈↓ ∧
␈ελ∩␈↓ ∧#␈ε⊗j␈↓ ∧7␈ελ∩␈↓ ∧Q␈εα>␈α
1␈↓ ¬≥␈εαand␈α(26)␈αis␈αnot␈ε⊗␈α1␈εα-distributed␈↓ λq␈ε⊗g
␈β	y␈↓ ↓H␈ε∂is␈αof␈αmeasure␈αzero.
␈β
E␈↓ ↓H␈εαThe␈αλproofs␈α	of␈αλthis␈α	theorem␈αλand␈α	some␈αλgeneralizations␈α	are␈αλgiv␈α␈en␈αλin␈α	Franklin's␈αλpaper
␈β
p␈↓ ↓H␈εαcited␈αbelo␈α␈w.
␈β
u␈↓ β*␈∧
uβ*≠∂
␈β<␈↓ α␈εαFranklin␈α
has␈α
sho␈α␈wn␈α
that␈↓ ¬∨␈ελ∩␈↓ ¬;␈εαm␈α␈ust␈α
be␈α
a␈α
transcenden␈α␈tal␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
for␈α
(26)␈α
to␈αbe
␈βb␈↓ ¬≠␈εn
␈βg␈↓ ↓H␈ε⊗1␈εα-distributed.␈α
The␈αpo␈α␈w␈α␈ers␈α(␈↓ ¬π␈ελ→␈↓ ¬3␈εαmod␈↓ ¬⎇␈εα1)␈α
hav␈α␈e␈αbeen␈αlaboriously␈α
computed␈αfor␈↓ 
h␈ελn␈↓ λ␈ε⊗∀
␈β∩␈↓ ↓H␈εα10000,␈α⊂using␈α∂m␈α␈ultiple-precision␈α∂arithmetic,␈α⊂and␈α∂the␈α∂most␈α∂signi|can␈α␈t␈α∂35␈α∂bits␈α∂of
␈β=␈↓ ↓H␈εαeach␈απof␈αλthese␈απn␈α␈um␈α␈bers,␈αλstored␈αλon␈απa␈αλdisk␈απ|le,␈α	hav␈α␈e␈απsuccessfully␈αλbeen␈απused␈αλas␈απa␈απsource
␈βi␈↓ ↓H␈εαof␈α
uniform␈α
deviates.␈α⊃According␈α
to␈α∞Theorem␈α
F␈↓ π!␈εα,␈α∞the␈α
probability␈α∞that␈α
the␈α
po␈α␈w␈α␈ers
␈β
∂␈↓ ↓h␈εn
␈β
∀␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελ→␈↓ α␈εαmod␈↓ αJ␈εα1)␈α∂are␈ε⊗␈α∂1␈εα-distributed␈α∂is␈α∂equal␈α∂to␈α∂1;␈α⊂y␈α␈et␈α∂because␈α∂there␈α∂are␈α∂uncoun␈α␈tably
␈β
?␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈α
real␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞this␈α∞giv␈α␈es␈α
us␈α∞no␈α
information␈α
as␈α∞to␈α
whether␈α∞the␈α
sequence␈α
is
␈β
j␈↓ ↓H␈εαreally␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed␈α∞or␈α
not.␈α⊃It␈α
is␈α∞a␈α∞fairly␈α
safe␈α∞bet␈α
that␈α∞nobody␈α
in␈α∞our␈α
lifetimes
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαwill␈α
ev␈α␈er␈ε∂␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈εα␈α
that␈α
this␈α
particular␈α
sequence␈α
is␈ε∂␈α
not␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed;␈α
but␈α
it␈α
migh␈α␈t
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαnot␈αbe.␈αBecause␈αof␈αthese␈αconsiderations,␈αone␈αmay␈αlegitimately␈αw␈α␈onder␈αif␈αthere␈αis
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαan␈α␈y␈ε∂␈αλexplicit␈εα␈α	sequence␈α	that␈α	is␈ε⊗␈α	1␈εα-distributed;␈α
i.e.,␈ε∂␈α	is␈α	there␈α	an␈α	algorithm␈α	to␈αλcompute
␈β∂↔␈↓ ↓H␈ε∂real␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈↓ β#␈ελU␈↓ β[␈ε∂for␈α∂all␈↓ ∧K␈ελn␈↓ ∧p␈ε⊗∃␈εα␈α∞0␈ε∂,␈α⊂such␈α∂that␈α∂the␈α∂sequence␈ε⊗␈α∂h␈↓ λX␈ελU␈↓ 	↓␈ε⊗i␈ε∂␈α∂is␈ε⊗␈α∞1␈ε∂-distributed?
␈β∂$␈↓ β:␈εn␈↓ λo␈εn
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαThe␈αansw␈α␈er␈αis␈α
y␈α␈es,␈αas␈αsho␈α␈wn␈αfor␈α
example␈αby␈αD.␈α
E.␈αKn␈α␈uth␈αin␈ε∂␈αBIT␈ε∩␈α
5␈εα␈α(1965),␈α246↑
␈β∂m␈↓ ↓H␈εα250.␈α↔The␈α∂sequence␈α⊂constructed␈α⊂there␈α∂consists␈α⊂en␈α␈tirely␈α⊂of␈α∂rational␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers;␈α⊃in
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαfact,␈α⊃each␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ β{␈ελU␈↓ ∧4␈εαhas␈α⊂a␈α∂terminating␈α⊂represen␈α␈tation␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂binary␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂&␈↓ ∧∩␈εn
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαsystem.␈α∂Another␈α
construction␈α
of␈α
an␈α
explicit␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed␈α
sequence,␈α
somewhat
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαmore␈αcomplicated␈αthan␈αthe␈αsequence␈αjust␈αcited,␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αTheorem␈αW␈αbelo␈α␈w.
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαSee␈αalso␈αN.␈αM.␈αKorobo␈α␈v,␈ε∂␈αIzv.␈αAkad.␈αNauk␈αSSSR␈ε∩␈α20␈εα␈α(1956),␈α649↑660.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα151
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩C.␈α∞Does␈ε⊗␈α∞1␈ε∩-distributed␈εα␈α∞=␈ε∩␈α∞random?␈εα␈α≤In␈α∞view␈α∞of␈α∞all␈α∞the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞theory␈α∞about␈ε⊗␈α∞1␈εα-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαdistributed␈αεsequences,␈αλw␈α␈e␈απcan␈απbe␈απsure␈αεof␈απone␈απthing:␈α	the␈απconcept␈απof␈απan␈ε⊗␈αε1␈εα-distributed
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsequence␈απis␈αλan␈απimportan␈α␈t␈αλone␈απin␈αλmathematics.␈α
There␈αλis␈απalso␈αλa␈απgood␈απdeal␈αλof␈απevidence
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαthat␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
statemen␈α␈t␈α
is␈α
a␈α
valid␈α
form␈α␈ulation␈α
of␈α
the␈α
in␈α␈tuitiv␈α␈e␈α
idea␈α
of␈αran-
␈ββU␈↓ ↓H␈εαdomness:
␈β∧↔␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈απR1.␈ε∂␈α∂A␈εα␈απ[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈αλsequence␈απis␈απde|ned␈αλto␈απbe␈αλ\random"␈απif␈αλit␈απis␈αλan␈ε⊗␈απ1␈ε∂-distributed
␈β∧B␈↓ ↓H␈ε∂sequence.
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαWe␈α	hav␈α␈e␈α
seen␈α
that␈α
sequences␈α
meeting␈α
this␈α	de|nition␈α
will␈α
satisfy␈α
all␈α
the␈α	statistical
␈β¬0␈↓ ↓H␈εαtests␈αof␈αSection␈α3.3.2␈αand␈αman␈α␈y␈αmore.
␈β¬[␈↓ α␈εαLet␈α∞us␈α
attempt␈α∞to␈α
criticize␈α∞this␈α
de|nition␈α∞objectiv␈α␈ely.␈α⊃First␈α
of␈α∞all,␈α∞is␈α
ev␈α␈ery
␈βεπ␈↓ ↓H␈εα\truly␈α	random"␈α	sequence␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed?␈αThere␈α	are␈α
uncoun␈α␈tably␈α	man␈α␈y␈α	sequences
␈βε2␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓m␈εα,␈↓ αα␈ελU␈↓ α'␈εα,␈↓ α<␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αq␈εαof␈α
real␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈αzero␈αand␈α
one.␈αIf␈α
a␈αtruly␈α
random␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
gen-
␈βε?␈↓ ↓←␈ε¬0␈↓ α→␈ε¬1
␈βε]␈↓ ↓H␈εαerator␈α	is␈α
sampled␈α
to␈α
giv␈α␈e␈α
values␈↓ ¬9␈ελU␈↓ ¬←␈εα,␈↓ ¬s␈ελU␈↓ ε_␈εα,␈↓ ε-␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε]␈εα,␈α
an␈α␈y␈α
of␈α	the␈α
possible␈α
sequences␈α
may␈α	be
␈βεj␈↓ ¬P␈ε¬0␈↓ ε
␈ε¬1
␈βπλ␈↓ ↓H␈εαconsidered␈αequally␈αlik␈α␈ely,␈αand␈αsome␈αof␈α
the␈αsequences␈α(indeed,␈αuncoun␈α␈tably␈α
man␈α␈y
␈βπ3␈↓ ↓H␈εαof␈αthem)␈αare␈αnot␈αev␈α␈en␈αequidistributed.␈αOn␈αthe␈αother␈αhand,␈αusing␈αan␈α␈y␈αreasonable
␈βπ←␈↓ ↓H␈εαde|nition␈απof␈αλprobability␈αλon␈αλthis␈απspace␈αλof␈αλall␈αλpossible␈απsequences␈αλleads␈αλus␈αλto␈απconclude
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαthat␈αa␈α
random␈αsequence␈αis␈ε⊗␈α1␈εα-distributed␈ε∂␈αwith␈αprobability␈αone.␈εα␈αWe␈αare␈α
therefore
␈βλ5␈↓ ↓H␈εαled␈α
to␈α∞formalize␈α
Franklin's␈α
de|nition␈α∞of␈α
randomness␈α∞(as␈α
giv␈α␈en␈α∞at␈α
the␈α
beginning
␈βλ`␈↓ ↓H␈εαof␈αthis␈αsection)␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αway:
␈β	"␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈αR2.␈ε∂␈α→A␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ¬b␈ελU␈↓ ε␈ε⊗i␈ε∂␈αis␈αde|ned␈αto␈αbe␈α
\random"␈αif,␈αwhenev␈α␈er␈↓ ∪␈ελP
␈β	0␈↓ ¬y␈εn
␈β	N␈↓ ↓H␈ε∂is␈α∞a␈α∞property␈α∂such␈α∞that␈↓ ∧J␈ελP␈↓ ∧c␈εα(␈ε⊗h␈↓ ∧{␈ελV␈↓ ¬!␈ε⊗i␈εα)␈ε∂␈α∂holds␈α∞with␈α∞probability␈α∂one␈α∞for␈α∂a␈α∞sequence␈ε⊗␈α∂h␈↓ 
{␈ελV␈↓  ␈ε⊗i
␈β	[␈↓ ¬∂␈εn␈↓ ∂␈εn
␈β	y␈↓ ↓H␈ε∂of␈α
independen␈α␈t␈αsamples␈αof␈αrandom␈α
variables␈αfrom␈αthe␈αuniform␈α
distribution,␈αthen
␈β
$␈↓ ↓H␈ελP␈↓ ↓a␈εα(␈ε⊗h␈↓ ↓y␈ελU␈↓ α"␈ε⊗i␈εα)␈ε∂␈αis␈αtrue.
␈β
1␈↓ α⊂␈εn
␈β
f␈↓ α␈εαIs␈αλit␈αλperhaps␈απpossible␈αλthat␈αλDe|nition␈απR1␈αλis␈αλequivalen␈α␈t␈αλto␈απDe|nition␈αλR2?␈αLet␈απus
␈β∩␈↓ ↓H␈εαtry␈απout␈αλsome␈αλpossible␈αλobjections␈απto␈αλDe|nition␈αλR1,␈αλand␈αλsee␈αλwhether␈αλthese␈απcriticisms
␈β=␈↓ ↓H␈εαare␈αvalid.
␈βh␈↓ α␈εαIn␈α∂the␈α∞|rst␈α∂place,␈α∂De|nition␈α∞R1␈α∂deals␈α∂only␈α∞with␈α∂limiting␈α∞properties␈α∂of␈α∞the
␈β∪␈↓ ↓H␈εαsequence␈α	as␈↓ ββ␈ελn␈↓ β#␈ε⊗!␈α
1␈εα.␈αThere␈α
are␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed␈α
sequences␈α	in␈α
which␈α
the␈α
|rst␈α	million
␈β?␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈ts␈αare␈αall␈αzero;␈αshould␈αsuch␈αa␈αsequence␈αbe␈αconsidered␈αrandom?
␈βj␈↓ α␈εαThis␈α⊂objection␈α∂is␈α⊂not␈α⊂v␈α␈ery␈α∂valid.␈α↔If␈↓ εX␈ελ∂␈↓ εv␈εαis␈α∂an␈α␈y␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber,␈α⊂there␈α⊂is␈α∂no
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαreason␈α∞wh␈α␈y␈α
the␈α∞|rst␈α∞million␈α∞elemen␈α␈ts␈α∞of␈α∞a␈α∞sequence␈α∞should␈α∞not␈α∞all␈α∞be␈α∞less␈α
than
␈β
@␈↓ ↓H␈ελ∂␈↓ ↓V␈εα;␈α⊂as␈α∞poin␈α␈ted␈α∂out␈α∂earlier␈α∂in␈α∞this␈α∂section,␈α⊂there␈α∞is␈α∂no␈α∂legitimate␈α∂way␈α∞to␈α∂say␈α∂if␈α∞a
␈β
l␈↓ ↓H␈εα|nite␈α
sequence␈αis␈αrandom␈α
or␈αnot.␈αWith␈αprobability␈αone,␈αa␈α
truly␈αrandom␈α
sequence
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tains␈α∞in|nitely␈α∂man␈α␈y␈α∂runs␈α∞of␈α∂a␈α∂million␈α∞consecutiv␈α␈e␈α∂elemen␈α␈ts␈α∂less␈α∞than␈↓ 
e␈ελ∂␈↓ 
s␈εα,␈α∂so
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαwh␈α␈y␈αcan't␈αthis␈αhappen␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αthe␈αsequence?
␈β∞m␈↓ α␈εαOn␈α∞the␈α
other␈α∞hand,␈α
consider␈α∞De|nition␈α
R2␈α∞and␈α
let␈↓ λ=␈ελP␈↓ λd␈εαbe␈α
the␈α∞property␈α
that
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαall␈αelemen␈α␈ts␈α
of␈αthe␈α
sequence␈α
are␈αdistinct;␈↓ εU␈ελP␈↓ ε|␈εαis␈αtrue␈α
with␈αprobability␈α
one,␈α
so␈αan␈α␈y
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαsequence␈αwith␈αa␈αmillion␈αzeros␈αis␈αnot␈αrandom␈αby␈ε∂␈αthis␈εα␈αcriterion.
␈β∂o␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αlet␈↓ β∩␈ελP␈↓ β7␈εαbe␈αthe␈αproperty␈αthat␈ε∂␈αno␈εα␈αelemen␈α␈t␈αof␈αthe␈αsequence␈αis␈αequal␈αto␈αzero;
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαagain,␈↓ α3␈ελP␈↓ αZ␈εαis␈α
true␈α
with␈α
probability␈α
one,␈α
so␈α
by␈α
De|nition␈α
R2␈α
an␈α␈y␈α
sequence␈α
with␈α
a
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαzero␈α
elemen␈α␈t␈αis␈αnonrandom.␈αMore␈αgenerally,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αlet␈↓ λE␈ελx␈↓ λn␈εαbe␈αan␈α␈y␈α|x␈α␈ed␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂S␈↓ λU␈ε¬0
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈α
and␈α
one,␈αand␈α
let␈↓ ¬∨␈ελP␈↓ ¬C␈εαbe␈αthe␈α
property␈α
that␈α
no␈αelemen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
sequence
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαis␈α∂equal␈α∂to␈↓ β␈ελx␈↓ β∨␈εα;␈α⊃De|nition␈α∂R2␈α∂no␈α␈w␈α⊂says␈α∂that␈α∂no␈α∂random␈α⊂sequence␈α∂may␈α∂con␈α␈tain
␈β⊃)␈↓ β⊂␈ε¬0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα152␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂elemen␈α␈t␈↓ β⊂␈ελx␈↓ β/␈εα!␈α∃We␈α∂can␈α∂no␈α␈w␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∂that␈ε∂␈α∂no␈α∂sequence␈α∂satis|es␈α∂the␈α∂condition␈α∞of
␈βα5␈↓ β!␈ε¬0
␈βαS␈↓ ↓H␈ε∂De|nition␈αR2.␈εα␈α(For␈αif␈↓ ∧%␈ελU␈↓ ∧J␈εα,␈↓ ∧`␈ελU␈↓ ¬¬␈εα,␈↓ ¬≠␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬Q␈εαis␈αsuch␈αa␈αsequence,␈αtak␈α␈e␈↓ λR␈ελx␈↓ λ{␈εα=␈↓ 	)␈ελU␈↓ 	O␈εα.)
␈βαa␈↓ ∧<␈ε¬0␈↓ ∧w␈ε¬1␈↓ λc␈ε¬0␈↓ 	@␈ε¬0
␈βα␈␈↓ α␈εαTherefore␈α⊂if␈α∂R1␈α⊂is␈α∂too␈α⊂w␈α␈eak␈α∂a␈α⊂de|nition,␈α⊂R2␈α∂is␈α⊂certainly␈α∂too␈α⊂strong.␈α⊗The
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα\righ␈α␈t"␈αλde|nition␈απm␈α␈ust␈αλbe␈αλless␈αλstrict␈αλthan␈αλR2.␈α
We␈αλhav␈α␈e␈αλnot␈αλreally␈αλsho␈α␈wn␈αλthat␈αλR1␈απis
␈ββU␈↓ ↓H␈εαtoo␈απw␈α␈eak,␈α	ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α	so␈αλlet␈απus␈αλcon␈α␈tin␈α␈ue␈αλto␈αλattack␈αλit␈απsome␈αλmore.␈αAs␈αλmen␈α␈tioned␈απabo␈α␈v␈α␈e,
␈β∧␈↓ ↓H␈εαan␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed␈α
sequence␈α
of␈ε∂␈α
rational␈εα␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
has␈α
been␈α
constructed.␈α≠(Indeed,
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαthis␈αis␈α
not␈αso␈αsurprising:␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α
18.)␈α↔Almost␈αall␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈α
irrational;
␈β∧W␈↓ ↓H␈εαperhaps␈αw␈α␈e␈αshould␈αinsist␈αthat
␈β¬.␈↓ ¬∞␈εαPr␈↓ ¬2␈εα(␈↓ ¬>␈ελU␈↓ ¬r␈εαis␈αrational␈↓ π⊂␈εα)␈α
=␈α
0
␈β¬;␈↓ ¬U␈εn
␈βε¬␈↓ ↓H␈εαfor␈αa␈αrandom␈αsequence.
␈βε0␈↓ α␈εαNote␈α∞that␈α∂the␈α∞de|nition␈α∂of␈α∞equidistribution␈α∞says␈α∂that␈↓ λm␈εαPr␈↓ 	⊃␈εα(␈↓ 	≥␈ελu␈↓ 	A␈ε⊗∀␈↓ 	s␈ελU␈↓ 
*␈εα<␈↓ 
\␈ελv␈↓ 
n␈εα)␈α∞=
␈βε=␈↓ 

␈εn
␈βε[␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓]␈ε⊗␈␈↓ α∧␈ελu␈↓ α→␈εα.␈αThere␈αλis␈αλan␈αλobvious␈αλway␈αλto␈αλgeneralize␈αλthis␈αλde|nition,␈α	using␈απmeasure␈αλtheory:
␈βπε␈↓ ↓H␈εα\If␈↓ ↓}␈ελS␈↓ α≡␈ε⊗∩␈εα␈α
[␈αε0,␈αε1)␈αis␈αa␈αset␈αof␈αmeasure␈↓ ¬X␈ελ⊗␈↓ ¬l␈εα,␈αthen
␈βπ]␈↓ ¬7␈ελP␈↓ ¬P␈ελr␈↓ ¬`␈εα(␈↓ ¬l␈ελU␈↓ ε∨␈ε⊗2␈↓ εE␈ελS␈↓ ε[␈εα)␈α
=␈↓ π∨␈ελ⊗␈↓ π3␈εα,␈↓ 
p␈εα(27)
␈βπk␈↓ εβ␈εn
␈βλ4␈↓ ↓H␈εαfor␈α⊃all␈α⊃random␈α⊂sequences␈ε⊗␈α⊃h␈↓ ∧w␈ελU␈↓ ¬ ␈ε⊗i␈εα."␈α≠In␈α⊃particular,␈α∩if␈↓ πq␈ελS␈↓ λ_␈εαis␈α⊃the␈α⊃set␈α⊃of␈α⊃rationals,␈α∩it
␈βλB␈↓ ¬∞␈εn
␈βλ`␈↓ ↓H␈εαhas␈α
measure␈α
zero,␈α∞so␈α
no␈α∞sequence␈α
of␈α∞rational␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
is␈α∞equidistributed␈α
in␈α
this
␈β	␈↓ ↓H␈εαgeneralized␈αsense.␈α
It␈αis␈α
reasonable␈αto␈αexpect␈α
that␈αTheorem␈αB␈α
could␈αbe␈αextended
␈β	6␈↓ ↓H␈εαto␈α
Lebesgue␈α
in␈α␈tegration␈α	instead␈α
of␈α
Riemann␈α
in␈α␈tegration,␈αif␈α
property␈α
(27)␈α	is␈α
stipu-
␈β	a␈↓ ↓H␈εαlated.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αλonce␈αλagain␈απw␈α␈e␈αλ|nd␈απthat␈αλde|nition␈απ(27)␈απis␈αλtoo␈απstrict,␈α	for␈ε∂␈απno␈εα␈απsequence
␈β
␈↓ ↓H␈εαsatis|es␈αthat␈αproperty.␈αIf␈↓ ∧Y␈ελU␈↓ ∧}␈εα,␈↓ ¬∀␈ελU␈↓ ¬9␈εα,␈↓ ¬N␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εβ␈εαis␈αan␈α␈y␈αsequence,␈αthe␈αset␈↓ λ|␈ελS␈↓ 	≤␈εα=␈ε⊗␈α
f␈↓ 	\␈ελU␈↓ 
α␈εα,␈↓ 
∩␈ελU␈↓ 
7␈εα,␈↓ 
G␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
w␈ε⊗g␈εα␈αis
␈β
~␈↓ ∧p␈ε¬0␈↓ ¬+␈ε¬1␈↓ 	s␈ε¬0␈↓ 
)␈ε¬1
␈β
8␈↓ ↓H␈εαof␈αmeasure␈α
zero,␈αy␈α␈et␈↓ ∧∪␈εαPr␈↓ ∧7␈εα(␈↓ ∧C␈ελU␈↓ ∧w␈ε⊗2␈↓ ¬≥␈ελS␈↓ ¬4␈εα)␈α
=␈α1.␈α∞Th␈α␈us,␈αby␈α
the␈αforce␈α
of␈αthe␈α
same␈αargumen␈α␈t
␈β
E␈↓ ∧Z␈εn
␈β
c␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αused␈αto␈αex␈α␈clude␈αrationals␈αfrom␈αrandom␈αsequences,␈αw␈α␈e␈αcan␈αex␈α␈clude␈αall␈αrandom
␈β∞␈↓ ↓H␈εαsequences.
␈β9␈↓ α␈εαSo␈αfar␈αDe|nition␈α
R1␈αhas␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αto␈αbe␈αdefensible.␈α
There␈αare,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αsome
␈βe␈↓ ↓H␈εαquite␈α
valid␈α
objections␈α
to␈α
it.␈α⊂For␈α
example,␈α
if␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
a␈α
random␈α
sequence␈α
in␈α
the
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tuitiv␈α␈e␈αsense,␈αthe␈αin|nite␈αsubsequence
␈βg␈↓ ∧`␈ελU␈↓ ¬ε␈εα,␈↓ ¬≡␈ελU␈↓ ¬C␈εα,␈↓ ¬[␈ελU␈↓ ε␈εα,␈↓ ε_␈ελU␈↓ ε>␈εα,␈↓ εV␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πε␈εα,␈↓ π≡␈ελU␈↓ πR␈εα,␈↓ πj␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
p␈εα(28)
␈βt␈↓ ∧w␈ε¬0␈↓ ¬5␈ε¬1␈↓ ¬r␈ε¬4␈↓ ε/␈ε¬9␈↓ πG␈επ2
␈βv␈↓ π5␈εn
␈β
>␈↓ ↓H␈εαshould␈αalso␈αbe␈αa␈αrandom␈αsequence.␈αThis␈αis␈αnot␈αalways␈αtrue␈αfor␈αan␈ε⊗␈α1␈εα-distributed
␈β
i␈↓ ↓H␈εαsequence.␈αIn␈αfact,␈αif␈αw␈α␈e␈αtak␈α␈e␈αan␈α␈y␈ε⊗␈α1␈εα-distributed␈αsequence␈αand␈αset␈↓ 	E␈ελU␈↓ 
β␈ε⊗ ␈εα␈α
0␈αfor␈αall
␈β
v␈↓ 	n␈επ2
␈β
x␈↓ 	\␈εn
␈β∞∀␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓]␈εα,␈αthe␈αcoun␈α␈ts␈↓ β"␈ελ↔␈↓ β@␈εα(␈↓ βL␈ελn␈↓ βa␈εα)␈αthat␈αappear␈αin␈αthe␈αtest␈αof␈↓ π∃␈ελk␈↓ π'␈εα-distributivity␈αare␈αchanged␈αby␈αat
␈β∞"␈↓ β1␈εk
␈β∞>␈↓ αF␈∧∞>αFα⊗
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαmost␈↓ α"␈ε⊗p␈↓ αF␈ελn␈↓ α[␈εα,␈α∂so␈α∞the␈α∞limits␈α∞of␈α∞the␈α∞ratios␈↓ ε~␈ελ↔␈↓ ε8␈εα(␈↓ εD␈ελn␈↓ εY␈εα)/␈↓ εw␈ελn␈↓ π≠␈εαremain␈α∞unchanged.␈α∩Therefore␈α∞R1
␈β∞M␈↓ ε)␈εk
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαde|nitely␈αfails␈αto␈αsatisfy␈αthis␈αrandomness␈αcriterion.
␈β∂⊗␈↓ α␈εαPerhaps␈αw␈α␈e␈αshould␈αstrengthen␈αR1␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β∂X␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈α∞R3.␈ε∂␈α≡A␈εα␈α∂[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈α∞sequence␈α∂is␈α∂said␈α∞to␈α∂be␈α∞\random"␈α∂if␈α∂each␈α∞of␈α∂its␈α∞in|nite
␈β⊂β␈↓ ↓H␈ε∂subsequences␈αis␈ε⊗␈α1␈ε∂-distributed.
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαOnce␈α
again,␈α
ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthe␈α
de|nition␈α
turns␈α
out␈α
to␈α
be␈αtoo␈α
strict.␈αIf␈ε⊗␈α
h␈↓ 	<␈ελU␈↓ 	e␈ε⊗i␈εα␈α
is␈α
an␈α␈y␈α
equi-
␈β⊂S␈↓ 	S␈εn
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαdistributed␈α
sequence,␈α∂it␈α
has␈α∞a␈α∞monotonic␈α∞subsequence␈α
with␈↓ λz␈ελU␈↓ 	4␈εα<␈↓ 	d␈ελU␈↓ 
≡␈εα<␈↓ 
O␈ελU␈↓ λ␈εα<
␈β⊂}␈↓ 	⊃␈εs␈↓ 	{␈εs␈↓ 
f␈εs
␈β⊃π␈↓ 	≠␈επ0␈↓ 
ε␈επ1␈↓ 
p␈επ2
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ↓x␈εα.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα153
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈αsecret␈αis␈αto␈αrestrict␈α
the␈αsubsequences␈αso␈αthat␈αthey␈αcould␈αbe␈αde|ned␈αby␈α
a
␈βαS␈↓ ↓H␈εαman␈αwho␈αdoes␈αnot␈αlook␈αat␈↓ ∧l␈ελU␈↓ ¬!␈εαbefore␈αhe␈αdecides␈αwhether␈αor␈αnot␈αit␈αis␈αto␈αbe␈αin␈αthe
␈βαa␈↓ ¬β␈εn
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsubsequence.␈αThe␈αfollo␈α␈wing␈αde|nition␈αno␈α␈w␈αsuggests␈αitself:
␈ββU␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈α	R4.␈ε∂␈α⊃A␈εα␈α	[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈α	sequence␈ε⊗␈α	h␈↓ ¬N␈ελU␈↓ ¬w␈ε⊗i␈ε∂␈α	is␈α	said␈α	to␈α	be␈α	\random"␈α	if,␈α
for␈αλev␈α␈ery␈α	e{ectiv␈α␈e
␈ββb␈↓ ¬e␈εn
␈β∧␈↓ ↓H␈ε∂algorithm␈α
that␈α∞speci|es␈α∞an␈α
in|nite␈α∞sequence␈α∞of␈α
distinct␈α∞nonnegativ␈α␈e␈α∞in␈α␈tegers␈↓ ∂␈ελs
␈β∧
␈↓ ≠␈εn
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε∂for␈↓ αα␈ελn␈↓ α%␈ε⊗∃␈εα␈α∞0␈ε∂,␈α∂the␈α∞subsequence␈↓ ¬∞␈ελU␈↓ ¬;␈ε∂,␈↓ ¬T␈ελU␈↓ ε␈ε∂,␈↓ ε→␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εQ␈ε∂corresponding␈α∂to␈α∞this␈α∞algorithm␈α∞is␈ε⊗␈α∞1␈ε∂-
␈β∧8␈↓ ¬%␈εs␈↓ ¬k␈εs
␈β∧A␈↓ ¬0␈επ0␈↓ ¬u␈επ1
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε∂distributed.
␈β¬,␈↓ α␈εαThe␈α⊂algorithms␈α∂referred␈α⊂to␈α∂in␈α⊂this␈α∂de|nition␈α⊂are␈α∂e{ectiv␈α␈e␈α⊂procedures␈α∂that
␈β¬R␈↓ 
-␈εn
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαcompute␈↓ αU␈ελs␈↓ αs␈εα,␈αλgiv␈α␈en␈↓ β←␈ελn␈↓ βt␈εα.␈α
(See␈απSection␈απ1.1.)␈α
Th␈α␈us,␈αλfor␈απexample,␈αλthe␈απsequence␈ε⊗␈απh␈↓ 
_␈ελ→␈↓ 
D␈εαmod␈↓ ∞␈εα1␈ε⊗i
␈β¬e␈↓ αa␈εn
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαwill␈ε∂␈απnot␈εα␈απsatisfy␈απR4,␈αλsince␈απit␈απis␈απeither␈απnot␈απequidistributed␈απor␈απthere␈απis␈απan␈απe{ectiv␈α␈e␈απalgo-
␈βε)␈↓ λ∨␈εs␈↓ 	{␈εs
␈βε.␈↓ ↓H␈εαrithm␈απthat␈αλdetermines␈αλan␈απin|nite␈αλsubsequence␈↓ π␈ελs␈↓ π1␈εαwith␈αλ(␈↓ λ␈ελ→␈↓ λ;␈εαmod␈↓ 	¬␈εα1)␈α
<␈α
(␈↓ 	g␈ελ→␈↓ 
⊗␈εαmod␈↓ 
`␈εα1)␈α
<
␈βε1␈↓ λ)␈επ0␈↓ 
¬␈επ1
␈βε;␈↓ π_␈εn
␈βεY␈↓ ↓H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ↓x␈εα.␈α∩Similarly,␈ε∂␈α∞no␈α∞explicitly␈α∞de|ned␈α∞sequence␈α∞can␈α∂satisfy␈α∞De|nition␈α∞R4␈↓ 
3␈εα;␈α∂this␈α∞is
␈βπ∧␈↓ ↓H␈εαappropriate,␈α	if␈α	w␈α␈e␈α
agree␈α	that␈α	no␈α	explicitly␈α	de|ned␈α	sequence␈α	can␈α	really␈α	be␈α	random.
␈βπ*␈↓ π∃␈εn
␈βπ/␈↓ ↓H␈εαIt␈α	is␈α
quite␈α
lik␈α␈ely,␈α
ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
that␈α	the␈α
sequence␈α
(␈↓ πε␈ελ∩␈↓ π-␈εαmod␈↓ πw␈εα1␈ε⊗i␈εα␈α
will␈α	satisfy␈α
De|nition␈α	R4,
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂almost␈α∂all␈α∂real␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈↓ ¬␈ελ∩␈↓ ¬)␈εα>␈α∂1;␈α⊂this␈α∂is␈α∂no␈α∂con␈α␈tradiction,␈α⊂since␈α∂almost␈α∂all␈↓ ≥␈ελ∩
␈βλε␈↓ ↓H␈εαare␈α∞uncomputable␈α∞by␈α∞algorithms.␈α∩The␈α∞follo␈α␈wing␈α∞facts␈α∞are␈α∞kno␈α␈wn,␈α∞for␈α∞example:
␈βλ,␈↓ βv␈εn
␈βλ1␈↓ ↓H␈εα(i)␈α∞The␈α∞sequence␈ε⊗␈α∞h␈↓ βf␈ελ∩␈↓ ∧∞␈εαmod␈↓ ∧X␈εα1␈ε⊗i␈εα␈α∞satis|es␈α∞De|nition␈α∞R4␈α∂for␈α∞almost␈α∞all␈α∞real␈↓ 
≥␈ελ∩␈↓ 
:␈εα>␈α∞1,␈α∞if
␈βλ\␈↓ ↓H␈εα\␈ε⊗1␈εα-distributed"␈α⊂is␈α⊂replaced␈α⊂by␈α⊂\1-distributed."␈α_This␈α⊂theorem␈α⊂was␈α⊂pro␈α␈v␈α␈ed␈α⊂by
␈β	π␈↓ ↓H␈εαJ.␈α
F.␈α
Koksma,␈ε∂␈α∞Compositio␈α
Mathematica␈ε∩␈α
2␈εα␈α
(1935),␈α∞250↑258.␈α≠(ii)␈α
The␈α
particular
␈β	-␈↓ αz␈εs␈↓ βπ␈ε¬(␈↓ β⊂␈εn␈↓ β"␈ε¬)
␈β	3␈↓ ↓H␈εαsequence␈ε⊗␈α∂h␈↓ αk␈ελ∩␈↓ β2␈εαmod␈↓ β|␈εα1␈ε⊗i␈εα␈α∂is␈ε⊗␈α∂1␈εα-distributed␈α∂for␈α⊂almost␈α∂all␈α∂real␈↓ λl␈ελ∩␈↓ 	␈εα>␈α∂1,␈α⊂if␈ε⊗␈α∂h␈↓ 
≠␈ελs␈↓ 
*␈εα(␈↓ 
6␈ελn␈↓ 
L␈εα)␈ε⊗i␈εα␈α∂is␈α∂a
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαsequence␈α
of␈αin␈α␈tegers␈αfor␈αwhich␈↓ ¬$␈ελs␈↓ ¬3␈εα(␈↓ ¬?␈ελn␈↓ ¬[␈εα+␈απ1)␈ε⊗␈αε␈␈↓ εT␈ελs␈↓ εc␈εα(␈↓ εo␈ελn␈↓ π¬␈εα)␈ε⊗␈α
!␈α
1␈εα␈αas␈↓ λ"␈ελn␈↓ λB␈ε⊗!␈α
1␈εα.␈αFor␈α
example,␈αw␈α␈e
␈β
∧␈↓ ∧π␈ε¬2
␈β
	␈↓ ↓H␈εαcould␈αhav␈α␈e␈↓ α⎇␈ελs␈↓ β␈εα(␈↓ β_␈ελn␈↓ β-␈εα)␈α
=␈↓ βq␈ελn␈↓ ∧∃␈εα,␈αor␈↓ ∧W␈ελs␈↓ ∧f␈εα(␈↓ ∧r␈ελn␈↓ ¬λ␈εα)␈α
=␈ε⊗␈α
b␈↓ ¬Z␈ελn␈↓ ¬v␈εαlg␈↓ ε_␈ελn␈↓ ε-␈ε⊗c␈εα.
␈β
7␈↓ α␈εαDe|nition␈αR4␈αis␈αm␈α␈uch␈αstronger␈αthan␈αDe|nition␈αR1;␈αbut␈αit␈αis␈αstill␈αreasonable
␈β
b␈↓ ↓H␈εαto␈α
claim␈α
that␈α
De|nition␈α
R4␈α
is␈αtoo␈α
w␈α␈eak.␈αFor␈α
example,␈αlet␈ε⊗␈α
h␈↓ λS␈ελU␈↓ λ|␈ε⊗i␈εα␈α
be␈α
a␈α
truly␈α
random
␈β
p␈↓ λj␈εn
␈β∞␈↓ ↓H␈εαsequence,␈α∞and␈α∞de|ne␈α∞the␈α
subsequence␈ε⊗␈α∞h␈↓ ε1␈ελU␈↓ εb␈ε⊗i␈εα␈α∞by␈α∞the␈α
follo␈α␈wing␈α∞rules:␈↓ 	p␈ελs␈↓ 
↔␈εα=␈α
0,␈α∞and
␈β≠␈↓ εH␈εs␈↓ 	|␈ε¬0
␈β$␈↓ εS␈ε
n
␈β9␈↓ ↓H␈εα(for␈↓ α
␈ελn␈↓ α)␈εα>␈α
0)␈↓ β␈ελs␈↓ β(␈εαis␈α
the␈α
smallest␈α
in␈α␈teger␈ε⊗␈α
∃␈↓ ε1␈ελn␈↓ εQ␈εαfor␈α
which␈↓ πm␈ελU␈↓ λI␈εα,␈↓ λ↑␈ελU␈↓ 	:␈εα,␈↓ 	N␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	}␈εα,␈↓ 
∪␈ελU␈↓ 
|␈εαare
␈βF␈↓ β␈εn␈↓ λ∧␈εs␈↓ λ≡␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λu␈εs␈↓ 	∂␈ε→␈␈ε¬␈α␈2␈↓ 
*␈εs␈↓ 
D␈ε→␈␈↓ 
`␈εn
␈βO␈↓ λ∂␈ε
n␈↓ λ␈␈ε
n␈↓ 
4␈ε
n
␈βa␈↓ β∪␈ε¬1
␈βd␈↓ ↓H␈εαall␈αless␈αthan␈↓ β%␈εα.␈αTh␈α␈us␈αw␈α␈e␈αare␈αconsidering␈αthe␈αsubsequence␈αof␈αvalues␈αfollo␈α␈wing␈αthe
␈βt␈↓ β∪␈∧tβ∪α∂
␈βw␈↓ β∪␈ε¬2
␈β␈↓ εS␈ε¬1␈↓ 	F␈ε¬1
␈β∂␈↓ ↓H␈εα|rst␈α	consecutiv␈α␈e␈α
run␈α	of␈↓ ∧3␈ελn␈↓ ∧R␈εαvalues␈α
less␈α	than␈↓ εe␈εα.␈αSuppose␈α
that␈α
\␈↓ λb␈ελU␈↓ 	∀␈εα<␈↓ 	Y␈εα"␈α	corresponds
␈β≥␈↓ λy␈εn
␈β∨␈↓ εS␈∧∨εSα∂␈↓ 	F␈∧∨	Fα∂
␈β"␈↓ εS␈ε¬2␈↓ 	F␈ε¬2
␈β:␈↓ ↓H␈εαto␈αthe␈αvalue␈α\heads"␈αin␈αthe␈α⎇ipping␈αof␈αa␈αcoin.␈αGam␈α␈blers␈αtend␈αto␈αfeel␈αthat␈αa␈αlong
␈βf␈↓ ↓H␈εαrun␈α
of␈α
\heads"␈α
mak␈α␈es␈α
the␈α
opposite␈α
condition,␈α∞\tails,"␈α
more␈α
probable,␈α
assuming
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαthat␈α	a␈α
true␈α
coin␈α	is␈α
being␈α	used;␈αand␈α	the␈α
subsequence␈ε⊗␈α
h␈↓ πo␈ελU␈↓ λ ␈ε⊗i␈εα␈α	just␈α
de|ned␈α	corresponds
␈β
≡␈↓ λε␈εs
␈β
'␈↓ λ⊂␈ε
n
␈β
<␈↓ ↓H␈εαto␈α
a␈α
gam␈α␈bling␈α
system␈α
for␈α
a␈α
man␈α
who␈α
places␈α
his␈↓ π%␈ελn␈↓ π;␈εαth␈α
bet␈α
on␈α
the␈α
coin␈α
toss␈α
follo␈α␈wing
␈β
d␈↓ ∞␈ε¬1
␈β
g␈↓ ↓H␈εαthe␈α
|rst␈αrun␈αof␈↓ β7␈ελn␈↓ βW␈εαconsecutiv␈α␈e␈α\heads."␈αThe␈αgam␈α␈bler␈αmay␈αthink␈α
that␈↓ 	q␈εαPr␈↓ 
∃␈εα(␈↓ 
!␈ελU␈↓ 
\␈ε⊗∃␈↓  ␈εα)
␈β
u␈↓ 
8␈εs
␈β
w␈↓ ∞␈∧
w∞α∂
␈β
z␈↓ ∞␈ε¬2
␈β
⎇␈↓ 
C␈ε
n
␈β∞∂␈↓ β↔␈ε¬1
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαis␈α	more␈α
than␈↓ β)␈εα,␈αbut␈α
of␈α	course␈α
in␈α
a␈α
truly␈α
random␈α	sequence␈ε⊗␈α
h␈↓ λL␈ελU␈↓ λ⎇␈ε⊗i␈εα␈α
will␈α
be␈α	completely
␈β∞ ␈↓ λc␈εs
␈β∞#␈↓ β↔␈∧∞#β↔α∂
␈β∞%␈↓ β↔␈ε¬2
␈β∞(␈↓ λn␈ε
n
␈β∞>␈↓ ↓H␈εαrandom.␈α_No␈α⊂gam␈α␈bling␈α⊂system␈α⊂will␈α⊂ev␈α␈er␈α⊂able␈α⊂to␈α⊂beat␈α⊂the␈α∂odds!␈α_De|nition␈α⊂R4
␈β∞i␈↓ ↓H␈εαsays␈α
nothing␈α
about␈α
subsequences␈α
formed␈α∞according␈α
to␈α
such␈α
a␈α
gam␈α␈bling␈α
system,
␈β∂∀␈↓ ↓H␈εαso␈αapparen␈α␈tly␈αw␈α␈e␈αneed␈αsomething␈αmore.
␈β∂B␈↓ α␈εαLet␈α∂us␈α∂de|ne␈α∂a␈α∂\subsequence␈α∂rule"␈ε⊗␈α∂R␈εα␈α∂as␈α∂an␈α∂in|nite␈α∂sequence␈α∂of␈α∂functions
␈β∂m␈↓ ↓H␈ε⊗h␈↓ ↓T␈ελf␈↓ ↓q␈εα(␈↓ ↓⎇␈ελx␈↓ α≤␈εα,␈↓ α,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α\␈εα,␈↓ αl␈ελx␈↓ β∞␈εα)␈ε⊗i␈εα␈αwhere,␈αfor␈↓ ∧Y␈ελn␈↓ ∧y␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈↓ ¬N␈ελf␈↓ ¬v␈εαis␈αa␈αfunction␈αof␈↓ πl␈ελn␈↓ λ␈εαvariables,␈αand␈αthe␈α
value␈αof
␈β∂{␈↓ ↓←␈εn␈↓ α
␈ε¬1␈↓ α|␈εn␈↓ ¬Y␈εn
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓e␈εα(␈↓ ↓q␈ελx␈↓ α⊂␈εα,␈↓ α ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αP␈εα,␈↓ α`␈ελx␈↓ βα␈εα)␈α	is␈αλeither␈α	0␈αλor␈α	1.␈αHere␈↓ ¬T␈ελx␈↓ ¬s␈εα,␈↓ επ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε7␈εα,␈↓ εJ␈ελx␈↓ εu␈εαare␈α	elemen␈α␈ts␈αλof␈α	some␈αλset␈↓ 	o␈ελS␈↓ 
¬␈εα.␈α⊃(Th␈α␈us,␈α	in
␈β⊂&␈↓ ↓S␈εn␈↓ α↓␈ε¬1␈↓ αp␈εn␈↓ ¬e␈ε¬1␈↓ εZ␈εn
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαparticular,␈↓ αv␈ελf␈↓ β~␈εαis␈α
a␈αconstan␈α␈t␈α
function,␈αeither␈α
0␈α
or␈α1.)␈α∃A␈α
subsequence␈αrule␈ε⊗␈α
R␈εα␈α
de|nes
␈β⊂Q␈↓ β↓␈ε¬0
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαa␈αsubsequence␈αof␈αan␈α␈y␈αin|nite␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ε6␈ελX␈↓ ε`␈ε⊗i␈εα␈αof␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ λ]␈ελS␈↓ λ␈␈εαas␈αfollo␈α␈ws:␈ε∂␈αThe␈↓ 
u␈ελn␈↓ 
␈ε∂th
␈β⊂|␈↓ εO␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∂term␈↓ α!␈ελX␈↓ α[␈ε∂is␈α∂in␈α∂the␈α∂subsequence␈ε⊗␈α∂h␈↓ ¬I␈ελX␈↓ ¬t␈ε⊗iR␈ε∂␈α⊂if␈α∂and␈α∂only␈α∂if␈↓ λ∀␈ελf␈↓ λ1␈εα(␈↓ λ=␈ελX␈↓ λd␈εα,␈↓ λt␈ελX␈↓ 	≤␈εα,␈↓ 	,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	\␈εα,␈↓ 	l␈ελX␈↓ 
B␈εα)␈α∂=␈α∂1␈ε∂.
␈β⊃(␈↓ α:␈εn␈↓ ¬b␈εn␈↓ λ∨␈εn␈↓ λV␈ε¬0␈↓ 	
␈ε¬1␈↓ 
¬␈εn␈↓ 
↔␈ε→␈␈ε¬1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα154␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα&␈↓ ↓H␈εαNote␈αthat␈αthe␈α
subsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ¬β␈ελX␈↓ ¬.␈ε⊗iR␈εα␈α
th␈α␈us␈αde|ned␈αis␈α
not␈αnecessarily␈α
in|nite,␈αand␈αit
␈βα4␈↓ ¬≤␈εn
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαmay␈αin␈αfact␈αbe␈αthe␈αn␈α␈ull␈αsubsequence.
␈βα⎇␈↓ α␈εαFor␈α
example,␈αthe␈α
\gam␈α␈bler's␈α
subsequence"␈α
just␈α
described␈α
corresponds␈α
to␈α
the
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈α	subsequence␈α	rule:␈α\␈↓ ¬λ␈ελf␈↓ ¬+␈εα=␈α
1;␈αand␈α	for␈↓ εx␈ελn␈↓ π_␈εα>␈α
0,␈↓ πl␈ελf␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελx␈↓ λ4␈εα,␈↓ λD␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λt␈εα,␈↓ 	∧␈ελx␈↓ 	&␈εα)␈α
=␈α
1␈α
if␈α	and␈α	only
␈ββ5␈↓ ¬∪␈ε¬0␈↓ πw␈εn␈↓ λ%␈ε¬1␈↓ 	∀␈εn
␈ββP␈↓ π,␈ε¬1␈↓ λf␈ε¬1␈↓ ⊂␈ε¬1
␈ββS␈↓ ↓H␈εαif␈αthere␈αis␈αsome␈↓ βA␈ελk␈↓ βS␈εα,␈α0␈α
<␈↓ ∧2␈ελk␈↓ ∧N␈ε⊗∀␈↓ ∧|␈ελn␈↓ ¬∩␈εα,␈αsuch␈αthat␈↓ εF␈ελx␈↓ εz␈εα<␈↓ π?␈εα,␈↓ πT␈ελx␈↓ λ4␈εα<␈↓ λx␈εα,␈↓ 	∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	>␈εα,␈↓ 	S␈ελx␈↓ 
↑␈εα<␈↓ "␈εα,
␈ββ`␈↓ εV␈εm␈↓ πe␈εm␈↓ π␈␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	d␈εm␈↓ 	}␈ε→␈␈↓ 
~␈εk␈↓ 
)␈ε¬+1
␈ββc␈↓ π,␈∧βcπ,α∂␈↓ λf␈∧βcλfα∂␈↓ ⊂␈∧βc⊂α∂
␈ββf␈↓ π,␈ε¬2␈↓ λf␈ε¬2␈↓ ⊂␈ε¬2
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελm␈↓ αO␈εα=␈↓ α⎇␈ελn␈↓ β∨␈εαbut␈αnot␈αwhen␈↓ ∧␈␈ελk␈↓ ¬≠␈ε⊗∀␈↓ ¬I␈ελm␈↓ ¬r␈εα<␈↓ ε ␈ελn␈↓ ε6␈εα."
␈β∧)␈↓ α␈εαA␈αsubsequence␈α
rule␈ε⊗␈αR␈εα␈α
is␈αsaid␈αto␈α
be␈ε∂␈αcomputable␈εα␈α
if␈αthere␈αis␈α
an␈αe{ectiv␈α␈e␈αalgo-
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαrithm␈α⊂that␈α⊂determines␈α⊂the␈α⊂value␈α⊂of␈↓ ε⊃␈ελf␈↓ ε.␈εα(␈↓ ε:␈ελx␈↓ εY␈εα,␈↓ εi␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π→␈εα,␈↓ π)␈ελx␈↓ πK␈εα),␈α⊃when␈↓ λT␈ελn␈↓ λz␈εαand␈↓ 	D␈ελx␈↓ 	c␈εα,␈↓ 	␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
/␈εα,␈↓ 
J␈ελx␈↓ 
|␈εαare
␈β∧b␈↓ ε≤␈εn␈↓ εJ␈ε¬1␈↓ π9␈εn␈↓ 	U␈ε¬1␈↓ 
Z␈εn
␈β¬␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈en␈α∂as␈α⊂input.␈α⊗In␈α⊂a␈α∂de|nition␈α⊂of␈α∂randomness,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂should␈α∂restrict␈α⊂ourselv␈α␈es␈α∂to
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαcomputable␈α	subsequence␈α	rules,␈α	or␈α	else␈α	w␈α␈e␈α
obtain␈α	a␈α	de|nition␈α	lik␈α␈e␈α	R3␈α	abo␈α␈v␈α␈e,␈α	which
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂too␈α⊂strong.␈α_But␈α⊂e{ectiv␈α␈e␈α⊃algorithms␈α⊂cannot␈α⊂deal␈α⊂nicely␈α⊂with␈α⊂arbitrary␈α⊂real
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α∂as␈α∂inputs;␈α∩for␈α∂example,␈α⊂if␈α⊂a␈α∂real␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ πu␈ελx␈↓ λ↔␈εαis␈α∂speci|ed␈α⊂by␈α∂an␈α∂in|nite
␈βε)␈↓ 	K␈ε¬1
␈βε-␈↓ ↓H␈εαradix-10␈αexpansion,␈αthere␈αis␈α
no␈αalgorithm␈αto␈αdetermine␈αif␈↓ λV␈ελx␈↓ λu␈εαis␈α<␈↓ 	j␈εαor␈αnot,␈αsince
␈βε=␈↓ 	K␈∧ε=	Kα∂
␈βε?␈↓ 	K␈ε¬3
␈βεX␈↓ ↓H␈εαall␈α∞digits␈α∂of␈α∞the␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂0.333␈↓ ¬+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈εαhav␈α␈e␈α∂to␈α∞be␈α∂examined.␈α∀Therefore␈α∞computable
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαsubsequence␈α∂rules␈α∂do␈α∂not␈α∂apply␈α∂to␈α∂all␈α∂[␈αε0,␈αε1)␈α∂sequences,␈α∂and␈α∂it␈α∂is␈α∂con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α∂to
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαbase␈αour␈αnext␈αde|nition␈αon␈↓ ∧|␈ελb␈↓ ¬
␈εα-ary␈αsequences:
␈βπh␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈α∞R5.␈ε∂␈α∨A␈↓ βq␈ελb␈↓ β␈␈ε∂-ary␈α∂sequence␈α∂is␈α∂said␈α∞to␈α∂be␈α∂\random"␈α∂if␈α∂ev␈α␈ery␈α∂in|nite␈α∞sub-
␈βλ∪␈↓ ↓H␈ε∂sequence␈αde|ned␈αby␈αa␈αcomputable␈αsubsequence␈αrule␈αis␈εα␈α1␈ε∂-distributed.
␈βλE␈↓ α␈ε∂A␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈α
sequence␈ε⊗␈αh␈↓ ∧*␈ελU␈↓ ∧S␈ε⊗i␈ε∂␈αis␈α
said␈αto␈αbe␈α\random"␈α
if␈αthe␈↓ λ3␈ελb␈↓ λA␈ε∂-ary␈αsequence␈ε⊗␈α
hb␈↓ 
8␈ελb␈↓ 
G␈ελU␈↓ 
p␈ε⊗ci␈ε∂␈α
is
␈βλS␈↓ ∧A␈εn␈↓ 
↑␈εn
␈βλq␈↓ ↓H␈ε∂\random"␈αfor␈αall␈αin␈α␈tegers␈↓ ∧←␈ελb␈↓ ∧w␈ε⊗∃␈εα␈α
2␈ε∂.
␈β	*␈↓ α␈εαNote␈α	that␈α	De|nition␈α	R5␈α	says␈αλonly␈α	\1-distributed,"␈α
not␈α	\␈ε⊗1␈εα-distributed."␈αIt␈αλis
␈β	U␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teresting␈αλto␈α	v␈α␈erify␈α	that␈αλthis␈α	may␈α	be␈αλdone␈α	without␈α	loss␈αλof␈α	generality.␈αFor␈α	w␈α␈e␈αλmay
␈β
↓␈↓ ↓H␈εαde|ne␈α∂an␈α∂obviously␈α∂computable␈α⊂subsequence␈α∂rule␈ε⊗␈α∂R␈εα(␈↓ λ∃␈ελa␈↓ λ:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λj␈ελa␈↓ 	
␈εα)␈α∂as␈α∂follo␈α␈ws,␈α⊂giv␈α␈en
␈β
∞␈↓ λ&␈ε¬1␈↓ λ{␈εk
␈β
,␈↓ ↓H␈εαan␈α␈y␈↓ α∞␈ελb␈↓ α≤␈εα-ary␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ βl␈ελa␈↓ ∧⊃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧A␈ελa␈↓ ∧a␈εα:␈α∞Let␈↓ ¬<␈ελf␈↓ ¬Y␈εα(␈↓ ¬e␈ελx␈↓ ε∧␈εα,␈↓ ε∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εD␈εα,␈↓ εT␈ελx␈↓ εv␈εα)␈α=␈α1␈α
if␈α
and␈α
only␈α
if␈↓ 	;␈ελn␈↓ 	\␈ε⊗∃␈↓ 
␈ελk␈↓ 
'␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
and
␈β
9␈↓ β⎇␈ε¬1␈↓ ∧R␈εk␈↓ ¬G␈εn␈↓ ¬u␈ε¬1␈↓ εd␈εn
␈β
W␈↓ ↓H␈ελx␈↓ αL␈εα=␈↓ α|␈ελa␈↓ β≠␈εα,␈↓ β3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βc␈εα,␈↓ βz␈ελx␈↓ ∧T␈εα=␈↓ ¬β␈ελa␈↓ ¬N␈εα,␈↓ ¬e␈ελx␈↓ ε∀␈εα=␈↓ εC␈ελa␈↓ εc␈εα.␈α∂No␈α␈w␈α
if␈ε⊗␈α
h␈↓ π␈␈ελX␈↓ λ*␈ε⊗i␈εα␈α
is␈α
a␈↓ 	π␈ελk␈↓ 	→␈εα-distributed␈↓ 
↑␈ελb␈↓ 
l␈εα-ary
␈β
d␈↓ ↓X␈εn␈↓ ↓j␈ε→␈␈↓ απ␈εk␈↓ α∃␈ε¬+1␈↓ β
␈ε¬1␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≥␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ¬∀␈εk␈↓ ¬#␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬v␈εn␈↓ εT␈εk␈↓ λ_␈εn
␈βα␈↓ ↓H␈εαsequence,␈α	this␈α
rule␈ε⊗␈α	R␈εα(␈↓ ∧⊗␈ελa␈↓ ∧;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧k␈ελa␈↓ ¬␈εα)←which␈α	selects␈α	the␈α
subsequence␈α	consisting␈α	of␈α	those
␈β⊂␈↓ ∧'␈ε¬1␈↓ ∧|␈εk
␈β-␈↓ ↓H␈εαterms␈α
just␈α∞follo␈α␈wing␈α∞an␈α
occurrence␈α∞of␈↓ ε%␈ελa␈↓ εJ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈ελa␈↓ π→␈εα←de|nes␈α∞an␈α∞in|nite␈α
subsequence;
␈β;␈↓ ε6␈ε¬1␈↓ π␈εk
␈βY␈↓ ↓H␈εαand␈α
if␈αthis␈α
subsequence␈α
is␈α
1-distributed,␈α
each␈α
of␈α
the␈α
(␈↓ λ∩␈ελk␈↓ λ,␈εα+␈α	1)-tuples␈↓ 	m␈ελa␈↓ 
∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
C␈ελa␈↓ 
b␈ελa
␈βf␈↓ 	}␈ε¬1␈↓ 
S␈εk␈↓ 
s␈εk␈↓ ↓␈ε¬+1
␈β␈␈↓ π+␈εk␈↓ π:␈ε¬+␈α␈1
␈β∧␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞0␈ε⊗␈α
∀␈↓ αS␈ελa␈↓ β+␈εα<␈↓ β\␈ελb␈↓ βy␈εαoccurs␈α∞with␈α∞probability␈α∞1/␈↓ π≥␈ελb␈↓ πs␈εαin␈ε⊗␈α∞h␈↓ λ+␈ελX␈↓ λV␈ε⊗i␈εα.␈α∩Th␈α␈us␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞pro␈α␈v␈α␈e
␈β⊃␈↓ αc␈εk␈↓ αr␈ε¬+1␈↓ λD␈εn
␈β/␈↓ ↓H␈εαthat␈α
a␈α
sequence␈α
satisfying␈α
De|nition␈α
R5␈α∞is␈↓ εw␈ελk␈↓ π	␈εα-distributed␈α
for␈α
all␈↓ 	:␈ελk␈↓ 	L␈εα,␈α
by␈α
induction
␈βZ␈↓ ↓H␈εαon␈↓ ↓|␈ελk␈↓ α∞␈εα.␈α∪Similarly,␈α∂by␈α∞considering␈α∞the␈α∂\composition"␈α∞of␈α∞subsequence␈α∂rules←if␈↓ ␈ε⊗R
␈βh␈↓ ≡␈ε¬1
␈β
¬␈↓ ↓H␈εαde|nes␈αan␈αin|nite␈αsubsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ¬@␈ελX␈↓ ¬k␈ε⊗i␈↓ ¬w␈ε⊗R␈↓ ε#␈εα,␈α
then␈αw␈α␈e␈αcan␈αde|ne␈↓ λk␈ε⊗R␈↓ 	_␈ε⊗R␈↓ 	P␈εαto␈αbe␈αthe␈αsub-
␈β
∪␈↓ ¬Y␈εn␈↓ ε∃␈ε¬1␈↓ 		␈ε¬1␈↓ 	6␈ε¬2
␈β
1␈↓ ↓H␈εαsequence␈α
rule␈αfor␈α
which␈ε⊗␈αh␈↓ ∧J␈ελX␈↓ ∧u␈ε⊗i␈↓ ¬↓␈ε⊗R␈↓ ¬-␈ε⊗R␈↓ ¬d␈εα=␈α
(␈ε⊗h␈↓ ε*␈ελX␈↓ εT␈ε⊗i␈↓ ε`␈ε⊗R␈↓ π
␈εα)␈↓ π→␈ε⊗R␈↓ πE␈εα←w␈α␈e␈α|nd␈α
that␈αall␈α
subsequences
␈β
>␈↓ ∧c␈εn␈↓ ¬∨␈ε¬1␈↓ ¬K␈ε¬2␈↓ εC␈εn␈↓ ε}␈ε¬1␈↓ π7␈ε¬2
␈β
\␈↓ ↓H␈εαconsidered␈αin␈αDe|nition␈αR5␈αare␈ε⊗␈α1␈εα-distributed.␈α→(See␈αex␈α␈ercise␈α32.)
␈β∞π␈↓ α␈εαThe␈α∞fact␈α
that␈ε⊗␈α∞1␈εα-distribution␈α∞comes␈α∞out␈α
of␈α∞De|nition␈α∞R5␈α
as␈α∞a␈α∞v␈α␈ery␈α
special
␈β∞2␈↓ ↓H␈εαcase␈αλis␈α	encouraging,␈α	and␈αλit␈α	is␈αλa␈α	good␈αλindication␈α	that␈αλw␈α␈e␈α	may␈αλat␈α	last␈αλhav␈α␈e␈α	found␈αλthe
␈β∞]␈↓ ↓H␈εαde|nition␈α
of␈α
randomness␈α
w␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
been␈α
seeking.␈αBut␈α
alas,␈α
there␈αstill␈α
is␈α
a␈α
problem.
␈β∂	␈↓ ↓H␈εαIt␈α
is␈α
not␈α
clear␈α
that␈α
sequences␈α
satisfying␈α
De|nition␈α
R5␈α	m␈α␈ust␈α
satisfy␈α
De|nition␈α
R4.
␈β∂4␈↓ ↓H␈εαThe␈α∂\computable␈α∞subsequence␈α∂rules"␈α∂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α∂just␈α∂speci|ed␈α∂always␈α∞en␈α␈umerate
␈β∂←␈↓ ↓H␈εαsubsequences␈ε⊗␈απh␈↓ β'␈ελX␈↓ βZ␈ε⊗i␈εα␈αλfor␈απwhich␈↓ ¬¬␈ελs␈↓ ¬)␈εα<␈↓ ¬W␈ελs␈↓ ¬|␈εα<␈↓ ε*␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εZ␈εα,␈αλbut␈ε⊗␈αλh␈↓ π6␈ελs␈↓ πT␈ε⊗i␈εα␈απdoes␈αλnot␈αλhav␈α␈e␈απto␈αλbe␈απmonotone
␈β∂l␈↓ β@␈εs␈↓ ¬⊃␈ε¬0␈↓ ¬c␈ε¬1␈↓ πB␈εn
␈β∂u␈↓ βK␈ε
n
␈β⊂
␈↓ ↓H␈εαin␈αR4;␈αit␈αm␈α␈ust␈αonly␈αsatisfy␈αthe␈αcondition␈↓ εP␈ελs␈↓ εx␈ε⊗≤␈↓ π&␈ελs␈↓ πW␈εαfor␈↓ λ∂␈ελn␈↓ λ/␈ε⊗≤␈↓ λ]␈ελm␈↓ λ⎇␈εα.
␈β⊂_␈↓ ε\␈εn␈↓ π2␈εm
␈β⊂5␈↓ α␈εαTo␈αmeet␈αthis␈αobjection,␈αw␈α␈e␈αmay␈αcom␈α␈bine␈αDe|nitions␈αR4␈αand␈αR5␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈α	R6.␈ε∂␈α⊃A␈↓ βX␈ελb␈↓ βg␈ε∂-ary␈α	sequence␈ε⊗␈α	h␈↓ ¬M␈ελX␈↓ ¬w␈ε⊗i␈ε∂␈α	is␈α	said␈α	to␈α	be␈α	\random"␈α	if,␈α
for␈α	ev␈α␈ery␈αλe{ectiv␈α␈e
␈β⊂|␈↓ ¬f␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∂algorithm␈αthat␈αspeci|es␈αan␈αin|nite␈αsequence␈αof␈αdistinct␈αnonnegativ␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈ε⊗␈αh␈↓ β␈ελs␈↓  ␈ε⊗i
␈β⊃(␈↓ ∂␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα155
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∂as␈α
a␈α
function␈α∞of␈↓ βO␈ελn␈↓ βr␈ε∂and␈α
the␈α∞values␈α
of␈↓ ε∪␈ελX␈↓ εB␈ε∂,␈↓ εZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π
␈ε∂,␈↓ π!␈ελX␈↓ πv␈ε∂,␈α∞the␈α
subsequence␈ε⊗␈α
h␈↓ 
$␈ελX␈↓ 
W␈ε⊗i␈ε∂␈α
cor-
␈βα4␈↓ ε,␈εs␈↓ π:␈εs␈↓ 
=␈εs
␈βα<␈↓ ε7␈επ0␈↓ πE␈ε
n␈↓ πT␈ε≠␈␈επ1␈↓ 
H␈ε
n
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂responding␈αto␈αthis␈αalgorithm␈αis␈α\random"␈αin␈αthe␈αsense␈αof␈αDe|nition␈αR5.
␈ββ∧␈↓ α␈ε∂A␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈α
sequence␈ε⊗␈αh␈↓ ∧*␈ελU␈↓ ∧S␈ε⊗i␈ε∂␈αis␈α
said␈αto␈αbe␈α\random"␈α
if␈αthe␈↓ λ3␈ελb␈↓ λA␈ε∂-ary␈αsequence␈ε⊗␈α
hb␈↓ 
8␈ελb␈↓ 
G␈ελU␈↓ 
p␈ε⊗ci␈ε∂␈α
is
␈ββ⊃␈↓ ∧A␈εn␈↓ 
↑␈εn
␈ββ/␈↓ ↓H␈ε∂\random"␈αfor␈αall␈αin␈α␈tegers␈↓ ∧←␈ελb␈↓ ∧w␈ε⊗∃␈εα␈α
2␈ε∂.
␈ββi␈↓ α␈εαThe␈αauthor␈αcon␈α␈tends*␈αthat␈αthis␈αde|nition␈αsurely␈αmeets␈αall␈αreasonable␈αphilo-
␈β∧∀␈↓ ↓H␈εαsophical␈αrequiremen␈α␈ts␈αfor␈α
randomness,␈αso␈αit␈α
pro␈α␈vides␈αan␈αansw␈α␈er␈α
to␈αthe␈αprincipal
␈β∧?␈↓ ↓H␈εαquestion␈αposed␈αin␈αthis␈αsection.
␈β∧y␈↓ ↓H␈ε∩D.␈αλExistence␈αλof␈αλrandom␈α	sequences.␈εα␈α⊂We␈αλhav␈α␈e␈αλseen␈αλthat␈α	De|nition␈αλR3␈αλis␈αλtoo␈αλstrong,
␈β¬$␈↓ ↓H␈εαin␈α⊂the␈α⊂sense␈α⊃that␈α⊂no␈α⊃sequences␈α⊂could␈α⊂exist␈α⊃satisfying␈α⊂that␈α⊂de|nition;␈α∪and␈α⊂the
␈β¬O␈↓ ↓H␈εαform␈α␈ulation␈αof␈αDe|nitions␈αR4,␈αR5,␈αand␈αR6␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αwas␈αcarried␈αout␈αin␈αan␈αattempt
␈β¬z␈↓ ↓H␈εαto␈αrecapture␈αthe␈αessen␈α␈tial␈αcharacteristics␈αof␈αDe|nition␈αR3.␈αIn␈αorder␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat
␈βε&␈↓ ↓H␈εαDe|nition␈α∞R6␈α∞is␈α∞not␈α∞o␈α␈v␈α␈erly␈α∞restrictiv␈α␈e,␈α∞it␈α∞is␈α∞still␈α∞necessary␈α∞for␈α∞us␈α∞to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∞that
␈βεQ␈↓ ↓H␈εαsequences␈α
satisfying␈α
all␈α
these␈α
conditions␈αexist.␈αIn␈α␈tuitiv␈α␈ely,␈αw␈α␈e␈α
feel␈α
quite␈α
sure␈α
that
␈βε|␈↓ ↓H␈εαsuch␈α	sequences␈α
exist,␈α
because␈α
w␈α␈e␈α
believ␈α␈e␈α	that␈α
a␈α
truly␈α	random␈α
sequence␈α
exists␈α	and
␈βπ'␈↓ ↓H␈εαsatis|es␈α
De|nition␈α
R6;␈αbut␈αa␈α
proof␈α
is␈α
really␈αnecessary␈α
to␈α
sho␈α␈w␈αthat␈α
the␈α
de|nition
␈βπR␈↓ ↓H␈εαis␈αconsisten␈α␈t.
␈βπ}␈↓ α␈εαAn␈απin␈α␈teresting␈απmethod␈αλfor␈απconstructing␈απsequences␈απsatisfying␈απDe|nition␈απR5␈απhas
␈βλ)␈↓ ↓H␈εαbeen␈α
giv␈α␈en␈α
by␈αA.␈α
Wald.␈αThe␈αconstruction␈α
starts␈α
with␈αa␈α
v␈α␈ery␈α
simple␈α
1-distributed
␈βλT␈↓ ↓H␈εαsequence:
␈β	∞␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈α∂T.␈ε∂␈α∨Let␈α⊂the␈α∂sequence␈α∂of␈α⊂real␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈ε⊗␈α∂h␈↓ πD␈ελV␈↓ πj␈ε⊗i␈ε∂␈α⊂be␈α∂de|ned␈α∂in␈α⊂terms␈α∂of␈α∂the
␈β	≠␈↓ πX␈εn
␈β	9␈↓ ↓H␈ε∂binary␈αsystem␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β	x␈↓ ↓d␈ελV␈↓ α⊂␈εα=␈α
0,␈↓ β(␈ελV␈↓ βU␈εα=␈α
.1,␈↓ ∧w␈ελV␈↓ ¬#␈εα=␈α
.01,␈↓ εW␈ελV␈↓ π∧␈εα=␈α
.11,␈↓ λ8␈ελV␈↓ λd␈εα=␈α
.001,␈↓ 
*␈εα.␈αε.␈αε.
␈β
¬␈↓ ↓x␈ε¬0␈↓ β<␈ε¬1␈↓ ¬␈ε¬2␈↓ εk␈ε¬3␈↓ λL␈ε¬4
␈β
(␈↓ ¬∪␈εr␈↓ εα␈εr␈↓ ε∂␈ε→␈␈ε¬1
␈β
.␈↓ ↓d␈ελV␈↓ α∀␈εα=␈α
.␈↓ αL␈ελc␈↓ αl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β≤␈ελc␈↓ β8␈εα1␈↓ ∧∩␈ε∂if␈↓ ∧4␈ελn␈↓ ∧S␈εα=␈↓ ¬↓␈εα2␈↓ ¬)␈εα+␈↓ ¬U␈ελc␈↓ ¬p␈εα2␈↓ εC␈εα+␈↓ εo␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π!␈εα+␈↓ πM␈ελc␈↓ πg␈εα.␈↓ 
p␈εα(29)
␈β
;␈↓ ↓x␈εn␈↓ αY␈εr␈↓ β)␈ε¬1␈↓ ¬b␈ε¬1␈↓ πZ␈εr
␈β
t␈↓ ↓H␈ε∂Let␈↓ αλ␈ελI␈↓ αc␈ε∂denote␈α
the␈α
set␈α
of␈αall␈α
real␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂␈α
whose␈α
binary␈α
represen␈α␈tation
␈β↓␈↓ α∪␈εb␈↓ α)␈ε¬...␈↓ αA␈εb
␈β
␈↓ α≡␈επ1␈↓ αM␈ε
r
␈β∨␈↓ ↓H␈ε∂begins␈αwith␈εα␈α0.␈↓ β$␈ελb␈↓ βE␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βu␈ελb␈↓ ∧∂␈ε∂;␈αth␈α␈us
␈β-␈↓ β1␈ε¬1␈↓ ∧α␈εr
␈β←␈↓ λ?␈ε→␈␈↓ λ\␈εr
␈βf␈↓ βu␈ελI␈↓ ∧O␈εα=␈α
[(0.␈↓ ¬/␈ελb␈↓ ¬P␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈ελb␈↓ ε≠␈εα)␈↓ ε5␈εα,␈α(0.␈↓ εs␈ελb␈↓ π∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πE␈ελb␈↓ π←␈εα)␈↓ λ↓␈εα+␈↓ λ-␈εα2␈↓ λi␈εα).␈↓ 
p␈εα(30)
␈βs␈↓ ∧␈εb␈↓ ∧⊗␈ε¬...␈↓ ∧.␈εb␈↓ ¬<␈ε¬1␈↓ ε
␈εr␈↓ ε'␈ε¬2␈↓ π␈ε¬1␈↓ πR␈εr␈↓ πk␈ε¬2
␈β|␈↓ ∧␈επ1␈↓ ∧9␈ε
r
␈β,␈↓ ↓H␈ε∂Then␈αif␈↓ αH␈ελ↔␈↓ αY␈εα(␈↓ αe␈ελn␈↓ αz␈εα)␈ε∂␈αdenotes␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈↓ ¬}␈ελV␈↓ ε-␈ε∂in␈↓ εW␈ελI␈↓ π3␈ε∂for␈εα␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ5␈ελk␈↓ λQ␈εα<␈↓ λ␈␈ελn␈↓ 	∃␈ε∂,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β9␈↓ ε∩␈εk␈↓ εb␈εb␈↓ εx␈ε¬...␈↓ π⊂␈εb
␈βB␈↓ εm␈επ1␈↓ π≠␈ε
r
␈βl␈↓ εC␈ε→␈␈↓ ε`␈εr
␈βr␈↓ ¬↓␈ε⊗j␈↓ ¬␈ελ↔␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελn␈↓ ¬>␈εα)/␈↓ ¬\␈ελn␈↓ ¬␈␈ε⊗␈␈↓ ε1␈εα2␈↓ εm␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
1/␈↓ πS␈ελn␈↓ πi␈εα.␈↓ 
p␈εα(31)
␈β
4␈↓ λ8␈εr
␈β
9␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≤Since␈↓ β!␈ελ↔␈↓ β2␈εα(␈↓ β>␈ελn␈↓ βT␈εα)␈α∞is␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈↓ εα␈ελk␈↓ ε!␈εαfor␈α∞which␈↓ πD␈ελk␈↓ π\␈εαmod␈↓ λ&␈εα2␈↓ λR␈εα=␈α
(␈↓ 	∂␈ελb␈↓ 	/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	←␈ελb␈↓ 	z␈εα)␈↓ 
∃␈εα,␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e
␈β
F␈↓ 	≤␈εr␈↓ 	l␈ε¬1␈↓ 
ε␈ε¬2
␈β
←␈↓ ¬λ␈εr␈↓ λ∨␈εr
␈β
d␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελn␈↓ ↓z␈εα)␈α
=␈↓ α>␈ελt␈↓ αW␈εαor␈↓ ββ␈ελt␈↓ β_␈εα+␈αλ1␈αwhen␈ε⊗␈αb␈↓ ∧N␈ελn␈↓ ∧d␈εα/␈↓ ∧v␈εα2␈↓ ¬∃␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ ¬[␈ελt␈↓ ¬h␈εα.␈αHence␈ε⊗␈αj␈↓ εr␈ελ↔␈↓ πβ␈εα(␈↓ π∂␈ελn␈↓ π%␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πe␈ελn␈↓ π{␈εα/␈↓ λ
␈εα2␈↓ λ,␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
1.
␈β
i␈↓ 	2␈∧
i	2≠∂
␈β∞_␈↓ π∨␈εr␈↓ 
←␈εr
␈β∞≡␈↓ α␈εαIt␈α∞follo␈α␈ws␈α
from␈α∞(31)␈α∞that␈α∞the␈α
sequence␈ε⊗␈α∞hb␈↓ π
␈εα2␈↓ π,␈ελV␈↓ πR␈ε⊗ci␈εα␈α∞is␈α∞an␈α
equidistributed␈↓ 
M␈εα2␈↓ 
l␈εα-ary
␈β∞+␈↓ π@␈εn
␈β∞I␈↓ ↓H␈εαsequence;␈α
hence␈α	by␈α	Theorem␈α	A␈↓ ¬%␈εα,␈ε⊗␈α	h␈↓ ¬D␈ελV␈↓ ¬j␈ε⊗i␈εα␈α	is␈α	an␈α	equidistributed␈α	[␈αε0,␈αε1)␈α	sequence.␈αIndeed,
␈β∞V␈↓ ¬X␈εn
␈β∞t␈↓ ↓H␈εαit␈α
is␈αpretty␈α
clear␈α
that␈ε⊗␈αh␈↓ ∧&␈ελV␈↓ ∧L␈ε⊗i␈εα␈α
is␈αabout␈α
as␈αequidistributed␈α
as␈αa␈α
[␈αε0,␈αε1)␈αsequence␈α
can␈α
be.
␈β∂↓␈↓ ∧:␈εn
␈β∂∨␈↓ ↓H␈εα(For␈αfurther␈αdiscussion␈α
of␈αthis␈αand␈α
related␈αsequences,␈α
see␈αJ.␈αC.␈α
van␈αder␈αCorput,
␈β∂J␈↓ ↓H␈ε∂Proc.␈α
Koninklijk␈α␈e␈αNederl.␈αAkad.␈α
Wetenschappen␈ε∩␈α38␈εα␈α(1935),␈α813↑821,␈α
1058↑1066;
␈β∂v␈↓ ↓H␈εαJ.␈αλH.␈α	Halton,␈ε∂␈α	Numerische␈αλMath.␈ε∩␈α	2␈εα␈αλ(1960),␈α	84↑90,␈α	196;␈α
L.␈αλH.␈α	Ramshaw,␈α	to␈αλappear.)
␈β⊂!␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈απlet␈↓ β	␈ε⊗R␈↓ β6␈εα,␈↓ βH␈ε⊗R␈↓ βt␈εα,␈↓ ∧π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧8␈εαbe␈απin|nitely␈απman␈α␈y␈αλsubsequence␈απrules;␈α	w␈α␈e␈απw␈α␈ould␈απlik␈α␈e␈απto␈απ|nd
␈β⊂.␈↓ β'␈ε¬1␈↓ βf␈ε¬2
␈β⊂L␈↓ ↓H␈εαa␈αλsequence␈ε⊗␈α	h␈↓ α␈␈ελU␈↓ β(␈ε⊗i␈εα␈αλfor␈α	which␈αλall␈α	the␈αλin|nite␈α	subsequences␈ε⊗␈αλh␈↓ λ∃␈ελU␈↓ λ>␈ε⊗i␈↓ λJ␈ε⊗R␈↓ λ}␈εαare␈αλequidistributed.
␈β⊂Y␈↓ β⊗␈εn␈↓ λ,␈εn␈↓ λh␈εj
␈β⊂{␈↓ ↓H␈∧⊂{↓Hα↓X
␈β⊃λ␈↓ ↓H␈ε∧*At␈α	le␈α␈a␈α↓s␈α␈t,␈α	he␈α	m␈α␈a␈α↓de␈αλsuch␈α	a␈α
c␈α␈o␈α↓n␈α␈te␈α␈n␈α␈tion␈α	when␈α	original␈α␈ly␈α	pre␈α␈pa␈α↓ri␈α␈ng␈α
the␈αλmateri␈α␈al␈α	for␈α
t␈α␈his␈α	se␈α␈cti␈α␈o␈α↓n␈α	i␈α␈n
␈β⊃(␈↓ ↓H␈ε∧196␈α↓6.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα156␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αW␈εα␈α(␈ε∂Wald␈αsequence␈εα)␈ε∩.␈εα␈α→Giv␈α␈en␈αan␈αin|nite␈αsequence␈αof␈αsubsequence␈αrules
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε⊗R␈↓ ↓t␈εα,␈↓ α␈ε⊗R␈↓ α8␈εα,␈↓ αO␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α␈␈εα,␈α
which␈α
de|ne␈α
subsequences␈α
of␈α
[␈αε0,␈αε1)␈α
sequences␈α
of␈α
rational␈α
n␈α␈um␈α␈bers,
␈βα←␈↓ ↓f␈ε¬1␈↓ α)␈ε¬2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαthis␈α
procedure␈α
de|nes␈α	a␈α
[␈αε0,␈αε1)␈α
sequence␈ε⊗␈α
h␈↓ ε7␈ελU␈↓ ε`␈ε⊗i␈εα.␈αThe␈α
computation␈α	in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α
in|nitely
␈ββ
␈↓ εN␈εn
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈α∞auxiliary␈α
variables␈↓ ∧`␈ελC␈↓ ∧}␈εα[␈↓ ¬λ␈ελa␈↓ ¬'␈εα,␈↓ ¬7␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬g␈εα,␈↓ ¬w␈ελa␈↓ ε∃␈εα]␈α∞where␈↓ π↔␈ελr␈↓ π4␈ε⊗∃␈εα␈α
1␈α∞and␈α∞where␈↓ 	6␈ελa␈↓ 	b␈εα=␈α
0␈α∞or␈α∞1␈α
for
␈ββ5␈↓ ¬_␈ε¬1␈↓ ελ␈εr␈↓ 	G␈εj
␈ββS␈↓ ↓H␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελj␈↓ α,␈ε⊗∀␈↓ αZ␈ελr␈↓ αj␈εα.␈αThese␈αvariables␈αare␈αinitially␈αall␈αzero.
␈β∧␈↓ ↓@␈ε∩W1.␈↓ α␈εα[Initialize␈↓ β*␈ελn␈↓ β@␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧+␈ελn␈↓ ∧K␈ε⊗ ␈εα␈α
0.
␈β∧D␈↓ ↓@␈ε∩W2.␈↓ α␈εα[Initialize␈↓ β*␈ελr␈↓ β:␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧%␈ελr␈↓ ∧?␈ε⊗ ␈εα␈α
1.
␈β∧⎇␈↓ ↓@␈ε∩W3.␈↓ α␈εα[Test␈↓ αe␈ε⊗R␈↓ β⊃␈εα.]␈α∩If␈α
the␈α	elemen␈α␈t␈↓ ¬⊗␈ελU␈↓ ¬I␈εαis␈α	to␈α	be␈α
in␈α	the␈α	subsequence␈α
de|ned␈α	by␈↓ 
∃␈ε⊗R␈↓ 
A␈εα,␈α	based
␈β¬
␈↓ ββ␈εr␈↓ ¬-␈εn␈↓ 
3␈εr
␈β¬(␈↓ α␈εαon␈αthe␈αvalues␈αof␈↓ ∧∀␈ελU␈↓ ∧F␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬H␈ελk␈↓ ¬c␈εα<␈↓ ε⊃␈ελn␈↓ ε'␈εα,␈αset␈↓ εu␈ελa␈↓ π≥␈ε⊗ ␈εα␈α
1;␈αotherwise␈αset␈↓ 	K␈ελa␈↓ 	s␈ε⊗ ␈εα␈α
0.
␈β¬6␈↓ ∧+␈εk␈↓ πε␈εr␈↓ 	\␈εr
␈β¬\␈↓ π→␈εr␈↓ π'␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β¬a␈↓ ↓@␈ε∩W4.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελB␈↓ α.␈εα[␈↓ α8␈ελa␈↓ αW␈εα,␈↓ αg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β↔␈εα,␈↓ β'␈ελa␈↓ βF␈εα]␈↓ β\␈εαfull?]␈α→If␈↓ ∧e␈ελC␈↓ ¬α␈εα[␈↓ ¬␈ελa␈↓ ¬+␈εα,␈↓ ¬;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬k␈εα,␈↓ ¬{␈ελa␈↓ ε→␈εα]␈α
<␈α
3␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ππ␈εα4␈↓ πR␈εα,␈αgo␈αto␈αW6.
␈β¬n␈↓ αI␈ε¬1␈↓ β8␈εr␈↓ ¬≥␈ε¬1␈↓ ε␈εr
␈βε~␈↓ ↓@␈ε∩W5.␈↓ α␈εα[Increase␈↓ β ␈ελr␈↓ β0␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧≠␈ελr␈↓ ∧5␈ε⊗ ␈↓ ∧c␈ελr␈↓ ∧{␈εα+␈αλ1␈αand␈αreturn␈αto␈αW3.
␈βεR␈↓ ↓@␈ε∩W6.␈↓ α␈εα[Set␈↓ αO␈ελU␈↓ αx␈εα.]␈α∂Increase␈↓ ∧ ␈ελC␈↓ ∧=␈εα[␈↓ ∧G␈ελa␈↓ ∧f␈εα,␈↓ ∧v␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈ελa␈↓ ¬U␈εα]␈απby␈απ1␈αλand␈απlet␈↓ π ␈ελk␈↓ π9␈εαbe␈απthe␈αλnew␈απvalue␈απof␈↓ 	d␈ελC␈↓ 
↓␈εα[␈↓ 
␈ελa␈↓ 
*␈εα,␈↓ 
:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
j␈εα,␈↓ 
z␈ελa␈↓ _␈εα].
␈βε`␈↓ αf␈εn␈↓ ∧X␈ε¬1␈↓ ¬G␈εr␈↓ 
≤␈ε¬1␈↓ ␈εr
␈βε}␈↓ α␈εαSet␈↓ αJ␈ελU␈↓ α⎇␈ε⊗ ␈↓ β+␈ελV␈↓ βM␈εα,␈αwhere␈↓ ∧K␈ελV␈↓ ∧z␈εαis␈αde|ned␈αin␈αLemma␈αT␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈βπ␈↓ αa␈εn␈↓ β?␈εk␈↓ ∧←␈εk
␈βπ6␈↓ ↓@␈ε∩W7.␈↓ α␈εα[Advance␈↓ β*␈ελn␈↓ β@␈εα.]␈α→Increase␈↓ ∧w␈ελn␈↓ ¬→␈εαby␈α1␈αand␈αreturn␈αto␈αW2.
␈βπ;␈↓ λ2␈∧π;λ2≠∂
␈βπ|␈↓ α␈εαStrictly␈αλspeaking,␈αλthis␈αλis␈αλnot␈απan␈αλalgorithm,␈α	since␈απit␈αλdoesn't␈αλterminate;␈α	it␈απw␈α␈ould
␈βλ'␈↓ ↓H␈εαof␈αcourse␈αbe␈α
easy␈αto␈αmodify␈αthe␈αprocedure␈αto␈αstop␈αwhen␈↓ λ6␈ελn␈↓ λW␈εαreaches␈αa␈α
giv␈α␈en␈αvalue.
␈βλR␈↓ ↓H␈εαThe␈α
reader␈α
will␈α
|nd␈α
it␈α∞easier␈α
to␈α
grasp␈α
the␈α
idea␈α
of␈α∞the␈α
construction␈α
if␈α
he␈α
tries␈α
it
␈βλx␈↓ ¬l␈εr␈↓ ¬y␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ'␈εr
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εαby␈α
hand,␈αreplacing␈α
the␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
3␈ε⊗␈αε↓␈↓ ¬Z␈εα4␈↓ ε/␈εαof␈α
step␈αW4␈α
by␈↓ λ∃␈εα2␈↓ λ?␈εαduring␈α
this␈α
experimen␈α␈t.
␈β	)␈↓ α␈εαAlgorithm␈αW␈αis␈αnot␈αmean␈α␈t␈αto␈αbe␈αa␈αpractical␈αsource␈αof␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers;␈αit␈αis
␈β	T␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tended␈αto␈αserv␈α␈e␈αonly␈αa␈αtheoretical␈αpurpose:
␈β
~␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
W.␈ε∂␈α∀Let␈ε⊗␈α
h␈↓ βl␈ελU␈↓ ∧∃␈ε⊗i␈ε∂␈α
be␈α
the␈α
sequence␈α
of␈α
rational␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
de|ned␈α	by␈α
Algorithm
␈β
'␈↓ ∧β␈εn
␈β
E␈↓ ↓H␈ε∂W␈↓ ↓l␈ε∂,␈αand␈α
let␈↓ α}␈ελk␈↓ β≤␈ε∂be␈α
a␈αpositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teger.␈α∞If␈αthe␈α
subsequence␈ε⊗␈α
h␈↓ λ.␈ελU␈↓ λW␈ε⊗i␈↓ λc␈ε⊗R␈↓ 	≤␈ε∂is␈αin|nite,␈α
it␈α
is␈εα␈α1␈ε∂-
␈β
S␈↓ λE␈εn␈↓ 	↓␈εk
␈β
p␈↓ ↓H␈ε∂distributed.
␈β:␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∪Let␈↓ αx␈ελA␈↓ β⊂␈εα[␈↓ β~␈ελa␈↓ β9␈εα,␈↓ βI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βy␈εα,␈↓ ∧	␈ελa␈↓ ∧'␈εα]␈α
denote␈α	the␈α
(possibly␈α	empty)␈α	subsequence␈α
of␈ε⊗␈α	h␈↓ 	o␈ελU␈↓ 
_␈ε⊗i␈εα␈α	con␈α␈tain-
␈βG␈↓ β+␈ε¬1␈↓ ∧~␈εr␈↓ 
ε␈εn
␈βe␈↓ ↓H␈εαing␈α
precisely␈α
those␈α
elemen␈α␈ts␈↓ ¬↓␈ελU␈↓ ¬4␈εαthat,␈αfor␈α
all␈↓ εq␈ελj␈↓ π␈ε⊗∀␈↓ π:␈ελr␈↓ πI␈εα,␈αbelong␈α
to␈α
subsequence␈ε⊗␈α
h␈↓ 
L␈ελU␈↓ 
u␈ε⊗i␈↓ ↓␈ε⊗R
␈βr␈↓ ¬_␈εn␈↓ 
c␈εn␈↓ ∨␈εj
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓j␈ελa␈↓ α∩␈εα=␈α
1␈αand␈αdo␈αnot␈αbelong␈αto␈αsubsequence␈ε⊗␈αh␈↓ π
␈ελU␈↓ π3␈ε⊗i␈↓ π?␈ε⊗R␈↓ πv␈εαif␈↓ λ_␈ελa␈↓ λ@␈εα=␈α
0.
␈β≡␈↓ ↓z␈εj␈↓ π!␈εn␈↓ π]␈εj␈↓ λ)␈εj
␈β<␈↓ α␈εαIt␈α
su}ces␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e,␈α
for␈α
all␈↓ ¬"␈ελr␈↓ ¬<␈ε⊗∃␈εα␈α
1␈α
and␈α
all␈α
pairs␈α	of␈α
binary␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈↓ 	u␈ελa␈↓ 
~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
J␈ελa␈↓ 
r␈εαand
␈βI␈↓ 
ε␈ε¬1␈↓ 
[␈εr
␈βb␈↓ ¬B␈ε→␈␈↓ ¬←␈εr
␈βg␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓i␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α→␈ελb␈↓ α3␈εα,␈α
that␈↓ β∪␈εαPr␈↓ β7␈εα(␈↓ βC␈ελU␈↓ βv␈ε⊗2␈↓ ∧≤␈ελI␈↓ ∧l␈εα)␈α
=␈↓ ¬0␈εα2␈↓ ¬v␈εαwith␈α	respect␈α
to␈α	the␈α
subsequence␈↓ 	i␈ελA␈↓ 
↓␈εα[␈↓ 
␈ελa␈↓ 
*␈εα,␈↓ 
:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
j␈εα,␈↓ 
z␈ελa␈↓ _␈εα],
␈βs␈↓ ¬-␈ε↓␈␈↓ π␈ε↓↓
␈βu␈↓ ↓U␈ε¬1␈↓ α&␈εr␈↓ βZ␈εn␈↓ ∧'␈εb␈↓ ∧=␈ε¬...␈↓ ∧U␈εb␈↓ 
≤␈ε¬1␈↓ ␈εr
␈β⎇␈↓ ∧2␈επ1␈↓ ∧`␈ε
r
␈β
∩␈↓ ↓H␈εαwhenev␈α␈er␈αthe␈αlatter␈αis␈αin|nite.␈↓ ¬;␈εαSee␈αEq.␈α(30).␈↓ π→␈εαFor␈αif␈↓ π}␈ελr␈↓ λ_␈ε⊗∃␈↓ λF␈ελk␈↓ λX␈εα,␈αthe␈αin|nite␈αsequence
␈β
>␈↓ ↓H␈ε⊗h␈↓ ↓T␈ελU␈↓ ↓⎇␈ε⊗i␈↓ α	␈ε⊗R␈↓ α>␈εαis␈α	the␈α	|nite␈α	union␈α	of␈α	the␈α	disjoin␈α␈t␈α	subsequences␈↓ λ	␈ελA␈↓ λ!␈εα[␈↓ λ+␈ελa␈↓ λJ␈εα,␈↓ λZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	
␈εα,␈↓ 	~␈ελa␈↓ 	8␈εα]␈α	for␈↓ 
␈ελa␈↓ 
)␈εα=␈α
1␈α	and
␈β
K␈↓ ↓k␈εn␈↓ α'␈εk␈↓ λ<␈ε¬1␈↓ 	+␈εr␈↓ 
⊃␈εk
␈β
d␈↓ 
2␈ε→␈␈↓ 
O␈εr
␈β
i␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓p␈εα=␈α
0␈α
or␈α
1␈α
for␈α
1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧␈ελj␈↓ ∧~␈ε⊗∀␈↓ ∧H␈ελr␈↓ ∧X␈εα,␈↓ ∧m␈ελj␈↓ ¬π␈ε⊗≤␈↓ ¬5␈ελk␈↓ ¬G␈εα;␈αand␈α
it␈α
follo␈α␈ws␈α
that␈↓ λβ␈εαPr␈↓ λ'␈εα(␈↓ λ3␈ελU␈↓ λf␈ε⊗2␈↓ 	␈ελI␈↓ 	\␈εα)␈α
=␈↓ 
 ␈εα2␈↓ 
f␈εαwith
␈β
v␈↓ ↓X␈εj␈↓ λJ␈εn␈↓ 	↔␈εb␈↓ 	-␈ε¬...␈↓ 	E␈εb
␈β
␈␈↓ 	"␈επ1␈↓ 	P␈ε
r
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εαrespect␈αto␈ε⊗␈αh␈↓ αz␈ελU␈↓ β"␈ε⊗i␈↓ β.␈ε⊗R␈↓ β[␈εα.␈α→(See␈αex␈α␈ercise␈α33.)␈α→This␈αis␈αenough␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthe␈αsequence
␈β∞!␈↓ β⊃␈εn␈↓ βL␈εk
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαis␈α1-distributed,␈αby␈αTheorem␈αA.
␈β∞k␈↓ α␈εαLet␈↓ αJ␈ελB␈↓ αb␈εα[␈↓ αl␈ελa␈↓ β␈εα,␈↓ β≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βL␈εα,␈↓ β\␈ελa␈↓ βz␈εα]␈αλdenote␈αλthe␈αλsubsequence␈αλof␈ε⊗␈α	h␈↓ π/␈ελU␈↓ πW␈ε⊗i␈εα␈α	that␈αλconsists␈αλof␈αλthe␈αλvalues␈αλfor
␈β∞y␈↓ α⎇␈ε¬1␈↓ βl␈εr␈↓ πF␈εn
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαthose␈↓ α#␈ελn␈↓ αB␈εαin␈α	which␈↓ βN␈ελC␈↓ βl␈εα[␈↓ βv␈ελa␈↓ ∧∃␈εα,␈↓ ∧%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧U␈εα,␈↓ ∧e␈ελa␈↓ ¬β␈εα]␈α	is␈α	increased␈α
by␈α	one␈α	in␈α	step␈α
W6␈α	of␈α	the␈α	algorithm.␈αBy
␈β∂$␈↓ ∧ε␈ε¬1␈↓ ∧v␈εr
␈β∂<␈↓ 	 ␈εr␈↓ 	.␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαthe␈α	algorithm,␈↓ β/␈ελB␈↓ βG␈εα[␈↓ βQ␈ελa␈↓ βq␈εα,␈↓ ∧↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧1␈εα,␈↓ ∧A␈ελa␈↓ ∧←␈εα]␈α	is␈α
a␈α	|nite␈α
sequence␈α	with␈α
at␈α	most␈α
3␈ε⊗␈α¬↓␈↓ 	∞␈εα4␈↓ 	b␈εαelemen␈α␈ts.␈αAll
␈β∂O␈↓ βb␈ε¬1␈↓ ∧Q␈εr
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαbut␈αa␈α|nite␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αthe␈αmem␈α␈bers␈αof␈↓ ε,␈ελA␈↓ εD␈εα[␈↓ εN␈ελa␈↓ εm␈εα,␈↓ ε⎇␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π-␈εα,␈↓ π=␈ελa␈↓ π\␈εα]␈αcome␈αfrom␈αthe␈αsubsequences
␈β∂z␈↓ ε←␈ε¬1␈↓ πN␈εr
␈β⊂_␈↓ ↓H␈ελB␈↓ ↓`␈εα[␈↓ ↓j␈ελa␈↓ α	␈εα,␈↓ α→␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αI␈εα,␈↓ αY␈ελa␈↓ αw␈εα,␈↓ βπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β7␈εα,␈↓ βG␈ελa␈↓ βb␈εα],␈αwhere␈↓ ∧j␈ελa␈↓ ¬∩␈εα=␈α
0␈αor␈α1␈αfor␈↓ ε`␈ελr␈↓ εz␈εα<␈↓ π(␈ελj␈↓ πC␈ε⊗∀␈↓ πq␈ελt␈↓ π}␈εα.
␈β⊂%␈↓ ↓{␈ε¬1␈↓ αj␈εr␈↓ βX␈εt␈↓ ∧{␈εj
␈β⊂D␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αassume␈αthat␈↓ ∧'␈ελA␈↓ ∧?␈εα[␈↓ ∧I␈ελa␈↓ ∧h␈εα,␈↓ ∧x␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬(␈εα,␈↓ ¬8␈ελa␈↓ ¬V␈εα]␈αis␈αin|nite,␈αand␈αlet␈↓ λ␈ελA␈↓ λ#␈εα[␈↓ λ-␈ελa␈↓ λL␈εα,␈↓ λ\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	␈εα,␈↓ 	≤␈ελa␈↓ 	:␈εα]␈α
=␈ε⊗␈α
h␈↓ 
λ␈ελU␈↓ 
9␈ε⊗i␈εα␈αwhere
␈β⊂Q␈↓ ∧Z␈ε¬1␈↓ ¬I␈εr␈↓ λ>␈ε¬1␈↓ 	-␈εr␈↓ 
∨␈εs
␈β⊂Z␈↓ 
*␈ε
n
␈β⊂j␈↓ πJ␈εr␈↓ λ!␈εq␈↓ 	R␈εq␈↓ 	←␈ε¬+1
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ελs␈↓ ↓l␈εα<␈↓ α~␈ελs␈↓ α>␈εα<␈↓ αl␈ελs␈↓ β⊃␈ε⊗∀␈↓ β?␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βo␈εα.␈αIf␈↓ ∧'␈ελN␈↓ ∧S␈εαis␈α
a␈α
large␈αin␈α␈teger,␈α
with␈↓ π8␈εα4␈↓ πa␈ε⊗∀␈↓ λ∂␈εα4␈↓ λ8␈εα<␈↓ λf␈ελN␈↓ 	∩␈ε⊗∀␈↓ 	@␈εα4␈↓ 

␈εα,␈αit␈α
follo␈α␈ws
␈β⊂|␈↓ ↓T␈ε¬0␈↓ α&␈ε¬1␈↓ αx␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαthat␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	values␈α	of␈↓ ¬ε␈ελk␈↓ ¬"␈εα<␈↓ ¬P␈ελN␈↓ ¬{␈εαfor␈α	which␈↓ π∃␈ελU␈↓ πL␈εαis␈α	in␈↓ λ∃␈ελI␈↓ λn␈εαis␈α	(ex␈α␈cept␈α	for␈α	|nitely
␈β⊃(␈↓ π,␈εs␈↓ λ ␈εb␈↓ λ6␈ε¬...␈↓ λN␈εb
␈β⊃0␈↓ π7␈ε
k␈↓ λ+␈επ1␈↓ λY␈ε
r
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα157
␈βα&␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈αelemen␈α␈ts␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αthe␈αsubsequence)
␈βαd␈↓ ∧S␈ελ↔␈↓ ∧d␈εα(␈↓ ∧p␈ελN␈↓ ¬⊃␈εα)␈α
=␈↓ ¬U␈ελ↔␈↓ ¬f␈εα(␈↓ ¬r␈ελN␈↓ ε≤␈εα)␈αλ+␈↓ ε\␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∞␈εα+␈↓ π:␈ελ↔␈↓ πK␈εα(␈↓ πW␈ελN␈↓ λ␈εα).
␈βαr␈↓ ε
␈ε¬1␈↓ πr␈εm
␈ββ"␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α ␈ελm␈↓ αP␈εαis␈α⊃the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊃subsequences␈↓ εM␈ελB␈↓ εe␈εα[␈↓ εo␈ελa␈↓ π∂␈εα,␈↓ π∨␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πO␈εα,␈↓ π←␈ελa␈↓ πz␈εα]␈α⊂listed␈α⊃abo␈α␈v␈α␈e␈α⊂in␈α⊃which␈↓ 
␈␈ελU
␈ββ/␈↓ π␈ε¬1␈↓ πo␈εt␈↓ ⊗␈εs
␈ββ8␈↓  ␈ε
k
␈ββM␈↓ ↓H␈εαappears␈α∞for␈α
some␈↓ βc␈ελk␈↓ ∧α␈εα<␈↓ ∧3␈ελN␈↓ ∧U␈εα;␈↓ ∧n␈ελN␈↓ ¬$␈εαis␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞values␈α
of␈↓ λU␈ελk␈↓ λu␈εαwith␈↓ 	I␈ελU␈↓ 
¬␈εαin␈α∞the␈α
cor-
␈ββ[␈↓ ¬	␈εj␈↓ 	`␈εs
␈ββc␈↓ 	j␈ε
k
␈ββx␈↓ ↓H␈εαresponding␈αsubsequence;␈αand␈↓ ¬⊗␈ελ↔␈↓ ¬'␈εα(␈↓ ¬3␈ελN␈↓ ¬\␈εα)␈αis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αsuch␈αvalues␈αthat␈αare␈αalso␈αin
␈β∧ε␈↓ ¬N␈εj
␈β∧$␈↓ ↓H␈ελI␈↓ α_␈εα.␈αTherefore␈αby␈αLemma␈αT␈↓ ¬"␈εα,
␈β∧1␈↓ ↓S␈εb␈↓ ↓i␈ε¬...␈↓ α↓␈εb
␈β∧:␈↓ ↓↑␈επ1␈↓ α␈ε
r
␈β∧X␈↓ βl␈ε→␈␈↓ ∧	␈εr␈↓ ε≤␈ε→␈␈↓ ε9␈εr␈↓ 	&␈ε→␈␈↓ 	B␈εr
␈β∧↑␈↓ αQ␈ε⊗j␈↓ α[␈ελ↔␈↓ αl␈εα(␈↓ αx␈ελN␈↓ β~␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ βZ␈εα2␈↓ ∧⊗␈ελN␈↓ ∧8␈ε⊗j␈↓ ∧L␈εα=␈ε⊗␈α
j␈↓ ¬∧␈ελ↔␈↓ ¬∃␈εα(␈↓ ¬!␈ελN␈↓ ¬J␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε
␈εα2␈↓ εF␈ελN␈↓ εx␈εα+␈↓ π$␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πV␈εα+␈↓ λα␈ελ↔␈↓ λ∪␈εα(␈↓ λ∨␈ελN␈↓ λT␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	∀␈εα2␈↓ 	P␈ελN␈↓ 
¬␈ε⊗j
␈β∧k␈↓ ¬<␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬1␈↓ λ:␈εm␈↓ 	k␈εm
␈β¬∞␈↓ ε≤␈ε→␈␈↓ ε9␈εr␈↓ 	:␈ε→␈␈↓ 	V␈εr
␈β¬∀␈↓ ∧L␈ε⊗∀␈α
j␈↓ ¬∧␈ελ↔␈↓ ¬∃␈εα(␈↓ ¬!␈ελN␈↓ ¬J␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε
␈εα2␈↓ εF␈ελN␈↓ εp␈ε⊗j␈εα␈αλ+␈↓ π.␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π`␈εα+␈ε⊗␈αλj␈↓ λ⊗␈ελ↔␈↓ λ'␈εα(␈↓ λ3␈ελN␈↓ λh␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	(␈εα2␈↓ 	d␈ελN␈↓ 
→␈ε⊗j
␈β¬!␈↓ ¬<␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬1␈↓ λN␈εm␈↓ 	␈␈εm
␈β¬D␈↓ λ∪␈εq␈↓ λ!␈ε→␈␈↓ λ>␈εr␈↓ λK␈ε¬+1␈↓ 	@␈εq␈↓ 	M␈ε¬+1
␈β¬J␈↓ ∧L␈ε⊗∀␈↓ ∧z␈ελm␈↓ ¬#␈ε⊗∀␈εα␈α
1␈αλ+␈αλ2␈αλ+␈αλ4␈αλ+␈↓ π#␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πU␈εα+␈↓ λ↓␈εα2␈↓ 	␈εα<␈↓ 	.␈εα2␈↓ 	y␈εα.
␈βε␈↓ ↓H␈εαThe␈αinequality␈αon␈↓ βl␈ελm␈↓ ∧↔␈εαfollo␈α␈ws␈αhere␈αfrom␈αthe␈αfact␈αthat,␈αby␈αour␈αchoice␈αof␈↓ 
~␈ελN␈↓ 
;␈εα,␈↓ 
Q␈ελU␈↓ ∀␈εαis
␈βε∞␈↓ 
h␈εs
␈βε⊗␈↓ 
s␈ε
N
␈βε+␈↓ ↓H␈εαin␈↓ ↓r␈ελB␈↓ α
␈εα[␈↓ α∀␈ελa␈↓ α3␈εα,␈↓ αC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αs␈εα,␈↓ ββ␈ελa␈↓ β≡␈εα]␈αfor␈αsome␈↓ ∧F␈ελt␈↓ ∧]␈ε⊗∀␈↓ ¬␈ελq␈↓ ¬#␈εα+␈αλ1.
␈βε9␈↓ α%␈ε¬1␈↓ β∀␈εt
␈βεW␈↓ α␈εαTherefore
␈βπ
␈↓ λ$␈∧π
λ$α"
␈βπ∞␈↓ ¬9␈ε→␈␈↓ ¬V␈εr␈↓ ε8␈εq␈↓ εE␈ε¬+1␈↓ λ␈ε⊗p
␈βπ∀␈↓ βk␈ε⊗j␈↓ βu␈ελ↔␈↓ ∧ε␈εα(␈↓ ∧∩␈ελN␈↓ ∧4␈εα)/␈↓ ∧R␈ελN␈↓ ∧{␈ε⊗␈␈↓ ¬'␈εα2␈↓ ¬d␈ε⊗j␈α
∀␈↓ ε&␈εα2␈↓ εp␈εα/␈↓ πα␈ελN␈↓ π.␈εα<␈α
2/␈↓ λ$␈ελN␈↓ λE␈εα.
␈βπ→␈↓ λw␈∧π→λw≠∂
␈βπ]␈↓ α␈εαTo␈α
sho␈α␈w␈α
|nally␈α
that␈α
sequences␈α
satisfying␈α
De|nition␈α
R5␈α
exist,␈α
w␈α␈e␈α
note␈α
|rst
␈βλλ␈↓ ↓H␈εαthat␈α
if␈ε⊗␈α	h␈↓ α?␈ελU␈↓ αh␈ε⊗i␈εα␈α
is␈α
a␈α
[␈αε0,␈αε1)␈α
sequence␈α
of␈α	rational␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
and␈α
if␈ε⊗␈α
R␈εα␈α
is␈α
a␈α
computable␈α	sub-
␈βλ⊗␈↓ αV␈εn
␈βλ3␈↓ ↓H␈εαsequence␈αλrule␈α	for␈αλa␈↓ βl␈ελb␈↓ βz␈εα-ary␈α	sequence,␈α	w␈α␈e␈αλcan␈α	mak␈α␈e␈ε⊗␈αλR␈εα␈α	in␈α␈to␈αλa␈α	computable␈αλsubsequence
␈βλZ␈↓ α*␈ε→0␈↓ ∧i␈ε→0␈↓ εr␈ε→0
␈βλ←␈↓ ↓H␈εαrule␈↓ α␈ε⊗R␈↓ α:␈εαfor␈ε⊗␈α	h␈↓ α{␈ελU␈↓ β$␈ε⊗i␈εα␈αλby␈α	letting␈↓ ∧X␈ελf␈↓ ∧{␈εα(␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬f␈εα,␈↓ ¬v␈ελx␈↓ ε_␈εα)␈α	in␈↓ εT␈ε⊗R␈↓ πα␈εαequal␈↓ π\␈ελf␈↓ πy␈εα(␈ε⊗b␈↓ λ∪␈ελb␈↓ λ"␈ελx␈↓ λA␈ε⊗c␈εα,␈↓ λ←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∂␈εα,␈ε⊗␈αεb␈↓ 	-␈ελb␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	]␈ε⊗c␈εα)␈α	in␈ε⊗␈α	R␈εα.␈αIf␈αλthe
␈βλl␈↓ β∩␈εn␈↓ ¬_␈ε¬1␈↓ επ␈εn␈↓ πg␈εn␈↓ λ2␈ε¬1␈↓ 	L␈εn
␈βλq␈↓ ∧i␈εn
␈β	¬␈↓ ∧∃␈ε→0
␈β	
␈↓ ↓H␈εα[␈αε0,␈αε1)␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ βB␈ελU␈↓ βk␈ε⊗i␈↓ βw␈ε⊗R␈↓ ∧(␈εαis␈αequidistributed,␈αso␈αis␈αthe␈↓ πY␈ελb␈↓ πh␈εα-ary␈αsequence␈ε⊗␈αhb␈↓ 	`␈ελb␈↓ 	o␈ελU␈↓ 
_␈ε⊗ciR␈εα.␈αNo␈α␈w
␈β	↔␈↓ βY␈εn␈↓ 
ε␈εn
␈β	5␈↓ ↓H␈εαthe␈αset␈αof␈αall␈αcomputable␈αsubsequence␈αrules␈αfor␈↓ π1␈ελb␈↓ π@␈εα-ary␈αsequences,␈αfor␈αall␈αvalues␈αof
␈β	`␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓V␈εα,␈αis␈α
coun␈α␈table␈α(since␈α
only␈αcoun␈α␈tably␈αman␈α␈y␈α
e{ectiv␈α␈e␈αalgorithms␈α
are␈αpossible),␈αso
␈β
␈↓ ↓H␈εαthey␈αmay␈α
be␈αlisted␈αin␈αsome␈αsequence␈↓ ε
␈ε⊗R␈↓ ε6␈εα,␈↓ εK␈ε⊗R␈↓ εx␈εα,␈↓ π
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π=␈εα;␈αtherefore␈αAlgorithm␈αW␈α
de|nes
␈β
→␈↓ ε(␈ε¬1␈↓ εi␈ε¬2
␈β
7␈↓ ↓H␈εαa␈α[␈αε0,␈αε1)␈αsequence␈αthat␈αis␈αrandom␈αin␈αthe␈αsense␈αof␈αDe|nition␈αR5.
␈β
b␈↓ α␈εαThis␈α	brings␈αλus␈α	to␈α	a␈αλsomewhat␈α	parado␈α␈xical␈α	situation.␈α
As␈α	w␈α␈e␈α	men␈α␈tioned␈αλearlier,
␈β
␈↓ ↓H␈εαno␈αe{ectiv␈α␈e␈αalgorithm␈αcan␈αde|ne␈αa␈αsequence␈αthat␈αsatis|es␈αDe|nition␈αR4,␈αand␈αfor
␈β8␈↓ ↓H␈εαthe␈α
same␈αreason␈α
there␈αis␈α
no␈αe{ectiv␈α␈e␈α
algorithm␈αthat␈α
de|nes␈α
a␈αsequence␈α
satisfying
␈βc␈↓ ↓H␈εαDe|nition␈αR5.␈α
A␈α
proof␈αof␈α
the␈αexistence␈αof␈α
such␈αrandom␈α
sequences␈αis␈αnecessarily
␈β∂␈↓ ↓H␈εαnonconstructiv␈α␈e;␈αho␈α␈w␈αthen␈αcan␈αAlgorithm␈αW␈αconstruct␈αsuch␈αa␈αsequence?
␈β:␈↓ α␈εαThere␈α∞is␈α∞no␈α∞con␈α␈tradiction␈α∞here;␈α⊂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞merely␈α∞stum␈α␈bled␈α∞on␈α∞the␈α∞fact␈α∞that
␈βe␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂set␈α⊂of␈α⊂all␈α∂e{ectiv␈α␈e␈α⊂algorithms␈α⊂cannot␈α∂be␈α⊂en␈α␈umerated␈α∂by␈α⊂an␈α⊂e{ectiv␈α␈e␈α∂algo-
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαrithm.␈αIn␈αλother␈α	w␈α␈ords,␈α	there␈α	is␈α	no␈α	e{ectiv␈α␈e␈αλalgorithm␈α	to␈α	select␈α	the␈↓ 	;␈ελj␈↓ 	L␈εαth␈αλcomputable
␈β
;␈↓ ↓H␈εαsubsequence␈α⊃rule␈↓ βc␈ε⊗R␈↓ ∧∂␈εα;␈α∪this␈α⊃happens␈α⊃because␈α⊃there␈α⊃is␈α⊃no␈α⊃e{ectiv␈α␈e␈α⊃algorithm␈α⊂to
␈β
I␈↓ ∧↓␈εj
␈β
g␈↓ ↓H␈εαdetermine␈αif␈αa␈αcomputational␈α
method␈αev␈α␈er␈αterminates.␈α~(We␈αshall␈αreturn␈αto␈αthis
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαtopic␈α	in␈α	Chapter␈α	11.)␈α∩Importan␈α␈t␈α
large␈α	classes␈α	of␈α	algorithms␈ε∂␈α	can␈εα␈α	be␈α	systematically
␈β∞=␈↓ ↓H␈εαen␈α␈umerated;␈α
th␈α␈us,␈αfor␈α
example,␈α
Algorithm␈α
W␈α
sho␈α␈ws␈α
that␈α
is␈α
possible␈α
to␈α
construct,
␈β∞h␈↓ ↓H␈εαwith␈αan␈αe{ectiv␈α␈e␈αalgorithm,␈αa␈αsequence␈αthat␈αsatis|es␈αDe|nition␈αR5␈αif␈αw␈α␈e␈αrestrict
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαconsideration␈αto␈αsubsequence␈αrules␈αthat␈αare␈α\primitiv␈α␈e␈αrecursiv␈α␈e."
␈β∂?␈↓ α␈εαBy␈α
modifying␈α∞step␈α
W6␈α∞of␈α
Algorithm␈α
W␈↓ ε}␈εα,␈α∞so␈α
that␈α∞it␈α
sets␈↓ 	␈ελU␈↓ 	5␈ε⊗ ␈↓ 	e␈ελV␈↓ 
<␈εαinstead
␈β∂L␈↓ 	↔␈εn␈↓ 	y␈εk␈↓ 
λ␈ε¬+␈↓ 
%␈εt
␈β∂j␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελV␈↓ α∃␈εα,␈αwhere␈↓ β∀␈ελt␈↓ β-␈εαis␈αan␈α␈y␈α
nonnegativ␈α␈e␈αin␈α␈teger␈α
depending␈αon␈↓ λ7␈ελa␈↓ λV␈εα,␈↓ λl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	≤␈εα,␈↓ 	3␈ελa␈↓ 	Q␈εα,␈α
w␈α␈e␈αcan␈αsho␈α␈w
␈β∂w␈↓ αε␈εk␈↓ λG␈ε¬1␈↓ 	D␈εr
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εαthat␈αthere␈αare␈ε∂␈αuncoun␈α␈tably␈εα␈αman␈α␈y␈α[␈αε0,␈αε1)␈αsequences␈αsatisfying␈αDe|nition␈αR5.
␈β⊂F␈↓ α␈εαThe␈αfollo␈α␈wing␈α
theorem␈αsho␈α␈ws␈αstill␈αanother␈α
way␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α
the␈αexistence␈αof␈α
un-
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαcoun␈α␈tably␈απman␈α␈y␈αλrandom␈απsequences,␈α	using␈απa␈αλless␈απdirect␈αλargumen␈α␈t␈απbased␈αλon␈απmeasure
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαtheory,␈αev␈α␈en␈αif␈αthe␈αstrong␈αde|nition␈αR6␈αis␈αused:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα158␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈απM.␈ε∂␈α∞Let␈απthe␈απreal␈απn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬H␈ελx␈↓ ¬Z␈ε∂,␈εα␈α	0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε7␈ελx␈↓ εS␈εα<␈α
1␈ε∂,␈α	correspond␈απto␈απthe␈απbinary␈απsequence
␈βαS␈↓ ↓H␈ε⊗h␈↓ ↓T␈ελX␈↓ ↓␈␈ε⊗i␈ε∂␈α	if␈α	the␈α
binary␈α	represen␈α␈tation␈α	of␈↓ ¬n␈ελx␈↓ ε
␈ε∂is␈εα␈α	(0.␈↓ εS␈ελX␈↓ ε{␈ελX␈↓ π(␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πX␈εα)␈↓ πs␈ε∂.␈αUnder␈α	this␈α	correspondence,
␈βαa␈↓ ↓m␈εn␈↓ εl␈ε¬0␈↓ π∀␈ε¬1␈↓ πd␈ε¬2
␈βα}␈↓ ↓H␈ε∂almost␈α⊂all␈↓ αw␈ελx␈↓ β~␈ε∂correspond␈α⊂to␈α⊃binary␈α⊂sequences␈α⊃that␈α⊂are␈α⊃random␈α⊂in␈α⊃the␈α⊂sense␈α⊂of
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε∂De|nition␈αR6.␈εα␈α→(In␈αother␈αw␈α␈ords,␈αthe␈αset␈αof␈αall␈αreal␈↓ π[␈ελx␈↓ πz␈εαthat␈αcorrespond␈αto␈αa␈αbinary
␈ββU␈↓ ↓H␈εαsequence␈αthat␈αis␈αnonrandom␈αby␈αDe|nition␈αR6␈αhas␈αmeasure␈αzero.)
␈β∧A␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≤Let␈↓ βε␈ε⊗S␈↓ β(␈εαbe␈α
an␈α∞e{ectiv␈α␈e␈α∞algorithm␈α∞that␈α
determines␈α∞an␈α∞in|nite␈α∞sequence␈α
of
␈β∧l␈↓ ↓H␈εαdistinct␈αnonnegativ␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈ε⊗␈αh␈↓ ¬#␈ελs␈↓ ¬@␈ε⊗i␈εα,␈αwhere␈αthe␈αchoice␈αof␈↓ λ≥␈ελs␈↓ λF␈εαdepends␈αonly␈αon␈↓ 
Q␈ελn␈↓ 
r␈εαand
␈β∧z␈↓ ¬/␈εn␈↓ λ)␈εn
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ελX␈↓ απ␈εαfor␈α⊂0␈ε⊗␈α∂∀␈↓ β_␈ελk␈↓ β:␈εα<␈↓ βn␈ελn␈↓ ∧β␈εα;␈α∩and␈α∂let␈ε⊗␈α⊂R␈εα␈α∂be␈α⊂a␈α∂computable␈α⊂subsequence␈α∂rule.␈α↔Then␈α∂an␈α␈y
␈β¬%␈↓ ↓a␈εs
␈β¬-␈↓ ↓k␈ε
k
␈β¬C␈↓ ↓H␈εαbinary␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ βX␈ελX␈↓ ∧β␈ε⊗i␈εα␈αleads␈αto␈αa␈α
subsequence␈ε⊗␈αh␈↓ π∂␈ελX␈↓ πB␈ε⊗iR␈εα,␈αand␈αDe|nition␈αR6␈αsays␈αthis
␈β¬P␈↓ βq␈εn␈↓ π(␈εs
␈β¬Y␈↓ π3␈ε
n
␈β¬n␈↓ ↓H␈εαsubsequence␈α∞m␈α␈ust␈α∞either␈α∞be␈α∞|nite␈α∞or␈α∞1-distributed.␈α∩It␈α
su}ces␈α∞to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∞that␈ε∂␈α∞for
␈βε→␈↓ ↓H␈ε∂|x␈α␈ed␈ε⊗␈αλR␈ε∂␈α	and␈↓ β¬␈ε⊗S␈↓ β!␈ε∂the␈α	set␈↓ ∧⊃␈ελN␈↓ ∧2␈εα(␈ε⊗R␈εα,␈↓ ∧l␈ε⊗S␈↓ ¬␈εα)␈ε∂␈α	of␈α	all␈αλreal␈↓ ε-␈ελx␈↓ εI␈ε∂corresponding␈αλto␈ε⊗␈α	h␈↓ λ`␈ελX␈↓ 	␈ε⊗i␈ε∂,␈α	such␈α	that␈ε⊗␈α	h␈↓ 
P␈ελX␈↓ α␈ε⊗iR
␈βε&␈↓ λy␈εn␈↓ 
i␈εs
␈βε/␈↓ 
s␈ε
n
␈βεD␈↓ ↓H␈ε∂is␈α	in|nite␈αλand␈α	not␈εα␈α	1␈ε∂-distributed,␈α
has␈αλmeasure␈α	zero.␈εα␈αFor␈↓ λ_␈ελx␈↓ λ4␈εαhas␈α	a␈α	nonrandom␈αλbinary
␈βεS␈↓ εβ␈ε↓S
␈βεo␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈tation␈α
if␈α
and␈α
only␈α∞if␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬3␈εαis␈α
in␈↓ ε'␈ελN␈↓ εI␈εα(␈ε⊗R␈εα,␈↓ πβ␈ε⊗S␈↓ π↔␈εα),␈α∞tak␈α␈en␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
coun␈α␈tably␈α
man␈α␈y
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εαchoices␈αof␈ε⊗␈αR␈εα␈αand␈↓ β\␈ε⊗S␈↓ βp␈εα.
␈βπI␈↓ α␈εαTherefore␈α∞let␈ε⊗␈α∂R␈εα␈α∞and␈↓ ∧↑␈ε⊗S␈↓ ¬␈εαbe␈α∞|x␈α␈ed.␈α∀Consider␈α∞the␈α∞set␈↓ λ0␈ελT␈↓ λI␈εα(␈↓ λU␈ελa␈↓ λt␈ελa␈↓ 	~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	J␈ελa␈↓ 	h␈εα)␈α∞de|ned␈α∞for
␈βπW␈↓ λf␈ε¬1␈↓ 	¬␈ε¬2␈↓ 	Z␈εr
␈βπt␈↓ ↓H␈εαall␈αbinary␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ βz␈ελa␈↓ ∧→␈ελa␈↓ ∧>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧n␈ελa␈↓ ¬↔␈εαas␈αthe␈αset␈αof␈αall␈↓ π∩␈ελx␈↓ π0␈εαcorresponding␈αto␈ε⊗␈αh␈↓ 	M␈ελX␈↓ 	x␈ε⊗i␈εα,␈αsuch␈αthat
␈βλα␈↓ ∧
␈ε¬1␈↓ ∧*␈ε¬2␈↓ ∧␈␈εr␈↓ 	f␈εn
␈βλ ␈↓ ↓H␈ε⊗h␈↓ ↓T␈ελX␈↓ αε␈ε⊗iR␈εα␈α
has␈ε⊗␈α∃␈↓ β,␈ελr␈↓ βH␈εαelemen␈α␈ts␈α
whose␈α|rst␈↓ ε⊃␈ελr␈↓ ε-␈εαelemen␈α␈ts␈α
are␈αrespectiv␈α␈ely␈α
equal␈αto␈↓ 
M␈ελa␈↓ 
m␈εα,␈↓ β␈ελa␈↓ "␈εα,
␈βλ-␈↓ ↓m␈εs␈↓ 
↑␈ε¬1␈↓ ∀␈ε¬2
␈βλ6␈↓ ↓w␈ε
n
␈βλK␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α∞␈ελa␈↓ α,␈εα.␈αOur␈α|rst␈αresult␈αis␈αthat
␈βλX␈↓ α≡␈εr
␈β	%␈↓ λ∪␈ε→␈␈↓ λ0␈εr
␈β	+␈↓ ∧-␈ελT␈↓ ∧F␈εα(␈↓ ∧R␈ελa␈↓ ∧r␈ελa␈↓ ¬↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬G␈ελa␈↓ ¬e␈εα)␈↓ ¬⎇␈εαhas␈αmeasure␈↓ πS␈ε⊗∀␈↓ λ↓␈εα2␈↓ λ=␈εα.␈↓ 
p␈εα(32)
␈β	9␈↓ ∧c␈ε¬1␈↓ ¬α␈ε¬2␈↓ ¬X␈εr
␈β
␈↓ ↓H␈εαTo␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αthis,␈αw␈α␈e␈α
start␈αby␈α
observing␈αthat␈↓ εU␈ελT␈↓ εo␈εα(␈↓ ε{␈ελa␈↓ π~␈ελa␈↓ π?␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πo␈ελa␈↓ λ
␈εα)␈αis␈α
a␈αmeasurable␈α
set:␈αEach
␈β
→␈↓ π␈ε¬1␈↓ π*␈ε¬2␈↓ λ␈εr
␈β
7␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈t␈α
of␈↓ αs␈ελT␈↓ β␈εα(␈↓ β_␈ελa␈↓ β7␈ελa␈↓ β\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈ελa␈↓ ∧*␈εα)␈α
is␈α
a␈α
real␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ εB␈ελx␈↓ ε←␈εα=␈α
(0.␈↓ π5␈ελX␈↓ π]␈ελX␈↓ λ
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ:␈εα)␈↓ λ↑␈εαfor␈α
which␈α
there␈α
exists
␈β
D␈↓ β)␈ε¬1␈↓ βH␈ε¬2␈↓ ∧≥␈εr␈↓ πN␈ε¬0␈↓ πv␈ε¬1␈↓ λF␈ε¬2
␈β
b␈↓ ↓H␈εαan␈α∂in␈α␈teger␈↓ αx␈ελm␈↓ β'␈εαsuch␈α∂that␈α⊂algorithm␈↓ ¬u␈ε⊗S␈↓ ε_␈εαdetermines␈α⊂distinct␈α∂values␈↓ 	I␈ελs␈↓ 	c␈εα,␈↓ 	}␈ελs␈↓ 
_␈εα,␈↓ 
2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
b␈εα,␈↓ 
⎇␈ελs␈↓ "␈εα,
␈β
o␈↓ 	U␈ε¬0␈↓ 

␈ε¬1␈↓ 	␈εm
␈β
␈↓ ↓H␈εαand␈α
rule␈ε⊗␈α
R␈εα␈α∞determines␈α
a␈α
subsequence␈α∞of␈↓ εQ␈ελX␈↓ π␈εα,␈↓ π↔␈ελX␈↓ πF␈εα,␈↓ π↑␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ∞␈εα,␈↓ λ&␈ελX␈↓ λl␈εαsuch␈α
that␈↓ 
∂␈ελX␈↓ 
U␈εαis␈α
the
␈β≠␈↓ εj␈εs␈↓ π0␈εs␈↓ λ?␈εs␈↓ 
(␈εs
␈β#␈↓ εu␈επ0␈↓ π;␈επ1␈↓ λI␈ε
m␈↓ 
2␈ε
m
␈β8␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εαth␈α
elemen␈α␈t␈α
of␈α
this␈α
subsequence.␈α∞The␈α
set␈α
of␈α
all␈α
real␈↓ π⎇␈ελy␈↓ λ≤␈εα=␈α(0.␈↓ λt␈ελY␈↓ 	↔␈ελY␈↓ 	@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	p␈εα)␈↓ 
_␈εαsuch␈αthat
␈βF␈↓ 		␈ε¬0␈↓ 	,␈ε¬1␈↓ 	|␈ε¬2
␈βd␈↓ ↓H␈ελY␈↓ ↓}␈εα=␈↓ α,␈ελX␈↓ αh␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ βj␈ελk␈↓ ∧ε␈ε⊗∀␈↓ ∧4␈ελm␈↓ ∧`␈εαalso␈αbelongs␈αto␈↓ εT␈ελT␈↓ εn␈εα(␈↓ εz␈ελa␈↓ π→␈ελa␈↓ π>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πn␈ελa␈↓ λ␈εα),␈αand␈αthis␈αis␈αa␈αmeasurable
␈βq␈↓ ↓]␈εs␈↓ αE␈εs␈↓ π
␈ε¬1␈↓ π)␈ε¬2␈↓ π␈␈εr
␈βz␈↓ ↓g␈ε
k␈↓ αO␈ε
k
␈β∂␈↓ ↓H␈εαset␈α∂consisting␈α∂of␈α∂the␈α∂|nite␈α∂union␈α∂of␈α∂dyadic␈α∂subin␈α␈tervals␈↓ λP␈ελI␈↓ 	≥␈εα.␈α∃Since␈α∂there␈α∂are
␈β≤␈↓ λ[␈εb␈↓ λq␈ε¬...␈↓ 		␈εb
␈β%␈↓ λf␈επ1␈↓ 	∀␈ε
t
␈β:␈↓ ↓H␈εαonly␈αcoun␈α␈tably␈αman␈α␈y␈αsuch␈αdyadic␈αin␈α␈tervals,␈αw␈α␈e␈αsee␈αthat␈↓ λ:␈ελT␈↓ λS␈εα(␈↓ λ←␈ελa␈↓ λ␈␈ελa␈↓ 	$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	T␈ελa␈↓ 	r␈εα)␈αis␈αa␈αcoun␈α␈t-
␈βG␈↓ λp␈ε¬1␈↓ 	∂␈ε¬2␈↓ 	e␈εr
␈βe␈↓ ↓H␈εαable␈αunion␈αof␈αdyadic␈αin␈α␈tervals,␈αand␈αit␈αis␈αtherefore␈αmeasurable.␈αFurthermore,␈αthis
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαargumen␈α␈t␈α	can␈α
be␈α
extended␈α
to␈α	sho␈α␈w␈α
that␈α
the␈α
measure␈α	of␈↓ λ%␈ελT␈↓ λ>␈εα(␈↓ λJ␈ελa␈↓ λp␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	 ␈ελa␈↓ 	i␈εα0)␈α
equals␈α	the
␈β
≡␈↓ λ[␈ε¬1␈↓ 	0␈εr␈↓ 	>␈ε→␈␈ε¬1
␈β
<␈↓ ↓H␈εαmeasure␈α	of␈↓ αx␈ελT␈↓ β⊃␈εα(␈↓ β≥␈ελa␈↓ βC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βs␈ελa␈↓ ∧<␈εα1),␈α
since␈α	the␈α	latter␈α
is␈α	a␈α	union␈α
of␈α	dyadic␈α	in␈α␈tervals␈α	obtained
␈β
I␈↓ β.␈ε¬1␈↓ ∧β␈εr␈↓ ∧⊃␈ε→␈␈ε¬1
␈β
g␈↓ ↓H␈εαfrom␈α∞the␈α∞former␈α∂by␈α∞requiring␈α∞that␈↓ ¬w␈ελY␈↓ ε1␈εα=␈↓ εc␈ελX␈↓ π!␈εαfor␈α∞0␈ε⊗␈α∞∀␈↓ λ-␈ελk␈↓ λM␈εα<␈↓ λ}␈ελm␈↓ 	,␈εαand␈↓ 	u␈ελY␈↓ 
8␈ε⊗≤␈↓ 
i␈ελX␈↓ "␈εα.
␈β
t␈↓ ε␈εs␈↓ ε|␈εs␈↓ 

␈εs␈↓ α␈εs
␈β
⎇␈↓ ε↔␈ε
k␈↓ πε␈ε
k␈↓ 
∀␈ε
m␈↓ 
␈ε
m
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αsince
␈β∞G␈↓ β:␈ελT␈↓ βT␈εα(␈↓ β`␈ελa␈↓ ∧¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧5␈ελa␈↓ ∧}␈εα0)␈ε⊗␈αλ[␈↓ ¬F␈ελT␈↓ ¬←␈εα(␈↓ ¬k␈ελa␈↓ ε⊃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εA␈ελa␈↓ π
␈εα1)␈ε⊗␈α
∩␈↓ π`␈ελT␈↓ πy␈εα(␈↓ λ¬␈ελa␈↓ λ*␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λZ␈ελa␈↓ 	$␈εα),
␈β∞U␈↓ βp␈ε¬1␈↓ ∧F␈εr␈↓ ∧S␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬|␈ε¬1␈↓ εQ␈εr␈↓ ε←␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ⊗␈ε¬1␈↓ λk␈εr␈↓ λx␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂measure␈α∂of␈↓ βE␈ελT␈↓ β↑␈εα(␈↓ βj␈ελa␈↓ ∧	␈ελa␈↓ ∧.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↑␈ελa␈↓ ∧|␈εα)␈α∂is␈α⊂at␈α∂most␈α∂one-half␈α∂the␈α∂measure␈α∂of␈↓ 	S␈ελT␈↓ 	l␈εα(␈↓ 	x␈ελa␈↓ 
≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
M␈ελa␈↓ ⊗␈εα).
␈β∂#␈↓ β{␈ε¬1␈↓ ∧~␈ε¬2␈↓ ∧o␈εr␈↓ 
	␈ε¬1␈↓ 
↑␈εr␈↓ 
k␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαThe␈αinequality␈α(32)␈αfollo␈α␈ws␈αby␈αinduction␈αon␈↓ ε␈␈ελr␈↓ π∞␈εα.
␈β∂o␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α⊂that␈α⊂(32)␈α⊃has␈α⊂been␈α⊂established,␈α⊃the␈α⊂remainder␈α⊃of␈α⊂the␈α⊂proof␈α⊂is␈α⊂essen-
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαtially␈α⊂to␈α⊂sho␈α␈w␈α⊃that␈α⊂the␈α⊃binary␈α⊂represen␈α␈tations␈α⊂of␈α⊃almost␈α⊂all␈α⊃real␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers␈α⊂are
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαequidistributed.␈α
The␈αλnext␈απfew␈απparagraphs␈αλconstitute␈απa␈αλrather␈απlong␈αλbut␈απnot␈απdi}cult
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαproof␈α∞of␈α∞this␈α
fact,␈α∂and␈α∞they␈α∞serv␈α␈e␈α∞to␈α∞illustrate␈α∞typical␈α∞estimation␈α
techniques␈α∞in
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαmathematical␈αanalysis.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα159
␈βα
␈↓ ¬Q␈ε↓S
␈βα&␈↓ α␈εαFor␈α0␈α
<␈↓ β→␈ελ∂␈↓ β1␈εα<␈α
1,␈αlet␈↓ ∧9␈ελB␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελr␈↓ ∧m␈εα,␈↓ ∧⎇␈ελ∂␈↓ ¬␈εα)␈αbe␈↓ ¬u␈ελT␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελa␈↓ ε?␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εo␈ελa␈↓ π
␈εα),␈αwhere␈αthe␈αunion␈αis␈αtak␈α␈en␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
all
␈βα4␈↓ ε+␈ε¬1␈↓ π␈εr
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαbinary␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈↓ βB␈ελa␈↓ βg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↔␈ελa␈↓ ∧=␈εαfor␈αλwhich␈αλthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈↓ π
␈ελ↔␈↓ π≡␈εα(␈↓ π*␈ελr␈↓ π9␈εα)␈αλof␈αλzeros␈αλamong␈↓ 	9␈ελa␈↓ 	↑␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∞␈ελa␈↓ 
4␈εαsatis|es
␈βα←␈↓ βR␈ε¬1␈↓ ∧(␈εr␈↓ 	J␈ε¬1␈↓ 
∨␈εr
␈ββ≡␈↓ ε
␈εα1
␈ββ5␈↓ ¬∩␈ε⊗j␈↓ ¬≤␈ελ↔␈↓ ¬-␈εα(␈↓ ¬9␈ελr␈↓ ¬I␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε#␈ελr␈↓ ε2␈ε⊗j␈α
∃␈εα␈α
1␈αλ+␈↓ π:␈ελ∂␈↓ πH␈ελr␈↓ πX␈εα.
␈ββE␈↓ ε
␈∧βEε
α∩
␈ββN␈↓ ε
␈εα2
␈ββx␈↓ π{␈ε↓␈␈↓ λ↔␈ε↓↓
␈ββ{␈↓ πO␈ε↓P
␈β∧∂␈↓ λ
␈εr
␈β∧↔␈↓ ↓H␈εαThe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αsuch␈αbinary␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αis␈↓ ε4␈ελC␈↓ εQ␈εα(␈↓ ε]␈ελr␈↓ εm␈εα,␈↓ ε⎇␈ελ∂␈↓ π␈εα)␈α
=␈↓ λ1␈εαsummed␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αvalues
␈β∧*␈↓ λ	␈εk
␈β∧?␈↓ βA␈ε¬1
␈β∧B␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓t␈ελk␈↓ α∃␈εαwith␈ε⊗␈α∂j␈↓ αt␈ελk␈↓ β∂␈ε⊗␈␈↓ βT␈ελr␈↓ βc␈ε⊗j␈α∂∃␈εα␈α∂1␈α	+␈↓ ∧x␈ελ∂␈↓ ¬ε␈ελr␈↓ ¬⊗␈εα.␈α∀A␈α∂suitable␈α∂estimate␈α∂for␈α∞the␈α∂tail␈α∂of␈α∂the␈α∞binomial
␈β∧S␈↓ βA␈∧∧SβAα∂
␈β∧U␈↓ βA␈ε¬2
␈β∧n␈↓ ↓H␈εαdistribution␈απcan␈αλbe␈αλobtained␈αλby␈απthe␈αλfollo␈α␈wing␈αλstandard␈αλtrick:␈α
Let␈↓ 	,␈ελx␈↓ 	G␈εαbe␈αλan␈α␈y␈απpositiv␈α␈e
␈β¬∃␈↓ ¬Y␈ε¬1
␈β¬→␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αless␈αthan␈α1,␈αand␈αlet␈↓ ¬α␈ελs␈↓ ¬≠␈εα=␈α
(␈↓ ¬s␈εα+␈↓ ε∨␈ελ∂␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε9␈ελr␈↓ εI␈εα.␈αThen
␈β¬)␈↓ ¬Y␈∧¬)¬Yα∂
␈β¬,␈↓ ¬Y␈ε¬2
␈β¬a␈↓ β↓␈ε↓X␈↓ ∧5␈ε↓X␈↓ ε4␈ε↓X
␈β¬b␈↓ 	]␈εr
␈β¬j␈↓ β=␈ε↓∩␈↓ βe␈ε↓∪␈↓ ∧q␈ε↓∩␈↓ ¬→␈ε↓∪␈↓ εq␈ε↓∩␈↓ π→␈ε↓∪␈↓ λP␈ε↓∩␈↓ 	G␈ε↓∪
␈β¬n␈↓ βT␈ελr␈↓ ¬λ␈ελr␈↓ πλ␈ελr␈↓ 	1␈εα1
␈β¬}␈↓ ¬A␈εs␈↓ ¬N␈ε→␈␈↓ ¬k␈εk␈↓ πA␈εs␈↓ πN␈ε→␈␈↓ πk␈εk␈↓ λD␈εs
␈βε∧␈↓ ∧¬␈ε⊗∀␈↓ ¬/␈ελx␈↓ εβ␈ε⊗∀␈↓ π/␈ελx␈↓ λβ␈εα=␈↓ λ1␈ελx␈↓ λf␈εα1␈αλ+␈↓ 	j␈εα.
␈βε∃␈↓ 	0␈∧ε∃	0α∪
␈βε≥␈↓ βS␈ελk␈↓ ¬π␈ελk␈↓ ππ␈ελk␈↓ 	0␈ελx
␈βε6␈↓ β␈εk␈↓ β∞␈ε→∃␈↓ β+␈εs␈↓ ∧3␈εk␈↓ ∧B␈ε→∃␈↓ ∧↑␈εs␈↓ ε1␈εk␈↓ ε@␈ε→∃␈ε¬␈α␈0
␈βπ	␈↓ πW␈εs␈↓ λ|␈εr
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εαBy␈α∞elemen␈α␈tary␈α∞calculus,␈α∂the␈α∞minim␈α␈um␈α∂value␈α∞of␈↓ πD␈ελx␈↓ πd␈εα(1␈α	+␈α
1/␈↓ λ]␈ελx␈↓ λp␈εα)␈↓ 	↔␈εαoccurs␈α∞when␈↓ 
h␈ελx␈↓ λ␈εα=
␈βπ9␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα/␈↓ ↓i␈ελs␈↓ α␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
=␈α
(1␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ2␈↓ βZ␈ελ∂␈↓ βh␈εα)/(1␈αλ+␈αλ2␈↓ ∧j␈ελ∂␈↓ ∧x␈εα),␈αand␈αthis␈αvalue␈αof␈↓ π0␈ελx␈↓ πO␈εαyields
␈βπn␈↓ ¬[␈ε↓0␈↓ λl␈ε↓1
␈βλ↓␈↓ 	∧␈εr
␈βλ⊗␈↓ ∧α␈ε↓X
␈βλ∨␈↓ ∧e␈ε↓∩␈↓ ¬
␈ε↓∪
␈βλ"␈↓ ∧|␈ελr␈↓ π&␈εα2
␈βλ/␈↓ ¬[␈ε↓@␈↓ λl␈ε↓A
␈βλ9␈↓ ¬-␈ε⊗∀␈↓ 	⊃␈εα.
␈βλI␈↓ ¬w␈∧λI¬wααq
␈βλQ␈↓ ∧{␈ελk
␈βλW␈↓ εx␈επ1␈↓ λ1␈επ1
␈βλ[␈↓ ππ␈ε¬+␈↓ π#␈ε∂␈↓ λ?␈ε→␈␈↓ λ\␈ε∂
␈βλ←␈↓ ¬w␈εα(1␈αλ+␈αλ2␈↓ ε[␈ελ∂␈↓ εi␈εα)␈↓ π/␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ2␈↓ λ∪␈ελ∂␈↓ λ!␈εα)
␈βλf␈↓ εx␈∧λfεxα␈↓ λ1␈∧λfλ1α
␈βλh␈↓ εx␈επ2␈↓ λ1␈επ2
␈βλi␈↓ ∧⊃␈επ1
␈βλl␈↓ βY␈εk␈↓ βg␈ε→∃␈ε¬(␈↓ ∧∨␈ε¬+␈↓ ∧<␈ε∂␈↓ ∧H␈ε¬)␈↓ ∧R␈εr
␈βλw␈↓ ∧⊃␈∧λw∧⊃α
␈βλz␈↓ ∧⊃␈επ2
␈β	G␈↓ βC␈ε¬1
␈β	J␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αwhen␈↓ αy␈ελ∂␈↓ β⊃␈εα<␈↓ βa␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β	Z␈↓ βC␈∧	ZβCα∂
␈β	]␈↓ βC␈ε¬2
␈β
_␈↓ π_␈ε¬2␈↓ λ7␈ε¬4␈↓ 	W␈ε¬6␈↓ ∀␈ε¬2
␈β
→␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ ∧λ␈ε¬1␈↓ εB␈ε¬1␈↓ πb␈ε¬1␈↓ 	α␈ε¬1
␈β
≥␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓n␈εα+␈↓ α↔␈ελ∂␈↓ α%␈εα)␈↓ α7␈εαln␈↓ αU␈εα(1␈α∧+␈α∧2␈↓ β1␈ελ∂␈↓ β?␈εα)␈α∧+␈α¬(␈↓ ∧≡␈ε⊗␈␈↓ ∧F␈ελ∂␈↓ ∧T␈εα)␈↓ ∧f␈εαln␈↓ ¬∧␈εα(1␈ε⊗␈α¬␈␈εα␈α∧2␈↓ ¬a␈ελ∂␈↓ ¬o␈εα)␈α
=␈↓ ε`␈εα(2␈↓ ε}␈ελ∂␈↓ π␈εα)␈↓ π*␈εα+␈↓ π␈␈εα(2␈↓ λ≥␈ελ∂␈↓ λ+␈εα)␈↓ λJ␈εα+␈↓ 	∨␈εα(2␈↓ 	=␈ελ∂␈↓ 	K␈εα)␈↓ 	j␈εα+␈↓ 
∩␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
F␈εα>␈α
2␈↓ ε␈ελ∂␈↓ "␈εα,
␈β
-␈↓ ↓X␈∧
-↓Xα∂␈↓ ∧λ␈∧
-∧λα∂␈↓ ε7␈∧
-ε7α%␈↓ πW␈∧
-πWα%␈↓ λv␈∧
-λvα%
␈β
/␈↓ ↓X␈ε¬2␈↓ ∧λ␈ε¬2␈↓ ε7␈ε¬1␈ε→↓␈ε¬2␈↓ πW␈ε¬3␈ε→↓␈ε¬4␈↓ λv␈ε¬5␈ε→␈α↓↓␈ε¬6
␈β
l␈↓ λE␈επ2
␈β
o␈↓ λ∞␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λ9␈ε∂
␈β
t␈↓ ↓H␈εαhence␈α	the␈α
denominator␈α
in␈α
our␈α
estimate␈α
is␈α	larger␈α
than␈↓ λ␈ελe␈↓ λQ␈εα.␈αWe␈α
hav␈α␈e␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈α	that
␈βC␈↓ β∀␈ε↓X
␈βL␈↓ βx␈ε↓∩␈↓ ∧∨␈ε↓∪
␈βO␈↓ ∧∂␈ελr
␈β\␈↓ ¬R␈επ2
␈β`␈↓ ∧␈␈εr␈↓ ¬≠␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ¬F␈ε∂␈↓ ¬]␈εr
␈βb␈↓ 	l␈ε¬1
␈βf␈↓ ∧?␈εα<␈↓ ∧m␈εα2␈↓ ¬
␈ελe␈↓ ¬k␈εα,␈↓ εC␈εαfor␈αall␈↓ π-␈ελr␈↓ πF␈εα>␈α
0␈αand␈α0␈α
<␈↓ 	"␈ελ∂␈↓ 	:␈εα<␈↓ 	␈␈εα.␈↓ 
p␈εα(33)
␈βv␈↓ 	l␈∧v	lα∂
␈βy␈↓ 	l␈ε¬2
␈β}␈↓ ∧∞␈ελk
␈β∃␈↓ β#␈επ1
␈β→␈↓ αk␈εk␈↓ αz␈ε→∃␈ε¬(␈↓ β2␈ε¬+␈↓ βO␈ε∂␈↓ β[␈ε¬)␈↓ βd␈εr
␈β$␈↓ β#␈∧$β#α
␈β'␈↓ β#␈επ2
␈βe␈↓ ↓H␈εαBut␈↓ α∞␈ελC␈↓ α+␈εα(␈↓ α7␈ελr␈↓ αG␈εα,␈↓ αW␈ελ∂␈↓ αe␈εα)␈αis␈αt␈α␈wice␈αthis␈αleft-hand␈αquan␈α␈tity,␈αhence␈αby␈α(32)␈αand␈α(33)
␈β
3␈↓ λw␈επ2
␈β
6␈↓ ε[␈ε→␈␈↓ εw␈εr␈↓ λ@␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λk␈ε∂␈↓ 	α␈εr
␈β
<␈↓ βZ␈ελB␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελr␈↓ ∧∂␈εα,␈↓ ∧∨␈ελ∂␈↓ ∧-␈εα)␈↓ ∧E␈εαhas␈αmeasure␈↓ ε≠␈ε⊗∀␈↓ εI␈εα2␈↓ π¬␈ελC␈↓ π"␈εα(␈↓ π.␈ελr␈↓ π>␈εα,␈↓ πN␈ελ∂␈↓ π\␈εα)␈α
<␈α
2␈↓ λ2␈ελe␈↓ 	⊂␈εα.
␈β∞∂␈↓ α␈εαThe␈αnext␈αstep␈αis␈αto␈αde|ne
␈β∞a␈↓ β7␈ελB␈↓ βO␈εα*(␈↓ βm␈ελr␈↓ β⎇␈εα,␈↓ ∧
␈ελ∂␈↓ ∧≠␈εα)␈α
=␈↓ ∧←␈ελB␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬β␈ελr␈↓ ¬∪␈εα,␈↓ ¬#␈ελ∂␈↓ ¬1␈εα)␈ε⊗␈αλ[␈↓ ¬g␈ελB␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελr␈↓ ε#␈εα+␈αλ1,␈↓ εq␈ελ∂␈↓ ε␈␈εα)␈ε⊗␈αλ[␈↓ π5␈ελB␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελr␈↓ πq␈εα+␈αλ2,␈↓ λ?␈ελ∂␈↓ λM␈εα)␈ε⊗␈αλ[␈↓ 	β␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	3␈εα.
␈β∂_␈↓ ¬m␈ε↓P
␈β∂+␈↓ π)␈επ2
␈β∂/␈↓ εq␈ε→␈␈ε¬2␈↓ π≥␈ε∂␈↓ π4␈εr
␈β∂4␈↓ ↓H␈εαThe␈αmeasure␈αof␈↓ βH␈ελB␈↓ β`␈εα*(␈↓ β}␈ελr␈↓ ∧∞␈εα,␈↓ ∧≡␈ελ∂␈↓ ∧,␈εα)␈αis␈α
at␈αmost␈↓ εR␈ελk␈↓ εc␈ελe␈↓ πA␈εα,␈αand␈α
this␈αis␈αthe␈αremainder␈αof␈αa
␈β∂G␈↓ ε∪␈εk␈↓ ε!␈ε→∃␈↓ ε>␈εr
␈β∂←␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈v␈α␈ergen␈α␈t␈αseries␈αso
␈β∂k␈↓ ¬∩␈ε↓␈␈↓ πG␈ε↓↓
␈β⊂
␈↓ ∧V␈εαlim␈↓ ¬ ␈εαmeasure␈αof␈↓ εV␈ελB␈↓ εo␈εα*(␈↓ π
␈ελr␈↓ π≥␈εα,␈↓ π-␈ελ∂␈↓ π;␈εα)␈↓ π←␈εα=␈α
0.␈↓ 
p␈εα(34)
␈β⊂+␈↓ ∧L␈εr␈↓ ∧Y␈ε→!1
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αλif␈↓ α5␈ελx␈↓ αP␈εαis␈αλa␈αλreal␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλwhose␈αλbinary␈α	expansion␈αλ(0.␈↓ πk␈ελX␈↓ λ∩␈ελX␈↓ λ@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λp␈εα)␈↓ 	∩␈εαleads␈αλto␈αλan␈αλin|nite
␈β⊂|␈↓ λ∧␈ε¬0␈↓ λ+␈ε¬1␈↓ λ|␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαsequence␈ε⊗␈α	h␈↓ αe␈ελX␈↓ β_␈ε⊗iR␈εα␈α
that␈α
is␈α	not␈α
1-distributed,␈α
and␈α
if␈↓ π9␈ελ↔␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελr␈↓ πf␈εα)␈α	denotes␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α	zeros
␈β⊃(␈↓ α}␈εs
␈β⊃0␈↓ β	␈ε
n
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα160␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα(␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈α|rst␈↓ αz␈ελr␈↓ β∃␈εαelemen␈α␈ts␈αof␈αthe␈αlatter␈αsequence,␈αthen
␈ββα␈↓ εG␈εα1
␈ββ→␈↓ ¬+␈ε⊗j␈↓ ¬5␈ελ↔␈↓ ¬F␈εα(␈↓ ¬R␈ελr␈↓ ¬b␈εα)/␈↓ ε␈ελr␈↓ ε↔␈ε⊗␈␈↓ ε]␈ε⊗j␈α
∃␈εα␈α
2␈↓ π1␈ελ∂␈↓ π?␈εα,
␈ββ)␈↓ εG␈∧β)εGα∩
␈ββ1␈↓ εG␈εα2
␈β∧ε␈↓ ↓H␈εαfor␈α
some␈↓ α]␈ελ∂␈↓ αx␈εα>␈α
0␈α∞and␈α∞in|nitely␈α
man␈α␈y␈↓ ε∂␈ελr␈↓ ε∨␈εα.␈α⊃This␈α∞means␈↓ π}␈ελx␈↓ λ≡␈εαis␈α∞in␈↓ λp␈ελB␈↓ 	λ␈εα*(␈↓ 	&␈ελr␈↓ 	6␈εα,␈↓ 	F␈ελ∂␈↓ 	T␈εα)␈α∞for␈α∞all␈↓ 
[␈ελr␈↓ 
k␈εα.␈α⊃So
␈β∧1␈↓ ↓H␈εα|nally␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β∧D␈↓ ε␈ε↓[␈↓ εO␈ε↓\
␈β∧g␈↓ ∧R␈ελN␈↓ ∧s␈εα(␈ε⊗R␈εα,␈↓ ¬-␈ε⊗S␈↓ ¬A␈εα)␈α
=␈↓ π¬␈ελB␈↓ π≡␈εα*(␈↓ π<␈ελr␈↓ πK␈εα,␈αε1/␈↓ π␈␈ελt␈↓ λ
␈εα),
␈β¬_␈↓ ε¬␈εt␈↓ ε⊂␈ε→∃␈ε¬2␈↓ εG␈εr␈↓ εT␈ε→∃␈ε¬1
␈β¬R␈↓ β/␈ε↓T
␈β¬n␈↓ ↓H␈εαand,␈α∩by␈α⊃(34),␈↓ ∧␈ελB␈↓ ∧$␈εα*(␈↓ ∧B␈ελr␈↓ ∧R␈εα,␈αε1/␈↓ ¬ε␈ελt␈↓ ¬∪␈εα)␈α⊃has␈α⊃measure␈α⊃zero␈α⊃for␈α⊃all␈↓ λK␈ελt␈↓ λX␈εα.␈α≠Hence␈↓ 	l␈ελN␈↓ 

␈εα(␈ε⊗R␈εα,␈↓ 
G␈ε⊗S␈↓ 
[␈εα)␈α⊃has
␈βε␈↓ βM␈εr␈↓ βZ␈ε→∃␈ε¬1
␈βε→␈↓ ↓H␈εαmeasure␈αzero.
␈βε≡␈↓ βE␈∧ε≡βE≠∂
␈βεs␈↓ α␈εαFrom␈αλthe␈α	existence␈αλof␈ε∂␈αλbinary␈εα␈αλsequences␈αλsatisfying␈α	De|nition␈αλR6,␈α	w␈α␈e␈αλcan␈αλsho␈α␈w
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εαthe␈α
existence␈α
of␈α
[␈αε0,␈αε1)␈α∞sequences␈α
that␈α
are␈α
random␈α∞in␈α
this␈α
sense.␈α⊂For␈α
details,␈α
see
␈βπI␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α36.␈αThe␈αconsistency␈αof␈αDe|nition␈αR6␈αis␈αthereby␈αestablished.
␈βλ$␈↓ ↓H␈ε∩E.␈α
Random␈α
|nite␈α∞sequences.␈εα␈α≠An␈α
argumen␈α␈t␈α∞was␈α
giv␈α␈en␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α∞to␈α
indicate␈α
that␈α
it
␈βλO␈↓ ↓H␈εαis␈αimpossible␈αto␈αde|ne␈αthe␈αconcept␈αof␈αrandomness␈αfor␈α|nite␈αsequences;␈αan␈α␈y␈αgiv␈α␈en
␈βλz␈↓ ↓H␈εα|nite␈αsequence␈α
is␈αas␈α
lik␈α␈ely␈αas␈α
an␈α␈y␈αother.␈α∞Still,␈αnearly␈α
ev␈α␈ery␈α␈one␈αw␈α␈ould␈α
agree␈αthat
␈β	%␈↓ ↓H␈εαthe␈αsequence␈α
011101001␈αis␈α
\more␈αrandom"␈α
than␈α101010101,␈α
and␈αev␈α␈en␈α
the␈αlatter
␈β	P␈↓ ↓H␈εαsequence␈αis␈α\more␈α
random"␈αthan␈α000000000.␈α
Although␈α
it␈αis␈αtrue␈α
that␈αtruly␈αran-
␈β	|␈↓ ↓H␈εαdom␈α
sequences␈α∞will␈α∞exhibit␈α
locally␈α∞nonrandom␈α
behavior,␈α∂w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α∞expect␈α
such
␈β
'␈↓ ↓H␈εαbehavior␈αonly␈αin␈αa␈αlong␈α|nite␈αsequence,␈αnot␈αin␈αa␈αshort␈αone.
␈β
V␈↓ α␈εαSev␈α␈eral␈α⊃ways␈α⊂for␈α⊃de|ning␈α⊂the␈α⊃randomness␈α⊃of␈α⊂a␈α⊃|nite␈α⊂sequence␈α⊃hav␈α␈e␈α⊂been
␈β↓␈↓ ↓H␈εαproposed,␈α
and␈αonly␈αa␈α
few␈αof␈α
the␈αideas␈α
will␈αbe␈αsk␈α␈etched␈α
here.␈αLet␈α
us␈αconsider␈α
only
␈β,␈↓ ↓H␈εαthe␈αcase␈αof␈↓ α|␈ελb␈↓ β
␈εα-ary␈αsequences.
␈β[␈↓ α␈εαGiv␈α␈en␈αa␈↓ β∪␈ελb␈↓ β!␈εα-ary␈αsequence␈↓ ¬↓␈ελX␈↓ ¬)␈εα,␈↓ ¬?␈ελX␈↓ ¬f␈εα,␈↓ ¬|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε,␈εα,␈↓ εB␈ελX␈↓ εv␈εα,␈αw␈α␈e␈αcan␈αsay␈αthat
␈βh␈↓ ¬~␈ε¬1␈↓ ¬X␈ε¬2␈↓ ε[␈εN
␈β!␈↓ βx␈ε↓␈␈↓ ∧J␈ε↓↓
␈β9␈↓ λu␈∧9λuα"
␈β:␈↓ λQ␈ε⊗p
␈β@␈↓ βT␈εαPr␈↓ ∧ε␈ελS␈↓ ∧≤␈εα(␈↓ ∧(␈ελn␈↓ ∧>␈εα)␈↓ ∧b␈ε⊗→␈↓ ¬⊂␈ελp␈↓ ¬"␈εα,␈↓ ¬z␈εαif␈↓ ε≤␈ε⊗j␈↓ ε&␈ελ↔␈↓ ε7␈εα(␈↓ εC␈ελN␈↓ εe␈εα)/␈↓ πβ␈ελN␈↓ π,␈ε⊗␈␈↓ πX␈ελp␈↓ πk␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
1/␈↓ λu␈ελN␈↓ 	⊗␈εα,
␈β
"␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α3␈ελ↔␈↓ αD␈εα(␈↓ αP␈ελn␈↓ αf␈εα)␈α⊂is␈α∂the␈α⊂quan␈α␈tity␈α∂appearing␈α⊂in␈α⊂De|nition␈α∂A␈α⊂at␈α⊂the␈α∂beginning␈α⊂of␈α∂this
␈β
M␈↓ ↓H␈εαsection.␈αThe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αsequence␈αcan␈αbe␈αcalled␈α\␈↓ εx␈ελk␈↓ π	␈εα-distributed"␈αif
␈β∞(␈↓ 	λ␈εk
␈β∞.␈↓ β↑␈εαPr␈↓ ∧α␈εα(␈↓ ∧∞␈ελX␈↓ ∧9␈ελX␈↓ ¬∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬E␈ελX␈↓ εP␈εα=␈↓ ε}␈ελx␈↓ π≥␈ελx␈↓ πB␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πr␈ελx␈↓ λ⊃␈εα)␈ε⊗␈α
→␈εα␈α
1/␈↓ λy␈ελb
␈β∞<␈↓ ∧'␈εn␈↓ ∧R␈εn␈↓ ∧d␈ε¬+␈α␈1␈↓ ¬↑␈εn␈↓ ¬p␈ε¬+␈↓ ε
␈εk␈↓ ε≠␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π∂␈ε¬1␈↓ π.␈ε¬2␈↓ λβ␈εk
␈β∞p␈↓ ¬>␈ε↓␈
␈β∂⊂␈↓ ↓H␈εαfor␈α	all␈↓ α+␈ελb␈↓ α:␈εα-ary␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧.␈ελx␈↓ ∧S␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬β␈ελx␈↓ ¬#␈εα.␈↓ ¬L␈εαCf.␈α	De|nition␈α	D␈↓ πH␈εα;␈α
unfortunately␈α	a␈α	sequence␈αλmay
␈β∂≠␈↓ 
I␈ε↓↓
␈β∂≥␈↓ ∧ ␈ε¬1␈↓ ∧?␈ε¬2␈↓ ¬∀␈εk
␈β∂;␈↓ ↓H␈εαbe␈↓ ↓x␈ελk␈↓ α	␈εα-distributed␈αby␈αthis␈αnew␈αde|nition␈αwhen␈αit␈αis␈αnot␈α(␈↓ λ#␈ελk␈↓ λ=␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)-distributed.
␈β∂j␈↓ α␈εαA␈α∞de|nition␈α
of␈α∞randomness␈α
may␈α∞no␈α␈w␈α∞be␈α
giv␈α␈en␈α∞analogous␈α
to␈α∞De|nition␈α
R1,
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εαas␈αfollo␈α␈ws:
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈α
Q1.␈ε∂␈α≠A␈↓ βl␈ελb␈↓ βz␈ε∂-ary␈α
sequence␈α∞of␈α
length␈↓ εw␈ελN␈↓ π&␈ε∂is␈α
\random"␈α∞if␈α
it␈α
is␈↓ 	c␈ελk␈↓ 	t␈ε∂-distributed
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∂(in␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αsense)␈αfor␈αall␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈↓ ε}␈ελk␈↓ π→␈ε⊗∀␈↓ πG␈εαlog␈↓ λπ␈ελN␈↓ λ)␈ε∂.
␈β⊃+␈↓ πu␈εb
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα161
␈βα(␈↓ α␈εαAccording␈α
to␈α
this␈α∞de|nition,␈α
for␈α
example,␈α∞there␈α
are␈α
170␈α
nonrandom␈α
binary
␈βαS␈↓ ↓H␈εαsequences␈αof␈αlength␈α11:
␈ββ≡␈↓ αB␈εα00000001111␈↓ ∧P␈εα10000000111␈↓ ε↑␈εα11000000011␈↓ λl␈εα11100000001
␈ββJ␈↓ αB␈εα00000001110␈↓ ∧P␈εα10000000110␈↓ ε↑␈εα11000000010␈↓ λl␈εα11100000000
␈ββu␈↓ αB␈εα00000001101␈↓ ∧P␈εα10000000101␈↓ ε↑␈εα11000000001␈↓ λl␈εα10100000001
␈β∧ ␈↓ αB␈εα00000001011␈↓ ∧P␈εα10000000011␈↓ ε↑␈εα01000000011␈↓ λl␈εα01100000001
␈β∧K␈↓ αB␈εα00000000111
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈εαplus␈α
01010101010␈α
and␈α
all␈α
sequences␈α∞with␈α
nine␈α
or␈α
more␈α∞zeros,␈α
plus␈α
all␈α
sequences
␈β¬;␈↓ ↓H␈εαobtained␈αfrom␈αthe␈αpreceding␈αsequences␈αby␈αin␈α␈terchanging␈αones␈αand␈αzeros.
␈β¬f␈↓ α␈εαSimilarly,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂form␈α␈ulate␈α⊂a␈α⊂de|nition␈α⊂for␈α⊂|nite␈α⊂sequences␈α⊂analogous␈α∂to
␈βε⊃␈↓ ↓H␈εαDe|nition␈α⊂R6.␈α↔Let␈ε∩␈α⊂A␈εα␈α⊂be␈α⊂a␈α⊂set␈α∂of␈α⊂algorithms,␈α⊃each␈α⊂of␈α⊂which␈α⊂is␈α⊂a␈α∂com␈α␈bination
␈βε<␈↓ ↓H␈εαselection␈αand␈α
choice␈αprocedure␈α
that␈αgiv␈α␈es␈α
a␈α
subsequence␈ε⊗␈αh␈↓ λQ␈ελX␈↓ 	∧␈ε⊗iR␈εα,␈α
as␈αin␈α
the␈αproof
␈βεJ␈↓ λj␈εs
␈βεR␈↓ λu␈ε
n
␈βεh␈↓ ↓H␈εαof␈αTheorem␈αM.
␈βπ'␈↓ ↓H␈ε∩De|nition␈αQ2.␈ε∂␈α⊗The␈↓ ∧ε␈ελb␈↓ ∧∃␈ε∂-ary␈αsequence␈↓ ¬s␈ελX␈↓ ε~␈ε∂,␈↓ ε/␈ελX␈↓ εW␈ε∂,␈↓ εl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π≤␈ε∂,␈↓ π1␈ελX␈↓ πp␈ε∂is␈εα␈α(␈↓ λ∨␈ελn␈↓ λ4␈εα,␈↓ λD␈ελ∂␈↓ λR␈εα)␈ε∂-random␈αwith␈αrespect
␈βπ4␈↓ ε␈ε¬1␈↓ εH␈ε¬2␈↓ πJ␈εN
␈βπR␈↓ ↓H␈ε∂to␈α
a␈α
set␈α
of␈α
algorithms␈ε∩␈α
A␈↓ ∧E␈ε∂,␈α∞if␈α
for␈α
ev␈α␈ery␈α
subsequence␈↓ πf␈ελX␈↓ λ∀␈ε∂,␈↓ λ+␈ελX␈↓ λY␈ε∂,␈↓ λp␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	 ␈ε∂,␈↓ 	7␈ελX␈↓ 	|␈ε∂determined
␈βπ←␈↓ π␈␈εt␈↓ λD␈εt␈↓ 	P␈εt
␈βπh␈↓ λλ␈επ1␈↓ λM␈επ2␈↓ 	Z␈ε
m
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ε∂by␈αan␈αalgorithm␈αof␈ε∩␈αA␈ε∂␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αeither␈↓ ε∩␈ελm␈↓ ε;␈εα<␈↓ εi␈ελn␈↓ π␈ε∂or
␈βλ.␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ε1␈ε↓␈
␈βλD␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ε1␈ε↓␈
␈βλM␈↓ β[␈εα1␈↓ ε≠␈εα1
␈βλZ␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ε1␈ε↓␈
␈βλd␈↓ βx␈ελ↔␈↓ ∧⊗␈εα(␈↓ ∧"␈ελX␈↓ ∧O␈εα,␈↓ ∧←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∂␈εα,␈↓ ¬∨␈ελX␈↓ ¬W␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εG␈ε⊗∀␈↓ εu␈ελ∂␈↓ πK␈ε∂for␈↓ λβ␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λM␈ελa␈↓ λi␈εα<␈↓ 	↔␈ελb␈↓ 	&␈εα.
␈βλo␈↓ βE␈ε↓␈␈↓ ε1␈ε↓␈
␈βλq␈↓ ∧π␈εa␈↓ ∧;␈εt␈↓ ¬8␈εt
␈βλt␈↓ βU␈∧λtβUα ␈↓ ε≠␈∧λtε≠α∩
␈βλz␈↓ ∧D␈επ1␈↓ ¬B␈ε
m
␈βλ|␈↓ βU␈ελm␈↓ ε≥␈ελb
␈β	L␈↓ ↓H␈ε∂Here␈↓ α≤␈ελ↔␈↓ α9␈εα(␈↓ αE␈ελx␈↓ αd␈εα,␈↓ αt␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β$␈εα,␈↓ β4␈ελx␈↓ β←␈εα)␈ε∂␈αis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈↓ ε¬␈ελa␈↓ ε↔␈ε∂'s␈αin␈αthe␈αsequence␈↓ λ7␈ελx␈↓ λV␈ε∂,␈↓ λl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	≤␈ε∂,␈↓ 	2␈ελx␈↓ 	\␈ε∂.
␈β	Y␈↓ α+␈εa␈↓ αV␈ε¬1␈↓ βE␈εm␈↓ λG␈ε¬1␈↓ 	B␈εm
␈β
␈↓ α␈εα(In␈αother␈αw␈α␈ords,␈αev␈α␈ery␈αsu}cien␈α␈tly␈αlong␈αsubsequence␈αdetermined␈αby␈αan␈αalgo-
␈β
7␈↓ ↓H␈εαrithm␈αof␈ε∩␈α
A␈εα␈α
m␈α␈ust␈α
be␈αappro␈α␈ximately␈α
equidistributed.)␈α∂The␈αbasic␈α
idea␈α
in␈α
this␈αcase
␈β
b␈↓ ↓H␈εαis␈αto␈α
let␈ε∩␈αA␈εα␈αbe␈α
a␈αset␈α
of␈α\simple"␈α
algorithms;␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α(and␈α
the␈αcomplexity)␈αof
␈β
␈↓ ↓H␈εαthe␈αalgorithms␈αin␈ε∩␈αA␈εα␈αcan␈αgro␈α␈w␈αas␈↓ ¬M␈ελN␈↓ ¬z␈εαgro␈α␈ws.
␈β8␈↓ α␈εαAs␈αan␈αexample␈αof␈αDe|nition␈αQ2,␈αlet␈αus␈αconsider␈αbinary␈αsequences,␈αand␈αlet␈ε∩␈αA
␈βc␈↓ ↓H␈εαbe␈αjust␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αfour␈αalgorithms:
␈β#␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαTak␈α␈e␈αthe␈αwhole␈αsequence.
␈βN␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαTak␈α␈e␈αalternate␈αterms␈αof␈αthe␈αsequence,␈αstarting␈αwith␈αthe␈α|rst.
␈βy␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαTak␈α␈e␈αthe␈αterms␈αof␈αthe␈αsequence␈αfollo␈α␈wing␈αa␈αzero.
␈β
$␈↓ ↓`␈εαd)␈↓ α␈εαTak␈α␈e␈αthe␈αterms␈αof␈αthe␈αsequence␈αfollo␈α␈wing␈αa␈αone.
␈β
`␈↓ ε≡␈ε¬1
␈β
c␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αa␈αsequence␈↓ ∧⊃␈ελX␈↓ ∧8␈εα,␈↓ ∧N␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧}␈εα,␈↓ ¬∀␈ελX␈↓ ¬H␈εαis␈α(4,␈↓ ε0␈εα)-random␈αif:
␈β
q␈↓ ∧*␈ε¬1␈↓ ¬-␈ε¬8
␈β
t␈↓ ε≡␈∧
tε≡α∂
␈β
v␈↓ ε≡␈ε¬8
␈β∞∨␈↓ α↑␈ε¬1␈↓ ¬"␈ε¬1␈↓ ¬z␈ε¬1
␈β∞#␈↓ ↓H␈εαby␈α∃(a),␈↓ αP␈ε⊗j␈↓ αq␈εα(␈↓ α⎇␈ελX␈↓ β,␈εα+␈↓ βX␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧
␈εα+␈↓ ∧6␈ελX␈↓ ∧↑␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬4␈ε⊗j␈α
∀␈↓ ε␈εα,␈αi.e.,␈αif␈αthere␈αare␈α3,␈α4,␈αor␈α5␈αones;
␈β∞0␈↓ β⊗␈ε¬1␈↓ ∧O␈ε¬8
␈β∞3␈↓ α↑␈∧∞3α↑α∂␈↓ ¬"␈∧∞3¬"α∂␈↓ ¬z␈∧∞3¬zα∂
␈β∞5␈↓ α↑␈ε¬8␈↓ ¬"␈ε¬2␈↓ ¬z␈ε¬8
␈β∞U␈↓ α↑␈ε¬1␈↓ ε	␈ε¬1␈↓ εk␈ε¬1
␈β∞X␈↓ ↓H␈εαby␈α∀(b),␈↓ αP␈ε⊗j␈↓ αq␈εα(␈↓ α⎇␈ελX␈↓ β.␈εα+␈↓ β\␈ελX␈↓ ∧
␈εα+␈↓ ∧;␈ελX␈↓ ∧l␈εα+␈↓ ¬~␈ελX␈↓ ¬A␈εα)␈ε⊗␈α
␈␈↓ ε≤␈ε⊗j␈α∞∀␈↓ ε⎇␈εα,␈α⊂i.e.,␈α∂if␈α∂there␈α∞are␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∂ones␈α∂in␈α∞odd-
␈β∞e␈↓ β⊗␈ε¬1␈↓ βu␈ε¬3␈↓ ∧T␈ε¬5␈↓ ¬3␈ε¬7
␈β∞h␈↓ α↑␈∧∞hα↑α∂␈↓ ε	␈∧∞hε	α∂␈↓ εk␈∧∞hεkα∂
␈β∞k␈↓ α↑␈ε¬4␈↓ ε	␈ε¬2␈↓ εk␈ε¬8
␈β∂β␈↓ αP␈εαn␈α␈um␈α␈bered␈αpositions;
␈β∂8␈↓ ↓H␈εαby␈α⊗(c),␈↓ αP␈εαthere␈αare␈αthree␈αpossibilities␈αdepending␈αon␈αho␈α␈w␈αman␈α␈y␈αzeros␈αoccupy␈αposi-
␈β∂c␈↓ αP␈εαtions␈↓ β+␈ελX␈↓ βR␈εα,␈↓ βl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧≤␈εα,␈↓ ∧5␈ελX␈↓ ∧\␈εα:␈α⊃if␈α∂there␈α∂are␈α∞2␈α∂or␈α∞3␈α∂zeros␈α∞here,␈α⊂there␈α∞is␈α∂no␈α∞condition
␈β∂q␈↓ βD␈ε¬1␈↓ ∧N␈ε¬7
␈β⊂∂␈↓ αP␈εαto␈α⊂test␈α∂(since␈↓ ∧0␈ελn␈↓ ∧U␈εα=␈α⊂4);␈α⊃if␈α∂there␈α∂are␈α∂4␈α⊂zeros,␈α⊂they␈α∂m␈α␈ust␈α∂respectiv␈α␈ely␈α∂be
␈β⊂:␈↓ αP␈εαfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αt␈α␈w␈α␈o␈αzeros␈αand␈αt␈α␈w␈α␈o␈αones;␈αand␈αif␈αthere␈αare␈α5␈αzeros,␈αthey␈αm␈α␈ust
␈β⊂e␈↓ αP␈εαrespectiv␈α␈ely␈αbe␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby␈αt␈α␈w␈α␈o␈αor␈αthree␈αzeros;
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαby␈α∀(d),␈↓ αP␈εαw␈α␈e␈αget␈αconditions␈αsimilar␈αto␈αthose␈αimplied␈αby␈α(c).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα162␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα!␈↓ α␈ε¬1
␈βα$␈↓ α␈εαIt␈αturns␈α
out␈αthat␈α
only␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈α
binary␈αsequences␈α
of␈αlength␈α8␈α
are␈α(4,␈↓ ∀␈εα)-
␈βα5␈↓ α␈∧α5αα∂
␈βα7␈↓ α␈ε¬8
␈βαP␈↓ ↓H␈εαrandom␈αwith␈αrespect␈αto␈αthese␈αrules:
␈ββ≠␈↓ β.␈εα00001011␈↓ ¬ε␈εα00101001␈↓ ε↑␈εα01001110␈↓ λ6␈εα01101000
␈ββG␈↓ β.␈εα00011010␈↓ ¬ε␈εα00101100␈↓ ε↑␈εα01011011␈↓ λ6␈εα01101100
␈ββr␈↓ β.␈εα00011011␈↓ ¬ε␈εα00110010␈↓ ε↑␈εα01011110␈↓ λ6␈εα01101101
␈β∧≥␈↓ β.␈εα00100011␈↓ ¬ε␈εα00110011␈↓ ε↑␈εα01100010␈↓ λ6␈εα01110010
␈β∧H␈↓ β.␈εα00100110␈↓ ¬ε␈εα00110110␈↓ ε↑␈εα01100011␈↓ λ6␈εα01110110
␈β∧s␈↓ β.␈εα00100111␈↓ ¬ε␈εα00111001␈↓ ε↑␈εα01100110
␈β¬8␈↓ ↓H␈εαplus␈αthose␈αobtained␈αby␈αin␈α␈terchanging␈α0␈αand␈α1␈αconsisten␈α␈tly.
␈β¬c␈↓ α␈εαIt␈α	is␈α	clear␈α	that␈α	w␈α␈e␈α	could␈α	mak␈α␈e␈α	the␈α	set␈α	of␈α	algorithms␈α	so␈α	large␈α	that␈αλno␈α	sequences
␈βε∂␈↓ ↓H␈εαsatisfy␈α∞the␈α∞de|nition,␈α∂when␈↓ ¬	␈ελn␈↓ ¬-␈εαand␈↓ ¬u␈ελ∂␈↓ ε∩␈εαare␈α∞reasonably␈α∞small.␈α∪A.␈α∞N.␈α∞Kolomogoro␈α␈v
␈βε:␈↓ ↓H␈εαhas␈α	pro␈α␈v␈α␈ed␈α
that␈α	an␈α
(␈↓ ∧␈ελn␈↓ ∧⊗␈εα,␈↓ ∧&␈ελ∂␈↓ ∧4␈εα)-random␈α	binary␈α
sequence␈ε∂␈α	will␈εα␈α
always␈α	exist,␈α
for␈α
an␈α␈y␈α	giv␈α␈en
␈βεe␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓i␈εα,␈αif␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αalgorithms␈αin␈ε∩␈αA␈εα␈αdoes␈αnot␈αex␈α␈ceed
␈βπ1␈↓ ¬c␈εα1
␈βπ>␈↓ ε5␈επ2
␈βπA␈↓ επ␈ε¬2␈↓ ε⊗␈εn␈↓ ε)␈ε∂␈↓ εA␈ε¬(␈α␈1␈ε→␈α↓␈␈↓ εu␈ε∂␈↓ π↓␈ε¬)
␈βπG␈↓ ¬y␈ελe␈↓ π␈εα.␈↓ 
p␈εα(35)
␈βπX␈↓ ¬c␈∧πX¬cα∩
␈βπ`␈↓ ¬c␈εα2
␈βλ%␈↓ ↓H␈εαThis␈αεresult␈απis␈απnot␈αεnearly␈απstrong␈απenough␈αεto␈απsho␈α␈w␈αεthat␈απsequences␈απsatisfying␈αεDe|nition
␈βλP␈↓ ↓H␈εαQ1␈α
will␈αexist,␈αbut␈α
the␈αlatter␈α
can␈αbe␈αconstructed␈α
e}cien␈α␈tly␈αusing␈α
the␈αprocedure␈α
of
␈βλ{␈↓ ↓H␈εαRees␈αin␈αex␈α␈ercise␈α3.2.2↑21.
␈β	&␈↓ α␈εαStill␈α⊂another␈α∂in␈α␈teresting␈α⊂approach␈α∂to␈α⊂a␈α∂de|nition␈α⊂of␈α∂randomness␈α⊂has␈α∂been
␈β	Q␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈en␈α
by␈αPer␈α
Martin-L␈↓ ∧1␈εα∪␈↓ ∧1␈εαo␈↓ ∧C␈εαf␈α
[␈ε∂Information␈α
and␈α
Con␈α␈trol␈ε∩␈α
9␈εα␈α
(1966),␈α
602↑619].␈α∂Giv␈α␈en␈αa
␈β	⎇␈↓ ↓H␈εα|nite␈↓ α$␈ελb␈↓ α2␈εα-ary␈αsequence␈↓ ∧∩␈ελX␈↓ ∧9␈εα,␈↓ ∧O␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈␈εα,␈↓ ¬∃␈ελX␈↓ ¬I␈εα,␈αlet␈↓ ε∪␈ελl␈↓ ε≥␈εα(␈↓ ε)␈ελX␈↓ εQ␈εα,␈↓ εa␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π⊃␈εα,␈↓ π!␈ελX␈↓ πT␈εα)␈αbe␈αthe␈αlength␈αof␈αthe␈αshortest
␈β

␈↓ ∧+␈ε¬1␈↓ ¬.␈εN␈↓ εB␈ε¬1␈↓ π:␈εN
␈β
(␈↓ ↓H␈εαTuring␈αλmachine␈αλprogram␈απthat␈αλgenerates␈αλthis␈αλsequence.␈α⊂(For␈αλa␈αλde|nition␈αλof␈απTuring
␈β
S␈↓ ↓H␈εαmachines,␈αsee␈αChapter␈α11;␈αalternativ␈α␈ely,␈αw␈α␈e␈αcould␈αuse␈αcertain␈αclasses␈αof␈αe{ectiv␈α␈e
␈β
}␈↓ ↓H␈εαalgorithms,␈α⊃such␈α⊂as␈α⊃those␈α⊂de|ned␈α⊂in␈α⊂ex␈α␈ercise␈α⊃1.1↑8.)␈α Then␈↓ 	∃␈ελl␈↓ 	∨␈εα(␈↓ 	+␈ελX␈↓ 	R␈εα,␈↓ 	b␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∩␈εα,␈↓ 
"␈ελX␈↓ 
V␈εα)␈α⊂is␈α⊂a
␈β␈↓ 	D␈ε¬1␈↓ 
;␈εN
␈β)␈↓ ↓H␈εαmeasure␈α
of␈α
the␈α
\patternlessness"␈α
of␈α
the␈α
sequence,␈α∞and␈α
w␈α␈e␈α
may␈α
equate␈α
this␈α
idea
␈βU␈↓ ↓H␈εαwith␈αrandomness.␈α∞The␈αsequences␈α
of␈αlength␈↓ εp␈ελN␈↓ π≡␈εαthat␈αmaximize␈↓ 	∂␈ελl␈↓ 	→␈εα(␈↓ 	%␈ελX␈↓ 	L␈εα,␈↓ 	\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈εα,␈↓ 
≤␈ελX␈↓ 
P␈εα)␈αmay
␈βb␈↓ 	>␈ε¬1␈↓ 
5␈εN
␈β␈↓ ↓H␈εαbe␈α
called␈α
random.␈α∃(From␈α
the␈α
standpoin␈α␈t␈α
of␈α
practical␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α
generation
␈β+␈↓ ↓H␈εαby␈α
computer,␈αthis␈α
is,␈αof␈α
course,␈αthe␈α
w␈α␈orst␈αde|nition␈α
of␈α
\randomness"␈αthat␈α
can␈α
be
␈βV␈↓ ↓H␈εαimagined!)
␈β
↓␈↓ α␈εαEssen␈α␈tially␈α	the␈αλsame␈α	de|nition␈αλof␈α	randomness␈αλwas␈α	independen␈α␈tly␈αλgiv␈α␈en␈α	by␈αλG.
␈β
-␈↓ ↓H␈εαChaitin␈αat␈αabout␈α
the␈αsame␈αtime;␈α
see␈ε∂␈αJA␈α␈CM␈ε∩␈α16␈εα␈α
(1969),␈α145↑159.␈α
It␈αis␈αin␈α␈teresting
␈β
X␈↓ ↓H␈εαto␈α
note␈α
that␈α
ev␈α␈en␈α
though␈α
this␈α∞de|nition␈α
mak␈α␈es␈α
no␈α
reference␈α
to␈α
equidistribution
␈β∞β␈↓ ↓H␈εαproperties␈αλas␈αλour␈αλother␈αλde|nitions␈αλhav␈α␈e,␈αλMartin-L␈↓ π?␈εα∪␈↓ π?␈εαo␈↓ πQ␈εαf␈αλand␈αλChaitin␈αλhav␈α␈e␈αλpro␈α␈v␈α␈ed␈αλthat
␈β∞.␈↓ ↓H␈εαrandom␈α	sequences␈α	of␈α	this␈α	type␈α	also␈α	hav␈α␈e␈α	the␈αλexpected␈α	equidistribution␈α	properties.
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εαIn␈α
fact,␈α
Martin-L␈↓ βR␈εα∪␈↓ βR␈εαo␈↓ βd␈εαf␈αhas␈α
demonstrated␈α
that␈α
such␈αsequences␈α
satisfy␈ε∂␈α
all␈εα␈α
computable
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εαstatistical␈αtests␈αfor␈αrandomness,␈αin␈αan␈αappropriate␈αsense.
␈β∂0␈↓ α␈εαFor␈α	further␈αλdev␈α␈opmen␈α␈ts␈αλin␈α	the␈αλde|nition␈α	of␈αλrandom␈α	|nite␈αλsequences,␈α	cf.␈α	A.␈αλK.
␈β∂[␈↓ ↓H␈εαZv␈α␈onkin␈α
and␈αL.␈αA.␈αLevin,␈ε∂␈αUspekhi␈αMat.␈α
Nauk␈ε∩␈α25␈εα,6␈α(No␈α␈v.␈α1970),␈α85↑127␈α
[English
␈β⊂ε␈↓ ↓H␈εαtranslation␈α∞in␈ε∂␈α∂Russian␈α∂Math.␈α∂Surv␈α␈eys␈ε∩␈α∞25␈εα,6␈α∂(No␈α␈v.␈α∀1970),␈α⊂83↑124];␈α⊂L.␈α∂A.␈α∞Levin,
␈β⊂1␈↓ ↓H␈ε∂Doklady␈αAkad.␈αNauk␈αSSSR␈ε∩␈α212␈εα␈α(1973),␈α548↑550.
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε∩F.␈α⊂Summary,␈α∩history,␈α⊃and␈α⊃bibliograph␈α␈y.␈εα␈α!We␈α⊃hav␈α␈e␈α⊂de|ned␈α⊂sev␈α␈eral␈α⊃degrees␈α⊂of
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαrandomness␈αthat␈αa␈αsequence␈αmigh␈α␈t␈αpossess.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα163
␈βα(␈↓ α␈εαAn␈α∪in|nite␈α∩sequence␈α∪that␈α∩is␈ε⊗␈α∪1␈εα-distributed␈α∩satis|es␈α∪a␈α∩great␈α∪man␈α␈y␈α∩useful
␈βαS␈↓ ↓H␈εαproperties␈α⊂that␈α⊂are␈α⊂expected␈α⊂of␈α⊂random␈α⊂sequences,␈α⊃and␈α⊂there␈α∂is␈α⊂a␈α⊂rich␈α⊂theory
␈βα}␈↓ ↓H␈εαconcerning␈ε⊗␈α1␈εα-distributed␈αsequences.␈α~(The␈αex␈α␈ercises␈αthat␈αfollo␈α␈w␈αdev␈α␈elop␈αsev␈α␈eral
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαimportan␈α␈t␈αproperties␈α
of␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed␈αsequences␈α
that␈α
hav␈α␈e␈αnot␈α
been␈αmen␈α␈tioned
␈ββU␈↓ ↓H␈εαin␈αλthe␈αλtext.)␈α⊃De|nition␈αλR1␈αλis␈α	therefore␈αλan␈αλappropriate␈α	basis␈αλfor␈αλtheoretical␈αλstudies
␈β∧␈↓ ↓H␈εαof␈αrandomness.
␈β∧-␈↓ α␈εαThe␈αconcept␈αof␈αan␈ε⊗␈α1␈εα-distributed␈↓ ε∨␈ελb␈↓ ε-␈εα-ary␈αsequence␈αwas␈αin␈α␈troduced␈αin␈α1909␈αby
␈β∧X␈↓ ↓H␈εαEmile␈α	Borel.␈αHe␈α	essen␈α␈tially␈α
de|ned␈α
the␈α	concept␈α
of␈α
an␈α	(␈↓ λ␈ελm␈↓ λ+␈εα,␈↓ λ;␈ελk␈↓ λM␈εα)-distributed␈α	sequence,
␈β¬β␈↓ ↓H␈εαand␈αsho␈α␈w␈α␈ed␈αthat␈αthe␈↓ ∧∀␈ελb␈↓ ∧#␈εα-ary␈αrepresen␈α␈tations␈αof␈αalmost␈αall␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈α(␈↓ 
S␈ελm␈↓ 
s␈εα,␈↓ β␈ελk␈↓ ∀␈εα)-
␈β¬.␈↓ ↓H␈εαdistributed␈αλfor␈αλall␈↓ β↑␈ελm␈↓ ∧ε␈εαand␈↓ ∧H␈ελk␈↓ ∧Z␈εα.␈αHe␈αλcalled␈αλsuch␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈ε∂␈αλnormal␈↓ λW␈εαto␈αλbase␈↓ 	K␈ελb␈↓ 	Z␈εα.␈α
An␈αλex␈α␈cellen␈α␈t
␈β¬Y␈↓ ↓H␈εαdiscussion␈αof␈αthis␈αtopic␈αappears␈αin␈αhis␈αw␈α␈ell-kno␈α␈wn␈αbook,␈ε∂␈αLe␈↓ λ\␈ε∂_␈↓ λa␈ε∂o␈↓ λs␈ε∂ns␈αsur␈αla␈αth␈↓ 
$␈ε∂∞␈↓ 
%␈ε∂e␈↓ 
5␈ε∂orie␈αdes
␈βε¬␈↓ ↓H␈ε∂fonctions␈εα␈α(2nd␈αed.,␈α1914),␈α182↑216.
␈βε1␈↓ α␈εαThe␈α
notion␈αof␈α
an␈ε⊗␈α
1␈εα-distributed␈αsequence␈α
of␈ε∂␈α
real␈εα␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈α
also␈αcalled␈α
a␈ε∂␈α
com-
␈βε\␈↓ ↓H␈ε∂pletely␈αequidistributed␈αsequence␈εα,␈αwas␈αin␈α␈troduced␈αby␈αN.␈αM.␈αKorobo␈α␈v␈αin␈ε∂␈αDoklady
␈βπλ␈↓ ↓H␈ε∂Akad.␈α∂Nauk␈α∂SSSR␈ε∩␈α⊂62␈εα␈α∂(1948),␈α⊂21↑22.␈α⊗He␈α∂and␈α⊂sev␈α␈eral␈α∂colleagues␈α∂dev␈α␈eloped␈α∂the
␈βπ3␈↓ ↓H␈εαtheory␈α
of␈αsuch␈α
sequences␈α
quite␈αextensiv␈α␈ely␈α
during␈αthe␈α
1950s␈αin␈α
a␈αseries␈α
of␈α
papers.
␈βπ↑␈↓ ↓H␈εαCompletely␈α⊃equidistributed␈α⊃sequences␈α∩w␈α␈ere␈α⊃independen␈α␈tly␈α⊃studied␈α∩by␈α⊃Joel␈α⊃N.
␈βλ	␈↓ ↓H␈εαFranklin,␈ε∂␈α∂Math.␈α∞Comp.␈ε∩␈α∞17␈εα␈α∂(1963),␈α∂28↑59,␈α∂in␈α∞a␈α∂paper␈α∞that␈α∂is␈α∞particularly␈α∞note-
␈βλ4␈↓ ↓H␈εαw␈α␈orth␈α␈y␈α∞because␈α∂it␈α∞was␈α∂inspired␈α∞by␈α∂the␈α∞problem␈α∞of␈α∂random-n␈α␈um␈α␈ber␈α∞generation.
␈βλ`␈↓ ↓H␈εαThe␈αbook␈ε∂␈αUniform␈αDistribution␈αof␈αSequences␈εα␈αby␈αL.␈αKuipers␈αand␈αH.␈αNiederreiter
␈β	␈↓ ↓H␈εα(New␈α∞York:␈α⊃Wiley,␈α∂1974)␈α∞is␈α∂an␈α∞extraordinarily␈α∞complete␈α∂source␈α∞of␈α∞information
␈β	6␈↓ ↓H␈εαabout␈αthe␈αrich␈αmathematical␈αliterature␈αconcerning␈↓ πf␈ελk␈↓ πw␈εα-distributed␈αsequences␈αof␈αall
␈β	a␈↓ ↓H␈εαkinds.
␈β
∞␈↓ α␈εαWe␈αλhav␈α␈e␈αλseen,␈α	ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α	that␈ε⊗␈αλ1␈εα-distributed␈αλsequences␈αλneed␈απnot␈αλbe␈αλsu}cien␈α␈tly
␈β
9␈↓ ↓H␈εαhaphazard␈α∞to␈α∞qualify␈α∞completely␈α∂as␈α∞\random."␈α∪Three␈α∞de|nitions,␈α∂R4,␈α∂R5,␈α∞and
␈β
d␈↓ ↓H␈εαR6,␈αw␈α␈ere␈α
form␈α␈ulated␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
to␈αpro␈α␈vide␈αthe␈α
additional␈αconditions;␈α
and␈αDe|nition
␈β∂␈↓ ↓H␈εαR6,␈α∞in␈α∂particular,␈α∞seems␈α∂to␈α∞be␈α∞an␈α∞appropriate␈α∞way␈α∞to␈α∂de|ne␈α∞the␈α∞concept␈α∞of␈α∞an
␈β:␈↓ ↓H␈εαin|nite␈α
random␈α∞sequence.␈α⊂It␈α∞is␈α∞a␈α
precise,␈α∞quan␈α␈titativ␈α␈e␈α∞statemen␈α␈t␈α
that␈α∞may␈α
w␈α␈ell
␈βf␈↓ ↓H␈εαcoincide␈αwith␈αthe␈αin␈α␈tuitiv␈α␈e␈αidea␈αof␈αtrue␈αrandomness.
␈β∩␈↓ α␈εαHistorically,␈α∂the␈α∞dev␈α␈elopmen␈α␈t␈α∞of␈α
these␈α∞de|nitions␈α∞was␈α∞primarily␈α∞in⎇uenced
␈β=␈↓ ↓H␈εαby␈α	R.␈α	v␈α␈on␈α	Mises'␈α	quest␈α	for␈α	a␈α	good␈α	de|nition␈αλof␈α	\probability."␈αIn␈ε∂␈α	Math.␈α	Zeitschrift
␈βi␈↓ ↓H␈ε∩5␈εα␈α	(1919),␈α	52↑99,␈α
v␈α␈on␈α	Mises␈α	proposed␈α	a␈α	de|nition␈α	similar␈α	in␈α	spirit␈α	to␈α	De|nition␈α	R5,
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαalthough␈αstated␈αtoo␈αstrongly␈α(lik␈α␈e␈αour␈αDe|nition␈αR3)␈αso␈αthat␈αno␈αsequences␈αsatis-
␈β
?␈↓ ↓H␈εαfying␈αthe␈αconditions␈αcould␈αpossibly␈αexist.␈αMan␈α␈y␈αpeople␈αnoticed␈αthis␈αdiscrepancy,
␈β
j␈↓ ↓H␈εαand␈α∞A.␈α∞H.␈α∞Copeland␈α∞[␈ε∂Amer.␈α∞J.␈α∞Math.␈ε∩␈α∞50␈εα␈α∞(1928),␈α∞535↑552]␈α∞suggested␈α∞w␈α␈eak␈α␈ening
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαv␈α␈on␈α∞Mises'␈α∂de|nition␈α∞by␈α∂substituting␈α∂what␈α∞he␈α∂called␈α∞\admissible␈α∂n␈α␈um␈α␈bers"␈α∞(or
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαBernoulli␈α
sequences).␈α⊃These␈α∞are␈α
equivalen␈α␈t␈α∞to␈ε⊗␈α∞1␈εα-distributed␈α
[␈αε0,␈αε1)␈α∞sequences␈α
in
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαwhich␈α⊂all␈α⊂en␈α␈tries␈↓ βa␈ελU␈↓ ∧~␈εαhav␈α␈e␈α⊃been␈α⊂replaced␈α⊂by␈α⊂1␈α⊃if␈↓ π←␈ελU␈↓ λ→␈εα<␈↓ λN␈ελp␈↓ λp␈εαor␈α⊂by␈α⊃0␈α⊂if␈↓ 
!␈ελU␈↓ 
[␈ε⊗∃␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα,
␈β∞y␈↓ βx␈εn␈↓ πv␈εn␈↓ 
8␈εn
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαfor␈αa␈αgiv␈α␈en␈αprobability␈↓ ∧8␈ελp␈↓ ∧J␈εα.␈α
Th␈α␈us␈αCopeland␈αwas␈αessen␈α␈tially␈α
suggesting␈αa␈αreturn␈αto
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαDe|nition␈α
R1.␈α∂Then␈α
Abraham␈α
Wald␈α
sho␈α␈w␈α␈ed␈α
that␈α
it␈αis␈α
not␈α
necessary␈α
to␈α
w␈α␈eak␈α␈en
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαv␈α␈on␈α
Mises'␈α
de|nition␈α
so␈α
drastically,␈α
and␈α
he␈α
proposed␈α
substituting␈α
a␈α
coun␈α␈table␈α
set
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαof␈α	subsequence␈α	rules.␈αIn␈α	an␈α	importan␈α␈t␈α
paper␈α	[␈ε∂Ergebnisse␈α	eines␈α	math.␈α	Kolloquiums
␈β⊂D␈↓ ↓H␈ε∩8␈εα␈α∩(Vienna,␈α∀1937),␈α∪38↑72],␈α∀Wald␈α∩essen␈α␈tially␈α∩pro␈α␈v␈α␈ed␈α∩Theorem␈α∪W␈↓ 	O␈εα,␈α∪although␈α∩he
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαmade␈α⊂the␈α⊂erroneous␈α⊂assertion␈α⊂that␈α⊂the␈α⊂sequence␈α⊂constructed␈α⊂by␈α⊂Algorithm␈α⊂W
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαalso␈α⊂satis|es␈α⊂the␈α⊂stronger␈α⊂condition␈α⊂that␈↓ εb␈εαPr␈↓ πε␈εα(␈↓ π∩␈ελU␈↓ πK␈ε⊗2␈↓ πx␈ελA␈↓ λ⊂␈εα)␈α⊃=␈↓ λa␈εαmeasure␈αof␈↓ 
↔␈ελA␈↓ 
/␈εα,␈α⊃for␈α⊂all
␈β⊃(␈↓ π)␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα164␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα&␈↓ ↓H␈εαLebesgue␈α
measurable␈↓ ∧≤␈ελA␈↓ ∧>␈ε⊗∩␈εα␈α
[␈αε0,␈αε1).␈αWe␈α
hav␈α␈e␈αobserv␈α␈ed␈α
that␈α
no␈αsequence␈α
can␈α
satisfy
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαthis␈αproperty.
␈βα}␈↓ α␈εαThe␈αλconcept␈αλof␈αλ\computability"␈αλwas␈αλstill␈αλv␈α␈ery␈αλm␈α␈uch␈αλin␈αλits␈αλinfancy␈αλwhen␈αλWald
␈ββ)␈↓ ↓H␈εαwrote␈α⊂his␈α⊂paper,␈α⊃and␈α⊂A.␈α⊂Ch␈α␈urch␈α⊃[␈ε∂Bull.␈α⊂Amer.␈α⊂Math.␈α⊂Soc.␈ε∩␈α⊂47␈εα␈α⊂(1940),␈α⊃130↑135]
␈ββT␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈w␈α␈ed␈α
ho␈α␈w␈α
the␈α
precise␈α
notion␈α
of␈α
\e{ectiv␈α␈e␈α
algorithm"␈α
could␈α
be␈α
added␈α
to␈α
Wald's
␈β∧␈↓ ↓H␈εαtheory␈αto␈α
mak␈α␈e␈αhis␈α
de|nitions␈αcompletely␈α
rigorous.␈α
The␈αextension␈α
to␈αDe|nition
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαR6␈αwas␈αdue␈αessen␈α␈tially␈αto␈αA.␈αN.␈αKolmogoro␈α␈v␈α[␈ε∂Sankh␈α␈y␈↓ λ⊂␈ε∂∩␈↓ λ⊂␈ε∂a␈↓ λ.␈εαseries␈αA,␈ε∩␈α25␈εα␈α(1963),␈α369↑
␈β∧V␈↓ ↓H␈εα376],␈αλwho␈αλproposed␈αλDe|nition␈αλQ2␈αλfor␈αλ|nite␈αλsequences␈αλin␈αλthat␈αλsame␈αλpaper.␈α
Another
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαde|nition␈α
of␈α
randomness␈α
for␈α
|nite␈α
sequences,␈α
somewhere␈α
\bet␈α␈w␈α␈een"␈α
De|nitions
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαQ1␈α
and␈αQ2,␈αhad␈αbeen␈α
form␈α␈ulated␈αman␈α␈y␈αy␈α␈ears␈α
earlier␈αby␈α
A.␈αS.␈αBesico␈α␈vitch␈α
[␈ε∂Math.
␈β¬X␈↓ ↓H␈ε∂Zeitschrift␈ε∩␈α39␈εα␈α(1934),␈α146↑156].
␈βε∧␈↓ α␈εαThe␈α∩publications␈α∩of␈α∩Ch␈α␈urch␈α⊃and␈α∩Kolmogoro␈α␈v␈α∩considered␈α∩only␈α∩binary␈α⊃se-
␈βε/␈↓ ↓H␈εαquences␈α∂for␈α∂which␈↓ βu␈εαPr␈↓ ∧→␈εα(␈↓ ∧%␈ελX␈↓ ∧`␈εα=␈α∂1)␈α∂=␈↓ ¬t␈ελp␈↓ ε∃␈εαfor␈α⊂a␈α∂giv␈α␈en␈α∂probability␈↓ 	⊃␈ελp␈↓ 	$␈εα.␈α∃Our␈α∂discussion
␈βε=␈↓ ∧>␈εn
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαin␈αthis␈αsection␈αhas␈α
been␈αsligh␈α␈tly␈αmore␈αgeneral,␈α
since␈αa␈α[␈αε0,␈αε1)␈αsequence␈αessen␈α␈tially
␈βπε␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈ts␈α	all␈↓ β≡␈ελp␈↓ β:␈εαat␈α	once.␈αThe␈α	v␈α␈on␈α
Mises↑Wald↑Ch␈α␈urch␈α
de|nition␈α	has␈α
been␈α	re|ned
␈βπ1␈↓ ↓H␈εαin␈α∞y␈α␈et␈α∂another␈α∞in␈α␈teresting␈α∂way␈α∞by␈α∂J.␈α∞V.␈α∂Ho␈α␈ward,␈ε∂␈α∂Zeitschr.␈α∂f.␈α∞math.␈α∂Logik␈α∞und
␈βπ\␈↓ ↓H␈ε∂Grundlagen␈αd.␈αMath.␈ε∩␈α21␈εα␈α(1975),␈α215↑224.
␈βλλ␈↓ α␈εαAnother␈αλimportan␈α␈t␈α	con␈α␈tribution␈αλwas␈αλmade␈αλby␈α	Donald␈αλW.␈αλLo␈α␈v␈α␈eland␈αλ[␈ε∂Zeitschr.
␈βλ4␈↓ ↓H␈ε∂f.␈α⊂math.␈α⊃Logik␈α⊂und␈α⊃Grundlagen␈α⊃d.␈α⊂Math.␈ε∩␈α⊃12␈εα␈α⊂(1966),␈α∩279↑294],␈α∩who␈α⊂discussed
␈βλ←␈↓ ↓H␈εαDe|nitions␈α	R4,␈α
R5,␈α	R6,␈α
and␈α	sev␈α␈eral␈α
in␈α␈termediate␈α	concepts.␈αLo␈α␈v␈α␈eland␈α	pro␈α␈v␈α␈ed␈α	that
␈β	
␈↓ ↓H␈εαthere␈αare␈αR5-random␈αsequences␈αthat␈αdo␈αnot␈αsatisfy␈αR4,␈αthereby␈αestablishing␈αthe
␈β	5␈↓ ↓H␈εαneed␈α∂for␈α∂a␈α⊂stronger␈α∂de|nition␈α∂such␈α⊂as␈α∂R6.␈α⊗In␈α∂fact,␈α⊂he␈α⊂de|ned␈α∂a␈α∂rather␈α∂simple
␈β	[␈↓ 	␈␈ε→0
␈β	`␈↓ ↓H␈εαperm␈α␈utation␈ε⊗␈αh␈↓ β!␈ελf␈↓ β2␈εα(␈↓ β>␈ελn␈↓ βT␈εα)␈ε⊗i␈εα␈αof␈αthe␈αnonnegativ␈α␈e␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αan␈αAlgorithm␈αW␈↓ 
∩␈εαanalogous
␈β
λ␈↓ ¬¬␈∧
λ¬¬α$␈↓ εB␈ε¬1␈↓ λT␈ε¬1␈↓ 	6␈ε¬1
␈β
␈↓ ↓H␈εαto␈α∞Algorithm␈α∞W␈↓ βH␈εα,␈α∂such␈α∞that␈↓ ¬¬␈εαPr␈↓ ¬)␈εα(␈↓ ¬5␈ελU␈↓ ε␈ε⊗∃␈↓ εT␈εα)␈ε⊗␈α
␈␈↓ π↔␈εαPr␈↓ π;␈εα(␈↓ πG␈ελU␈↓ λ∨␈ε⊗∃␈↓ λg␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ 	V␈εαfor␈α∞ev␈α␈ery␈α∞R5-
␈β
~␈↓ ¬L␈εf␈↓ ¬Z␈ε¬(␈↓ ¬c␈εn␈↓ ¬u␈ε¬)␈↓ π↑␈εf␈↓ πl␈ε¬(␈↓ πv␈εn␈↓ λλ␈ε¬)
␈β
≤␈↓ εB␈∧
≤εBα∂␈↓ λT␈∧
≤λTα∂␈↓ 	6␈∧
≤	6α∂
␈β
≡␈↓ εB␈ε¬2␈↓ λT␈ε¬2␈↓ 	6␈ε¬2
␈β
)␈↓ π↔␈∧
)π↔α$
␈β
2␈↓ πE␈ε→0
␈β
7␈↓ ↓H␈εαrandom␈α
sequence␈ε⊗␈αh␈↓ βi␈ελU␈↓ ∧∩␈ε⊗i␈εα␈αproduced␈αby␈α
Algorithm␈αW␈↓ πW␈εαwhen␈αit␈α
is␈αgiv␈α␈en␈αan␈αin|nite␈α
set
␈β
D␈↓ ∧␈εn
␈β
b␈↓ ↓H␈εαof␈αsubsequence␈αrules␈↓ ∧∩␈ε⊗R␈↓ ∧>␈εα.
␈β
o␈↓ ∧0␈εk
␈β∂␈↓ α␈εαAlthough␈α	De|nition␈αλR6␈α	is␈αλin␈α␈tuitiv␈α␈ely␈α	m␈α␈uch␈αλstronger␈α	than␈αλR4,␈α	it␈α	is␈αλapparen␈α␈tly
␈β:␈↓ ↓H␈εαnot␈α
a␈α
simple␈α
matter␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
this␈α
rigorously,␈α
and␈α
for␈α
sev␈α␈eral␈α
y␈α␈ears␈α
it␈α
was␈α
an␈α
open
␈βe␈↓ ↓H␈εαquestion␈α
whether␈α∞or␈α
not␈α∞R4␈α
implies␈α∞R6.␈α⊂Finally␈α
Thomas␈α∞Herzog␈α
and␈α∞James␈α
C.
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαOwings,␈αJr.,␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈α
ho␈α␈w␈αto␈αconstruct␈αa␈αlarge␈α
family␈αof␈αsequences␈αthat␈α
satisfy
␈β;␈↓ ↓H␈εαR4␈α	but␈α	not␈α	R6.␈α∩[See␈ε∂␈α	Zeitschr.␈α	f.␈α	math.␈α	Logik␈α	und␈αλGrundlagen␈α	d.␈α	Math.␈ε∩␈α	22␈εα␈α	(1976),
␈βg␈↓ ↓H␈εα385↑389.]
␈β
∪␈↓ α␈εαKolmogoro␈α␈v␈αwrote␈αanother␈α
signi|can␈α␈t␈αpaper␈α[␈ε∂Problem␈α␈y␈αPereda␈↓ 	[␈ε∂⊂␈↓ 	\␈ε∂c␈↓ 	l␈ε∂i␈α
Informatsii
␈β
>␈↓ ↓H␈ε∩1␈εα␈α(1965),␈α3↑11]␈αin␈αwhich␈αhe␈αconsidered␈αthe␈αproblem␈αof␈αde|ning␈αthe␈α\information
␈β
i␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈ten␈α␈t"␈α	of␈α	a␈α
sequence,␈α
and␈α	this␈α	w␈α␈ork␈α
led␈α	to␈α	Chaitin␈α
and␈α	Martin-L␈↓ 	H␈εα∪␈↓ 	H␈εαo␈↓ 	Z␈εαf's␈α	in␈α␈teresting
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαde|nition␈α∞of␈α∂|nite␈α∂random␈α∂sequences␈α∂via␈α∂\patternlessness."␈α≡[See␈ε∂␈α∂IEEE␈α∞Trans.
␈β∞@␈↓ ↓H␈ε∩IT-14␈εα␈α(1968),␈α662↑664.]
␈β∞l␈↓ α␈εαFor␈α
a␈αphilosophical␈αdiscussion␈α
of␈αrandom␈α
sequences,␈αsee␈α
K.␈αR.␈α
Popper,␈ε∂␈αThe
␈β∂_␈↓ ↓H␈ε∂Logic␈α
of␈αScien␈α␈ti|c␈αDisco␈α␈v␈α␈ery␈εα␈α
(London,␈α1959),␈αespecially␈αthe␈αin␈α␈teresting␈α
construc-
␈β∂C␈↓ ↓H␈εαtion␈αon␈αpp.␈α162↑163,␈αwhich␈αhe␈α|rst␈αpublished␈αin␈α1934.
␈β∂o␈↓ α␈εαFurther␈απconnections␈απbet␈α␈w␈α␈een␈απrandom␈απsequences␈απand␈απrecursiv␈α␈e␈απfunction␈αεtheory
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αλbeen␈αλexplored␈αλby␈αλD.␈α	W.␈αλLo␈α␈v␈α␈eland,␈ε∂␈α	Trans.␈αλAmer.␈αλMath.␈αλSoc.␈ε∩␈αλ125␈εα␈α	(1966),␈αλ497↑
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εα510.␈α∞See␈αalso␈α
C.-P.␈α
Schnorr␈α[␈ε∂Zeitschr.␈α
Wahr.␈α
v␈α␈erw.␈αGeb.␈ε∩␈α
14␈εα␈α
(1969),␈α
27↑35],␈αwho
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαfound␈α∞strong␈α∂relations␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α∂random␈α∞sequences␈α∂and␈α∞the␈α∞\species␈α∂of␈α∞measure
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαzero"␈αλde|ned␈α	by␈α	L.␈α	E.␈α	J.␈αλBrouw␈α␈er␈α	in␈α	1919.␈αSchnorr's␈α	subsequen␈α␈t␈α	book␈ε∂␈αλZuf␈↓ 
/␈ε∂∪␈↓ 
/␈ε∂a␈↓ 
A␈ε∂lligk␈α␈eit
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα165
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∂und␈α∂Wahrscheinlichk␈α␈eit␈εα␈α⊂[␈ε∂Lecture␈α∂Notes␈α⊂in␈α∂Math.␈ε∩␈α⊂218␈εα␈α∂(Berlin:␈α∪Springer,␈α⊂1971)]
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈es␈α⊂a␈α∂detailed␈α⊂treatmen␈α␈t␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂en␈α␈tire␈α⊂subject␈α⊂of␈α⊂randomness␈α⊂and␈α⊂mak␈α␈es␈α∂an
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cellen␈α␈t␈αin␈α␈troduction␈αto␈αthe␈αev␈α␈er-gro␈α␈wing␈αadvanced␈αliterature␈αon␈αthe␈αtopic.
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β∧M␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Can␈α
a␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈dic␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αb␈α␈e␈αequ␈α␈idistribu␈α␈ted␈α␈?
␈β∧␈␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Con␈α␈sider␈α∂th␈α␈e␈α∂p␈α␈eriodic␈α∂b␈α␈ina␈α␈ry␈α∂seq␈α␈uen␈α␈ce␈α∂0␈α␈,␈α⊃0␈α␈,␈α⊂1,␈α⊂1,␈α⊂0,␈α⊂0,␈α⊂1␈α␈,␈α⊃1␈α␈,␈↓ 	s␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
$␈εβ.␈α↔I␈α↓s␈α∂it␈α∂1␈α␈-
␈β¬'␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ted?␈αIs␈αit␈α2-d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α␈?␈αIs␈αi␈α↓t␈α3␈α␈-distribu␈α␈ted␈α␈?
␈β¬Y␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈nstru␈α␈ct␈αa␈αp␈α␈eriod␈α␈i␈α↓c␈αte␈α␈rna␈α␈ry␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αth␈α␈at␈αis␈α3-distrib␈α␈uted␈α␈.
␈βεπ␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ ∧>␈ε~b␈↓ ∧H␈εεlg␈↓ ∧\␈εε(␈↓ ∧d␈εn␈↓ ∧t␈εε+␈α↓1␈α␈)␈ε~␈α↓c␈↓ λO␈εε1
␈βε␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βI␈ε	U␈↓ βx␈εβ=␈α
(␈↓ ∧.␈εβ2␈↓ ¬,␈εβ/3)␈↓ ¬↑␈εβmod␈↓ ε#␈εβ1␈α␈.␈αWha␈α␈t␈αi␈α↓s␈↓ πF␈εβPr␈↓ πg␈εβ(␈↓ πr␈ε	U␈↓ λ!␈εβ<␈↓ λ←␈εβ)?
␈βε∃␈↓ β↑␈εn␈↓ λπ␈εn
␈βε→␈↓ λO␈∧ε→λOα
␈βε≠␈↓ λO␈εε2
␈βε:␈↓ ∧P␈εα(␈↓ ε(␈εα)␈↓ πβ␈εα(␈↓ λC␈εα)␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	o␈εα)␈↓ 
J␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈βε=␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈14␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈↓ ∧/␈εβPr␈↓ ∧\␈ε	S␈↓ ∧q␈εβ(␈↓ ∧|␈ε	n␈↓ ¬⊂␈εβ)␈↓ ¬&␈εβan␈α␈d␈↓ ¬g␈ε	T␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε	␈ε	n␈↓ ε≥␈εβ)␈↓ ε:␈εβ+␈↓ εb␈εβPr␈↓ π∂␈ε	S␈↓ π$␈εβ(␈↓ π/␈ε	n␈↓ πC␈εβ)␈↓ πY␈εβor␈↓ λα␈ε	T␈↓ λ→␈εβ(␈↓ λ$␈ε	n␈↓ λ8␈εβ)␈↓ λX␈εβ=␈↓ 	β␈εβPr␈↓ 	0␈ε	S␈↓ 	E␈εβ(␈↓ 	P␈ε	n␈↓ 	d␈εβ)␈↓ 
↓␈εβ+␈↓ 
(␈εβP␈α↓r␈↓ 
V␈ε	T␈↓ 
m␈εβ(␈↓ 
x␈ε	n␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βεd␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αan␈α}y␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
state␈α␈men␈α␈ts␈↓ ∧ ␈ε	S␈↓ ∧5␈εβ(␈↓ ∧@␈ε	n␈↓ ∧T␈εβ),␈↓ ∧s␈ε	T␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	n␈↓ ¬)␈εβ),␈αpro␈α␈v␈α␈ided␈α
th␈α␈at␈αa␈α␈t␈αleast␈αt␈α␈hree␈α
of␈αth␈α␈e␈αlimits␈αex␈α␈i␈α↓s␈α␈t.␈αFo␈α␈r
␈βπ␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple,␈αif␈αa␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈αi␈α↓s␈α2␈α␈-distribu␈α␈ted␈α␈,␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈α|␈α␈nd␈αth␈α␈at
␈βπY␈↓ ↓n␈εβP␈α↓r␈↓ α⊂␈εβ(␈↓ α≠␈ε	u␈↓ αD␈ε↔∀␈↓ αn␈ε	U␈↓ β≥␈εβ<␈↓ βH␈ε	v␈↓ βn␈εβor␈↓ ∧↔␈ε	u␈↓ ∧@␈ε↔∀␈↓ ∧j␈ε	U␈↓ ¬?␈εβ<␈↓ ¬i␈ε	v␈↓ ε¬␈εβ)␈α	=␈↓ εD␈ε	v␈↓ εf␈ε↔␈␈↓ π∂␈ε	u␈↓ π6␈εβ+␈↓ π←␈ε	v␈↓ λ↓␈ε↔␈␈↓ λ*␈ε	u␈↓ λQ␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ 	¬␈ε	v␈↓ 	(␈ε↔␈␈↓ 	P␈ε	u␈↓ 	p␈εβ)(␈↓ 
ε␈ε	v␈↓ 
)␈ε↔␈␈↓ 
R␈ε	u␈↓ 
r␈εβ).
␈βπc␈↓ α.␈εε1␈↓ ββ␈εn␈↓ βV␈εε1␈↓ ∧*␈εε2␈↓ ∧␈␈εn␈↓ ¬⊂␈εε+1␈↓ ¬x␈εε2␈↓ εR␈εε1␈↓ π"␈εε1␈↓ πm␈εε2␈↓ λ=␈εε2␈↓ 	∀␈εε1␈↓ 	d␈εε1␈↓ 
∃␈εε2␈↓ 
e␈εε2
␈βλ0␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βH␈ε	S␈↓ βe␈εβ(␈↓ βq␈ε	n␈↓ ∧¬␈εβ),␈↓ ∧#␈ε	S␈↓ ∧A␈εβ(␈↓ ∧L␈ε	n␈↓ ∧`␈εβ),␈↓ ∧}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬/␈εβbe␈α
an␈α	in|␈α␈nite␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈α
of␈α
state␈α␈men␈α␈t␈α␈s␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α
m␈α␈u␈α␈tua␈α␈l␈α↓ly
␈βλ;␈↓ βY␈εε1␈↓ ∧4␈εε2
␈βλX␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isjoin␈α␈t␈α
ev␈α␈e␈α␈n␈α␈ts;␈α∞i␈α↓.e.,␈↓ βu␈ε	S␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≠␈ε	n␈↓ ∧/␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓ ¬␈ε	S␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬3␈ε	n␈↓ ¬G␈εβ)␈α
ca␈α␈nn␈α␈ot␈α
sim␈α␈ultan␈α␈eou␈α␈sly␈α
be␈α
tru␈α␈e␈α
if␈↓ 	L␈ε	i␈↓ 	e␈ε↔≤␈↓ 
∀␈ε	j␈↓ 
#␈εβ.␈α⊃Assume
␈βλb␈↓ ∧ε␈εi␈↓ ¬≠␈εj
␈βλ|␈↓ α4␈εα(␈↓ βπ␈εα)␈↓ πG␈εα(␈↓ 
q␈εα)
␈βλ␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∪␈εβPr␈↓ α@␈ε	S␈↓ α]␈εβ(␈↓ αh␈ε	n␈↓ α|␈εβ)␈↓ β!␈εβex␈α␈i␈α↓s␈α␈ts␈α∞for␈α∞eac␈α␈h␈↓ ¬ε␈ε	j␈↓ ¬#␈ε↔∃␈εβ␈α∞1.␈α∀Sh␈α␈o␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈↓ π&␈εβPr␈↓ πS␈ε	S␈↓ πp␈εβ(␈↓ π{␈ε	n␈↓ λ∂␈εβ)␈↓ λ%␈εβi␈α↓s␈αtr␈α␈ue␈αfor␈αso␈α␈me␈↓ 
∀␈ε	j␈↓ 
1␈ε↔∃␈εβ␈α∞1␈↓ ␈ε↔∃
␈β		␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β	
␈↓ αQ␈εj␈↓ πd␈εj
␈β	→␈↓ π&␈∧	→π&α"
␈β	$␈↓ αF␈εα(␈↓ β→␈εα)
␈β	'␈↓ α%␈εβPr␈↓ αR␈ε	S␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε	n␈↓ β∞␈εβ)␈↓ β%␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
giv␈α␈e␈αa␈α␈n␈αex␈α␈amp␈α␈le␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αe␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ty␈α
ne␈α␈ed␈αn␈α␈ot␈αho␈α␈ld.
␈β	2␈↓ αc␈εj
␈β	:␈↓ ↓n␈εj␈↓ ↓z␈ε~∃␈εε1
␈β	]␈↓ 	α␈εα(␈↓ 	←␈εα)
␈β	`␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈27␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈ε↔␈αf␈↓ β[␈ε	S␈↓ ∧α␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧!␈εβ)␈ε↔g␈εβ␈αb␈α␈e␈αa␈αfa␈α␈mil␈α↓y␈αof␈αsta␈α␈temen␈α}ts␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ λa␈εβPr␈↓ 	∞␈ε	S␈↓ 	5␈εβ(␈↓ 	@␈ε	n␈↓ 	T␈εβ)␈↓ 	w␈εβexists␈αfo␈α␈r␈αall
␈β	j␈↓ βk␈εi␈↓ βv␈εj␈↓ 	≡␈εi␈↓ 	)␈εj
␈β
π␈↓ ↓H␈ε	i␈↓ ↓T␈εβ,␈↓ ↓c␈ε	j␈↓ ↓|␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈.␈α
Assume␈αth␈α␈at␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ ∧u␈ε	n␈↓ ¬∪␈εβ>␈α
0,␈↓ ¬d␈ε	S␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε⊗␈ε	n␈↓ ε*␈εβ)␈αis␈αtru␈α␈e␈αfor␈αex␈α␈actly␈αon␈α␈e␈αp␈α␈air␈αo␈α␈f␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ 
y␈ε	i␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ∀␈ε	j␈↓ #␈εβ.
␈β
⊃␈↓ ↓i␈ε↓P
␈β
∩␈↓ ¬u␈εi␈↓ ¬␈␈εj
␈β
,␈↓ αz␈εα(␈↓ βW␈εα)␈↓ ππ␈εα(␈↓ 
3␈εα)
␈β
/␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ αX␈εβP␈α↓r␈↓ βε␈ε	S␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	n␈↓ βL␈εβ)␈↓ βm␈εβ=␈α1␈α␈,␈αdo␈α␈es␈αit␈αf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈αth␈α␈at␈α\␈↓ εe␈εβP␈α↓r␈↓ π∪␈ε	S␈↓ π:␈εβ(␈↓ πE␈ε	n␈↓ πY␈εβ)␈↓ πo␈εβi␈α↓s␈αtr␈α␈ue␈αfor␈αso␈α␈me␈↓ 	↑␈ε	j␈↓ 	w␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈↓ 
?␈εβ"␈αex␈α␈i␈α↓st␈α␈s
␈β
:␈↓ β⊗␈εi␈↓ β!␈εj␈↓ π#␈εi␈↓ π.␈εj
␈β
?␈↓ ¬≥␈ε↓P
␈β
B␈↓ α∂␈εi␈↓ α~␈εε,␈↓ α!␈εj␈↓ α-␈ε~∃␈εε1
␈β
Z␈↓ ε≤␈εα(␈↓ εz␈εα)
␈β
]␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ α*␈ε	i␈↓ α@␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈αan␈α␈d␈αth␈α␈at␈αit␈αequ␈α␈als␈↓ ¬{␈εβPr␈↓ ε(␈ε	S␈↓ εO␈εβ(␈↓ ε[␈ε	n␈↓ εo␈εβ)␈↓ πε␈εβ?
␈β
h␈↓ ε9␈εi␈↓ εC␈εj
␈β
p␈↓ ¬C␈εj␈↓ ¬O␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β∀␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M15␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α(13).
␈β(␈↓ π∧␈ε↓P
␈βB␈↓ 	⊃␈εε2
␈βF␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αLem␈α␈ma␈αE.␈α→[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t:␈εβ␈αCo␈α␈nside␈α␈r␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ↔␈ε	y␈↓ λJ␈ε↔␈␈↓ λs␈ε	␈↓ 	¬␈εβ)␈↓ 	≥␈εβ.]
␈βP␈↓ λ'␈εj␈↓ λ3␈εn
␈βX␈↓ π*␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ πO␈εj␈↓ π[␈ε~∀␈↓ πu␈εm
␈βx␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β|␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Where␈αεwa␈α␈s␈αεthe␈αεfac␈α␈t␈απt␈α␈hat␈↓ ¬b␈ε	q␈↓ ¬w␈εβis␈αεa␈αεm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αεof␈↓ πI␈ε	m␈↓ πm␈εβu␈α␈sed␈αεin␈αεth␈α␈e␈αεp␈α␈roof␈αεof␈αεTh␈α␈eorem␈αεC␈α␈?
␈β.␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Use␈αλThe␈α␈orem␈αλC␈α	to␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α	th␈α␈at␈αλi␈α↓f␈ε↔␈αλh␈↓ εK␈ε	U␈↓ εq␈ε↔i␈εβ␈α	is␈ε↔␈αλ1␈εβ␈α↓-d␈α␈istri␈α↓b␈α␈ut␈α␈ed,␈α	so␈αλis␈α	th␈α␈e␈α	su␈α␈bse␈α␈que␈α␈nce
␈β9␈↓ εa␈εn
␈βV␈↓ ↓H␈ε↔h␈↓ ↓S␈ε	U␈↓ α¬␈ε↔i␈εβ.
␈β`␈↓ ↓h␈εε2␈↓ ↓u␈εn
␈β
λ␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
a␈↓ ∧M␈ε	k␈↓ ∧]␈εβ-distribu␈α␈ted␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈α
p␈α␈asses␈α
t␈α␈he␈α
\␈α␈max␈α␈im␈α␈um␈αof␈↓ 
↔␈ε	k␈↓ 
'␈εβ"␈α
te␈α␈st,␈α∞in
␈β
+␈↓ 		␈εk␈↓ 	Z␈εk
␈β
,␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ λ8␈εα)
␈β
/␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αs␈α␈ense:␈↓ βm␈εβPr␈↓ ∧~␈ε	u␈↓ ∧7␈ε↔∀␈↓ ∧b␈εβma␈α␈x␈↓ ¬!␈εβ(␈↓ ¬,␈ε	U␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬`␈ε	U␈↓ ε,␈εβ,␈↓ ε;␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εg␈εβ,␈↓ εv␈ε	U␈↓ πh␈εβ)␈α	<␈↓ λ&␈ε	v␈↓ λM␈εβ=␈↓ λx␈ε	v␈↓ 	≡␈ε↔␈␈↓ 	F␈ε	u␈↓ 	g␈εβ.
␈β
:␈↓ ¬A␈εn␈↓ ¬v␈εn␈↓ εε␈εε+1␈↓ π␈εn␈↓ π≠␈εε+␈↓ π5␈εk␈↓ πB␈ε~␈␈εε1
␈β
]␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
a␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈27␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αan␈ε↔␈α1␈εβ-␈α↓d␈α␈istribu␈α␈ted␈α[␈α¬0,␈αε1)␈αse␈α␈que␈α␈nce␈αp␈α␈asse␈α␈s␈αthe␈α\␈α␈gap␈αtest"␈αi␈α↓n␈αthe
␈β∞	␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α
sense␈α␈:␈αIf␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧_␈ε	␈↓ ∧3␈εβ<␈↓ ∧↑␈ε	␈␈↓ ∧{␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α
an␈α␈d␈↓ ε↓␈ε	p␈↓ ε≠␈εβ=␈↓ εF␈ε	␈␈↓ εa␈ε↔␈␈↓ πλ␈ε	␈↓ π≠␈εβ,␈αlet␈↓ π↑␈ε	f␈↓ πn␈εβ(0)␈α	=␈α	0,␈αan␈α␈d␈α
for␈↓ 	`␈ε	n␈↓ 	⎇␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α
let␈↓ 
r␈ε	f␈↓ α␈εβ(␈↓ 
␈ε	n␈↓ !␈εβ)
␈β∞1␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αth␈α␈e␈αsmallest␈αin␈α␈teg␈α␈er␈↓ ∧≠␈ε	m␈↓ ∧B␈εβ>␈↓ ∧l␈ε	f␈↓ ∧|␈εβ(␈↓ ¬π␈ε	n␈↓ ¬#␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈αsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ πε␈ε	␈↓ π"␈ε↔∀␈↓ πL␈ε	U␈↓ λα␈εβ<␈↓ λ-␈ε	␈␈↓ λA␈εβ;␈αthen
␈β∞;␈↓ πa␈εm
␈β∞x␈↓ λ)␈εk␈↓ λ6␈ε~␈␈εε1
␈β∞{␈↓ ∧0␈εα(␈↓ εe␈εα)
␈β∞}␈↓ ∧∂␈εβPr␈↓ ∧<␈ε	f␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	n␈↓ ∧k␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬&␈ε	f␈↓ ¬6␈εβ(␈↓ ¬A␈ε	n␈↓ ¬]␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈α	=␈↓ εU␈ε	k␈↓ π␈εβ=␈↓ π0␈ε	p␈↓ πA␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ
␈ε	p␈↓ λ≡␈εβ)␈↓ λ\␈εβ.
␈β∂U␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈25␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈απth␈α␈at␈απan␈ε↔␈αε1␈εβ␈α↓-d␈α␈istri␈α↓b␈α␈ut␈α␈ed␈απseq␈α␈uen␈α␈ce␈απp␈α␈asses␈απt␈α␈he␈απ\r␈α␈un␈απt␈α␈est"␈απin␈απth␈α␈e␈απfollo␈α␈wing
␈β∂|␈↓ ↓H␈εβse␈α␈nse:␈α
If␈↓ αE␈ε	f␈↓ αU␈εβ(0)␈α	=␈α	1␈α
a␈α␈nd␈α	if,␈α
for␈↓ ∧c␈ε	n␈↓ ¬␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈↓ ¬N␈ε	f␈↓ ¬↑␈εβ(␈↓ ¬i␈ε	n␈↓ ¬⎇␈εβ)␈α
is␈α	the␈α	smallest␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ λT␈ε	m␈↓ λz␈εβ>␈↓ 	%␈ε	f␈↓ 	5␈εβ(␈↓ 	@␈ε	n␈↓ 	Y␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈)␈α
suc␈α␈h␈α	tha␈α␈t
␈β⊂$␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ α#␈εβ>␈↓ αN␈ε	U␈↓ αz␈εβ,␈αth␈α␈en
␈β⊂/␈↓ ↓]␈εm␈↓ ↓t␈ε~␈␈εε1␈↓ αc␈εm
␈β⊂n␈↓ β ␈εα(␈↓ ¬U␈εα)
␈β⊂q␈↓ α␈␈εβPr␈↓ β,␈ε	f␈↓ β<␈εβ(␈↓ βG␈ε	n␈↓ β[␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧⊗␈ε	f␈↓ ∧&␈εβ(␈↓ ∧1␈ε	n␈↓ ∧M␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α
=␈↓ ¬E␈ε	k␈↓ ¬p␈εβ=␈α∂2␈↓ ε1␈ε	k␈↓ εA␈εβ/(␈↓ ε]␈ε	k␈↓ εu␈εβ+␈αλ1␈α␈)!␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ2␈α␈(␈↓ λ∞␈ε	k␈↓ λ&␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α↓/␈α␈(␈↓ 	ε␈ε	k␈↓ 	≡␈εβ+␈αλ2␈α␈)␈α↓!.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα166␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α	th␈α␈at␈α	an␈ε↔␈αλ1␈εβ␈α↓-d␈α␈i␈α↓str␈α␈i␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈α	sequ␈α␈en␈α␈ce␈α	pa␈α␈sses␈α	th␈α␈e␈α	\co␈α␈up␈α␈on-co␈α␈ll␈α↓e␈α␈ctor's␈α	test"
␈βαR␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈α
th␈α␈ere␈α
are␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α	t␈α␈wo␈α
k␈α␈ind␈α␈s␈αo␈α␈f␈αco␈α␈up␈α␈ons␈α␈,␈αi␈α↓n␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α
sen␈α␈se:␈αLet␈↓ 	=␈ε	X␈↓ 	a␈εβ,␈↓ 	u␈ε	X␈↓ 
→␈εβ,␈↓ 
,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
↑␈εβb␈α␈e␈α
an
␈βα\␈↓ 	T␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈ε↔1␈εβ-distrib␈α␈uted␈αb␈α␈inary␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α␈.␈α⊂Let␈↓ ¬`␈ε	f␈↓ ¬o␈εβ(␈α↓0␈α␈)␈α=␈α0,␈α
a␈α␈nd␈αfor␈↓ πm␈ε	n␈↓ λ
␈ε↔∃␈εβ␈α1␈αlet␈↓ 		␈ε	f␈↓ 	_␈εβ(␈↓ 	$␈ε	n␈↓ 	8␈εβ)␈αbe␈αthe␈αsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈↓ α:␈ε	m␈↓ αh␈εβ>␈↓ β~␈ε	f␈↓ β*␈εβ(␈↓ β5␈ε	n␈↓ βS␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)␈α⊂su␈α␈ch␈α∂th␈α␈at␈ε↔␈α∂f␈↓ ¬W␈ε	X␈↓ εh␈εβ,␈↓ εv␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π#␈εβ,␈↓ π2␈ε	X␈↓ π`␈ε↔g␈εβ␈α∂is␈α⊂th␈α␈e␈α⊂s␈α␈et␈ε↔␈α⊂f␈εβ␈α␈0,␈αε1␈ε↔␈α␈g␈εβ.␈α→Pro␈α␈v␈α}e␈α∂tha␈α␈t
␈ββ,␈↓ πI␈εm
␈ββ-␈↓ ¬n␈εf␈↓ ¬{␈εε(␈↓ εβ␈εn␈↓ ε∀␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓+1
␈ββD␈↓ ∧z␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ¬∨␈εk
␈ββF␈↓ ↓i␈εα(␈↓ ∧≡␈εα)
␈ββI␈↓ ↓H␈εβPr␈↓ ↓u␈ε	f␈↓ α¬␈εβ(␈↓ α⊂␈ε	n␈↓ α$␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ α←␈ε	f␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε	n␈↓ β∃␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α	=␈↓ ∧∞␈ε	k␈↓ ∧9␈εβ=␈↓ ∧i␈εβ2␈↓ ¬-␈εβ,␈αfor␈↓ ¬u␈ε	k␈↓ ε∞␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈α~(Cf.␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
7.)
␈β∧↓␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈38␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Doe␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α
co␈α␈up␈α␈on-co␈α␈ll␈α↓e␈α␈ctor's␈α
test␈α
ho␈α␈ld␈α
for␈ε↔␈α
1␈εβ-distribu␈α␈ted␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈α∞wh␈α␈en
␈β∧)␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αa␈α␈re␈αmore␈α
than␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αkin␈α␈ds␈αof␈αco␈α␈up␈α␈on␈α␈s?␈α→(␈α↓C␈α␈f␈α↓.␈αth␈α␈e␈αpre␈α␈viou␈α␈s␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈.␈α↓)
␈β∧b␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈50␈↓ αm␈εβ]␈α⊗If␈↓ β-␈ε	r␈↓ βG␈εβis␈αan␈α}y␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
ration␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r,␈αFra␈α␈nk␈α␈l␈α↓in␈α
has␈α
pro␈α␈v␈α}ed␈α
that␈α
the␈αse␈α␈que␈α␈nce
␈β¬¬␈↓ ↓a␈εn
␈β¬	␈↓ ↓H␈ε↔h␈↓ ↓S␈ε	r␈↓ ↓w␈εβmod␈↓ α<␈εβ1␈ε↔␈α␈i␈εβ␈απis␈απno␈α␈t␈απ2-d␈α␈i␈α↓str␈α␈i␈α↓b␈α␈ute␈α␈d.␈α
But␈αεi␈α↓s␈αεthere␈αεan␈α}y␈απra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ λQ␈ε	r␈↓ λg␈εβfor␈αεwhich␈αεthis␈απse␈α␈que␈α␈nce
␈β¬-␈↓ 
⊂␈εε3
␈β¬1␈↓ ↓H␈εβis␈αequ␈α␈idistribu␈α␈ted␈α␈?␈αIn␈αp␈α␈articula␈α␈r,␈αis␈αt␈α␈he␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αequ␈α␈idistribu␈α␈ted␈αwh␈α␈en␈↓ 	I␈ε	r␈↓ 	a␈εβ=␈↓ 
 ␈εβ?␈α→[␈α↓Cf.␈αK.
␈β¬?␈↓ 
⊂␈∧¬?
⊂α
␈β¬A␈↓ 
⊂␈εε2
␈β¬X␈↓ ↓H␈εβM␈α␈ah␈α␈l␈α↓e␈α␈r,␈ε⊂␈αM␈α␈ath␈α␈ematik␈α␈a␈ε∪␈α4␈εβ␈α(19␈α␈57),␈α12␈α␈2↑1␈α␈24.]
␈βε
␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βε⊃␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α∞if␈↓ ∧W␈ε	U␈↓ ∧y␈εβ,␈↓ ¬⊃␈ε	U␈↓ ¬3␈εβ,␈↓ ¬J␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬}␈εβi␈α↓s␈↓ ε"␈ε	k␈↓ ε2␈εβ-distribu␈α␈ted,␈α∞so␈α
is␈α∞th␈α␈e␈α∞s␈α␈equ␈α␈ence␈↓ 

␈ε	V␈↓ 
)␈εβ,␈↓ 
@␈ε	V␈↓ 
←␈εβ,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈βε≤␈↓ ∧m␈εε0␈↓ ¬&␈εε1␈↓ 
≤␈εε0␈↓ 
S␈εε1
␈βε9␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	V␈↓ αT␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ β␈ε	n␈↓ β∨␈ε	U␈↓ βE␈ε↔c␈εβ/␈↓ βc␈ε	n␈↓ βw␈εβ.
␈βεC␈↓ α:␈εn␈↓ β5␈εn
␈βεq␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈35␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Con␈α␈sider␈απDe|␈α␈nition␈απR4␈απwith␈απ\␈ε↔1␈εβ-distribu␈α␈ted"␈απre␈α␈place␈α␈d␈αλb␈α␈y␈απ\1␈α␈-distribu␈α␈ted"␈α␈.
␈βπ→␈↓ ↓H␈εβIs␈αth␈α␈ere␈αa␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈αtha␈α␈t␈αsatis|␈α␈es␈αthis␈αw␈α␈ea␈α␈k␈α␈er␈αd␈α␈e|␈α␈nition,␈αb␈α␈ut␈αth␈α␈at␈αis␈αn␈α␈ot␈ε↔␈α1␈εβ-distribu␈α␈ted␈α␈?
␈βπA␈↓ ↓H␈εβ(Is␈αth␈α␈e␈αw␈α␈eak␈α}er␈αde|␈α␈nition␈α
really␈αw␈α␈ea␈α␈k␈α␈er?)
␈βπu␈↓ ¬0␈εn
␈βπy␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈47␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Doe␈α␈s␈α	t␈α␈he␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈ε↔␈αλh␈↓ ¬"␈ε	∩␈↓ ¬F␈εβmo␈α␈d␈↓ ε␈εβ1␈ε↔␈α␈i␈εβ␈αλsatisfy␈αλDe|␈α␈nition␈απR4␈αλfor␈αλalmo␈α␈st␈αλall␈α	re␈α␈al␈α	n␈α}um␈α␈-
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ers␈↓ α∞␈ε	∩␈↓ α%␈εβ>␈α
1?
␈βλZ␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βI␈ε	S␈↓ βi␈εβbe␈αa␈αset␈αan␈α␈d␈αlet␈ε↔␈αM␈εβ␈αb␈α␈e␈αa␈αcollection␈αo␈α␈f␈αsu␈α␈bse␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ 	(␈ε	S␈↓ 	<␈εβ.␈αSu␈α␈pp␈α␈ose␈αtha␈α␈t␈↓ ≤␈ε	p
␈β	↓␈↓ ↓H␈εβis␈α
a␈α
rea␈α␈l-␈α↓v␈α␈alu␈α␈ed␈α
fu␈α␈nction␈α	of␈α
the␈α
se␈α␈ts␈α
i␈α↓n␈ε↔␈α	M␈εβ,␈αsu␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ πA␈ε	p␈↓ πR␈εβ(␈↓ π]␈ε	M␈↓ π␈␈εβ)␈αd␈α␈en␈α␈otes␈α
th␈α␈e␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α	tha␈α␈t
␈β	)␈↓ ↓H␈εβa␈α
\␈α␈ran␈α␈dom␈α␈l␈α↓y␈α␈"␈α
cho␈α␈sen␈α
elem␈α␈en␈α␈t␈α
of␈↓ ¬$␈ε	S␈↓ ¬C␈εβl␈α↓ies␈α
in␈↓ ε"␈ε	M␈↓ εE␈εβ.␈αGen␈α␈eralize␈α
De|␈α␈nition␈α␈s␈αB␈α
and␈α
D␈α
to␈α
ob␈α␈tain
␈β	Q␈↓ ↓H␈εβa␈α
goo␈α␈d␈αde␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈cep␈α␈t␈αo␈α␈f␈αa␈↓ ¬d␈ε	k␈↓ ¬u␈εβ-d␈α␈i␈α↓s␈α␈tri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈ε↔␈αh␈↓ λ>␈ε	Z␈↓ λ`␈ε↔i␈εβ␈αof␈αelemen␈α}ts␈αof␈↓ 
L␈ε	S␈↓ 
l␈εβwith
␈β	[␈↓ λP␈εn
␈β	x␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈t␈αto␈αthe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ ¬|␈ε	p␈↓ ε
␈εβ.
␈β
-␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
1␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(Herma␈α␈nn␈αWeyl.)␈α≥S␈α␈ho␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
[␈αε0␈α␈,␈αε1)␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈ε↔␈αh␈↓ λp␈ε	U␈↓ 	⊗␈ε↔i␈εβ␈α
is␈↓ 	Q␈ε	k␈↓ 	a␈εβ-distribu␈α␈ted␈αif
␈β
<␈↓ 	ε␈εn
␈β
Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
only␈α
i␈α↓f
␈β
n␈↓ ∧H␈ε↓X
␈β
}␈↓ ∧
␈εβ1
␈β⊃␈↓ ¬O␈εα(␈↓ λq␈εα)
␈β∀␈↓ βA␈εβlim␈↓ ¬≠␈εβex␈α␈p␈↓ ¬[␈εβ2␈↓ ¬k␈ε	→␈↓ ¬}␈ε	i␈↓ ε␈εβ(␈↓ ε⊗␈ε	c␈↓ ε.␈ε	U␈↓ ε[␈εβ+␈↓ π∧␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π2␈εβ+␈↓ π[␈ε	c␈↓ πt␈ε	U␈↓ λf␈εβ)␈↓ 	ε␈εβ=␈α
0
␈β≡␈↓ ε"␈εε1␈↓ εD␈εn␈↓ πg␈εk␈↓ λ	␈εn␈↓ λ~␈εε+␈↓ λ3␈εk␈↓ λ@␈ε~␈␈εε1
␈β"␈↓ ∧ε␈∧"∧εα∨
␈β+␈↓ ∧ε␈ε	N
␈β4␈↓ β3␈εN␈↓ βJ␈ε~!␈α↓1
␈βE␈↓ ∧.␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧T␈εn␈↓ ∧d␈εε<␈↓ ∧⎇␈εN
␈β␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αev␈α␈ery␈α
set␈αof␈αin␈α␈te␈α␈gers␈↓ ∧+␈ε	c␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧X␈ε	c␈↓ ∧p␈εβ,␈↓ ¬¬␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬1␈εβ,␈↓ ¬F␈ε	c␈↓ ¬j␈εβn␈α␈ot␈αall␈αzero.
␈β↔␈↓ ∧7␈εε1␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ¬R␈εk
␈βE␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M34␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α∞a␈↓ ∧:␈ε	b␈↓ ∧G␈εβ-ary␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈ε↔␈α∞h␈↓ ε&␈ε	X␈↓ εM␈ε↔i␈εβ␈α∞is␈↓ π	␈ε	k␈↓ π~␈εβ-d␈α␈i␈α↓str␈α␈i␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈α
i␈α↓f␈α
an␈α␈d␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
if␈α
all␈α∞of␈α
the
␈βP␈↓ ε=␈εn
␈βm␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈ε↔␈αh␈↓ αh␈ε	c␈↓ β↓␈ε	X␈↓ β/␈εβ+␈↓ βW␈ε	c␈↓ βp␈ε	X␈↓ ∧D␈εβ+␈↓ ∧l␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬~␈εβ+␈↓ ¬B␈ε	c␈↓ ¬\␈ε	X␈↓ εO␈ε↔i␈εβ␈αare␈ε⊂␈α
equ␈α␈i␈α↓d␈α␈istribu␈α␈ted␈εβ,␈αwh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ 
≥␈ε	c␈↓ 
6␈εβ,␈↓ 
J␈ε	c␈↓ 
c␈εβ,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈βw␈↓ αt␈εε1␈↓ β_␈εn␈↓ βc␈εε2␈↓ ∧π␈εn␈↓ ∧↔␈εε+␈α↓1␈↓ ¬N␈εk␈↓ ¬s␈εn␈↓ εβ␈εε+␈↓ ε≤␈εk␈↓ ε*␈ε~␈␈εε1␈↓ 
)␈εε1␈↓ 
V␈εε2
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓l␈εβare␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αw␈α↓ith␈↓ βj␈εβgcd␈↓ ∧≤␈εβ(␈↓ ∧'␈ε	c␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧O␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧{␈εβ,␈↓ ¬
␈ε	c␈↓ ¬#␈εβ)␈α
=␈α	1.
␈β
∨␈↓ ↓T␈εk␈↓ ∧3␈εε1␈↓ ¬⊗␈εk
␈β
M␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞a␈α
[␈α¬0,␈αε1)␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈α
h␈↓ ε'␈ε	U␈↓ εM␈ε↔i␈εβ␈α∞is␈↓ π	␈ε	k␈↓ π~␈εβ-d␈α␈istri␈α↓b␈α␈ute␈α␈d␈α
i␈α↓f␈α
an␈α␈d␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
if␈α
all␈α∞of␈α
the
␈β
X␈↓ ε=␈εn
␈β
u␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈ε↔␈αh␈↓ αi␈ε	c␈↓ β↓␈ε	U␈↓ β.␈εβ+␈↓ βW␈ε	c␈↓ βp␈ε	U␈↓ ∧B␈εβ+␈↓ ∧k␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬→␈εβ+␈↓ ¬B␈ε	c␈↓ ¬[␈ε	U␈↓ εM␈ε↔i␈εβ␈αare␈ε⊂␈αeq␈α␈uidistrib␈α␈uted␈εβ␈α␈,␈αwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈↓ 
≥␈ε	c␈↓ 
5␈εβ,␈↓ 
J␈ε	c␈↓ 
b␈εβ,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈β
␈␈↓ αu␈εε1␈↓ β↔␈εn␈↓ βc␈εε2␈↓ ∧¬␈εn␈↓ ∧∃␈εε+1␈↓ ¬N␈εk␈↓ ¬q␈εn␈↓ ε↓␈εε+␈↓ ε~␈εk␈↓ ε'␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
)␈εε1␈↓ 
V␈εε2
␈β∞≤␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ ↓l␈εβare␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αnot␈αa␈α␈l␈α↓l␈αzer␈α␈o.
␈β∞'␈↓ ↓T␈εk
␈β∞U␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗A␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αis␈αcalled␈αa␈α\␈α␈white␈αseq␈α␈uen␈α␈ce"␈α
i␈α↓f␈αa␈α␈l␈α↓l␈αserial␈αco␈α␈rrelation␈α␈s␈αare␈αzero␈α␈,
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈εβi.e.,␈α⊃if␈α∂the␈α∂eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂in␈α∂Co␈α␈roll␈α↓a␈α␈ry␈α∂S␈α∂is␈α∂tru␈α␈e␈α∂f␈α↓o␈α␈r␈ε⊂␈α∂all␈↓ π9␈ε	k␈↓ πY␈ε↔∃␈εβ␈α⊃1␈α␈.␈α"(By␈α∂Co␈α␈rollary␈α∂S␈α␈,␈α⊂a␈α␈n␈ε↔␈α∂1␈εβ-
␈β∂$␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ted␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αi␈α↓s␈αwhite.)␈α≤S␈α␈ho␈α}w␈α
th␈α␈at␈αi␈α↓f␈αa␈α[␈αε0,␈α¬1)␈α
s␈α␈equ␈α␈ence␈αis␈αequ␈α␈i␈α↓d␈α␈istribu␈α␈ted,␈α
it␈αis
␈β∂L␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ite␈αi␈α↓f␈αa␈α␈nd␈α
only␈α
i␈α↓f
␈β⊂	␈↓ ∧_␈ε↓X
␈β⊂_␈↓ βi␈εβ1
␈β⊂+␈↓ ¬@␈εε1␈↓ εb␈εε1
␈β⊂/␈↓ β%␈εβl␈α↓im␈↓ ∧`␈εβ(␈↓ ∧k␈ε	U␈↓ ¬∀␈ε↔␈␈↓ ¬P␈εβ)(␈↓ ¬g␈ε	U␈↓ ε6␈ε↔␈␈↓ εr␈εβ)␈α
=␈α	0,␈↓ λ→␈εβfo␈α␈r␈αa␈α␈ll␈↓ λ{␈ε	k␈↓ 	∀␈ε↔∃␈εβ␈α
1.
␈β⊂9␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬|␈εj␈↓ ελ␈εε+␈↓ ε!␈εk
␈β⊂=␈↓ βg␈∧⊂=βgα∃␈↓ ¬@␈∧⊂=¬@α
␈↓ εb␈∧⊂=εbα
␈β⊂?␈↓ ¬@␈εε2␈↓ εb␈εε2
␈β⊂F␈↓ βg␈ε	n
␈β⊂O␈↓ β≠␈εn␈↓ β,␈ε~!1
␈β⊂`␈↓ ∧∧␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧*␈εj␈↓ ∧6␈εε<␈↓ ∧P␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.5␈ε∞␈↓ εtWH␈α␈A␈α}T␈αλIS␈α	A␈α	RA␈α␈NDOM␈α	SEQUENCE?␈↓ 
v␈εα167
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈34␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(J.␈αFran␈α␈klin.)␈α→A␈αwh␈α␈i␈α↓te␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e,␈αas␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α
the␈α
prev␈α␈iou␈α␈s␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e,␈αcan
␈βαR␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e|␈α␈nitely␈αfail␈αto␈αbe␈αra␈α␈nd␈α␈om.␈α∂Let␈↓ ¬2␈ε	U␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬j␈ε	U␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε!␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εT␈εβbe␈αa␈α␈n␈ε↔␈α1␈εβ␈α↓-d␈α␈istribu␈α␈ted␈αseq␈α␈uen␈α␈ce;␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈αthe
␈βα\␈↓ ¬G␈εε0␈↓ ¬␈␈εε1
␈βαy␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈↓ αQ␈ε	V␈↓ αp␈εβ,␈↓ β∧␈ε	V␈↓ β#␈εβ,␈↓ β7␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βi␈εβas␈αfollo␈α␈ws:
␈ββ∧␈↓ αc␈εε0␈↓ β⊗␈εε1
␈ββK␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	V␈↓ ∧!␈εβ,␈↓ ∧0␈ε	V␈↓ ∧`␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ ¬*␈ε	U␈↓ εα␈εβ,␈↓ ε⊂␈ε	U␈↓ εC␈εβ)␈↓ π⊗␈εβif␈α(␈↓ π@␈ε	U␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ'␈ε	U␈↓ λY␈εβ)␈ε↔␈α
2␈↓ 	⊃␈ε	G␈↓ 	*␈εβ,
␈ββV␈↓ β←␈εε2␈↓ βk␈εn␈↓ β|␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧C␈εε2␈↓ ∧O␈εn␈↓ ¬?␈εε2␈↓ ¬K␈εn␈↓ ¬\␈ε~␈␈εε1␈↓ ε&␈εε2␈↓ ε2␈εn␈↓ πU␈εε2␈↓ πb␈εn␈↓ πr␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ<␈εε2␈↓ λI␈εn
␈ββs␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	V␈↓ ∧!␈εβ,␈↓ ∧0␈ε	V␈↓ ∧`␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ ¬*␈ε	U␈↓ ¬\␈εβ,␈↓ ¬k␈ε	U␈↓ εC␈εβ)␈↓ π⊗␈εβif␈α(␈↓ π@␈ε	U␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ'␈ε	U␈↓ λY␈εβ)␈ε↔␈α
3␈↓ 	⊃␈ε	G␈↓ 	*␈εβ,
␈ββ⎇␈↓ β←␈εε2␈↓ βk␈εn␈↓ β|␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧C␈εε2␈↓ ∧O␈εn␈↓ ¬?␈εε2␈↓ ¬K␈εn␈↓ ε␈εε2␈↓ ε␈εn␈↓ ε≥␈ε~␈␈εε1␈↓ πU␈εε2␈↓ πb␈εn␈↓ πr␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ<␈εε2␈↓ λI␈εn
␈β∧D␈↓ ¬∨␈εε1␈↓ π7␈εε1
␈β∧G␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	G␈↓ αM␈εβis␈αth␈α␈e␈αs␈α␈et␈↓ β]␈ε↔f␈↓ βs␈εβ(␈↓ β}␈ε	x␈↓ ∧∂␈εβ,␈↓ ∧≡␈ε	y␈↓ ∧1␈εβ)␈ε↔␈α
j␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧r␈ε↔␈␈↓ ¬9␈ε↔∀␈↓ ¬e␈ε	y␈↓ ε↓␈ε↔∀␈↓ ε,␈ε	x␈↓ εI␈εβor␈↓ εr␈ε	x␈↓ π␈εβ+␈↓ πR␈ε↔∀␈↓ π⎇␈ε	y␈↓ λ∃␈ε↔g␈↓ λ&␈εβ.␈α
S␈α␈ho␈α}w␈αth␈α␈at␈α~(a)␈↓ 
≡␈ε	V␈↓ 
=␈εβ,␈↓ 
R␈ε	V␈↓ 
q␈εβ,␈↓ ε␈εβ.␈α¬.␈αε.
␈β∧R␈↓ 
0␈εε0␈↓ 
d␈εε1
␈β∧U␈↓ ¬∨␈∧∧U¬∨α
␈↓ π7␈∧∧Uπ7α
␈β∧W␈↓ ¬∨␈εε2␈↓ π7␈εε2
␈β∧k␈↓ πF␈εε5
␈β∧o␈↓ ↓H␈εβis␈αequ␈α␈idistribu␈α␈ted␈αa␈α␈nd␈αwh␈α␈i␈α↓t␈α␈e;␈α~(b)␈↓ ¬6␈εβPr␈↓ ¬W␈εβ(␈↓ ¬c␈ε	V␈↓ ε∂␈εβ>␈↓ ε:␈ε	V␈↓ πα␈εβ)␈α
=␈↓ πV␈εβ.␈α~(This␈αpo␈α␈in␈α␈ts␈αou␈α␈t␈αth␈α␈e␈αw␈α␈eak␈α␈nes␈α␈s
␈β∧y␈↓ ¬u␈εn␈↓ εL␈εn␈↓ ε]␈εε+1
␈β∧⎇␈↓ πF␈∧∧⎇πFα
␈β∧␈␈↓ πF␈εε8
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αseria␈α␈l␈αco␈α␈rrelation␈α
test.)
␈β¬S␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈48␈↓ αm␈εβ]␈α⊗What␈αεis␈απth␈α␈e␈απh␈α␈i␈α↓g␈α␈hest␈αεpo␈α␈ssible␈απv␈α␈alue␈αεfor␈↓ π∨␈εβP␈α↓r␈↓ πA␈εβ(␈↓ πL␈ε	V␈↓ πx␈εβ>␈↓ λ"␈ε	V␈↓ λk␈εβ)␈απin␈αεan␈αεeq␈α␈uidistrib␈α␈uted␈α␈,
␈β¬↑␈↓ π↑␈εn␈↓ λ5␈εn␈↓ λE␈εε+1
␈β¬w␈↓ λ␈εε7
␈β¬{␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ite␈αεseq␈α␈uen␈α␈ce?␈α(D.␈αεCop␈α␈pe␈α␈rsmith␈αεh␈α␈as␈α¬con␈α␈struc␈α␈ted␈α¬such␈α¬a␈α¬sequ␈α␈enc␈α␈e␈αεac␈α␈hiev␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αεth␈α␈e␈αεv␈α␈alue␈↓ _␈εβ.)
␈βε	␈↓ λ␈∧ε	λα
␈βε␈↓ λ␈εε8
␈βε3␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βε7␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈21␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Use␈α
the␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈α(1␈α␈1)␈αto␈α
co␈α␈nstru␈α␈ct␈αa␈α
[␈αε0␈α␈,␈αε1)␈αs␈α␈equ␈α␈ence␈α
th␈α␈at␈αis␈α
3-distrib␈α␈uted␈α␈,
␈βε\␈↓ βr␈εε1␈↓ ∧E␈εε3
␈βε←␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αwhich␈↓ α\␈εβPr␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε	U␈↓ βC␈ε↔∃␈↓ ∧α␈εβ)␈α	=␈↓ ∧U␈εβ.
␈βεj␈↓ β≥␈εε2␈↓ β*␈εn
␈βεm␈↓ βr␈∧εmβrα
␈↓ ∧E␈∧εm∧Eα
␈βεo␈↓ βr␈εε2␈↓ ∧E␈εε4
␈βπ≤␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈34␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βI␈ε	X␈↓ βm␈εβ,␈↓ ∧↓␈ε	X␈↓ ∧%␈εβ,␈↓ ∧9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧k␈εβbe␈αa␈α
(2␈↓ ¬O␈ε	k␈↓ ¬←␈εβ)␈α↓-d␈α␈istri␈α↓b␈α␈ut␈α␈ed␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t
␈βπ&␈↓ β`␈εε0␈↓ ∧_␈εε1
␈βπn␈↓ ε↑␈ε↓∩␈↓ πV␈ε↓∪␈↓ πl␈ε↓≡
␈βπt␈↓ ε⊗␈εβ1␈↓ εt␈εβ2␈↓ π¬␈ε	k␈↓ π≥␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈βλ∧␈↓ λ"␈εε2␈↓ λ/␈εk
␈βλε␈↓ ∧/␈∧λε∧/α"
␈βλ
␈↓ ∧/␈εβPr␈↓ ∧P␈εβ(␈↓ ∧[␈ε	X␈↓ ¬_␈εβ=␈α
0)␈ε↔␈α	∀␈↓ ε2␈εβ+␈↓ λ∩␈εβ2␈↓ λ<␈εβ.
␈βλ∃␈↓ ∧r␈εε2␈↓ ∧␈␈εn
␈βλ_␈↓ ε⊗␈∧λ_ε⊗α⊃
␈βλ"␈↓ ε⊗␈εβ2␈↓ π≥␈ε	k
␈β	
␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	∞␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ[␈ε	M39␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈nstru␈α␈ct␈αa␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓s␈α(2␈↓ π'␈ε	k␈↓ π8␈εβ)-d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α␈,␈αand␈α
for␈αwh␈α␈i␈α↓ch
␈β	`␈↓ ε↑␈ε↓∩␈↓ πV␈ε↓∪␈↓ πl␈ε↓≡
␈β	f␈↓ ε⊗␈εβ1␈↓ εt␈εβ2␈↓ π¬␈ε	k␈↓ π≥␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈β	v␈↓ λ"␈εε2␈↓ λ/␈εk
␈β	|␈↓ ∧/␈εβPr␈↓ ∧P␈εβ(␈↓ ∧[␈ε	X␈↓ ¬_␈εβ=␈α
0)␈α	=␈↓ ε2␈εβ+␈↓ λ∩␈εβ2␈↓ λ<␈εβ.
␈β
π␈↓ ∧r␈εε2␈↓ ∧␈␈εn
␈β

␈↓ ε⊗␈∧

ε⊗α⊃
␈β
∀␈↓ ε⊗␈εβ2␈↓ π≥␈ε	k
␈β
j␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈erefore␈α
the␈αine␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ty␈α
in␈αth␈α␈e␈αprev␈α␈ious␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈αis␈αth␈α␈e␈αbest␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈.␈α↓)
␈β$␈↓ ≤␈εε1
␈β'␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈α[␈αε0␈α␈,␈αε1)␈αseq␈α␈uen␈α␈ces␈αe␈α␈xist␈αtha␈α␈t␈αsatisfy␈αDe␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αR5,␈αy␈α␈et␈↓ 
∨␈ε	↔␈↓ 
=␈εβ/␈↓ 
M␈ε	n␈↓ 
l␈ε↔∃
␈β2␈↓ 
,␈εn
␈β5␈↓ ≤␈∧5≤α
␈β7␈↓ ≤␈εε2
␈βK␈↓ 	~␈εε1
␈βO␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
all␈↓ α.␈ε	n␈↓ αN␈εβ>␈α
0,␈α∞whe␈α␈re␈↓ ∧ε␈ε	↔␈↓ ∧2␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∞o␈α␈f␈↓ ε3␈ε	j␈↓ εO␈εβ<␈↓ ε⎇␈ε	n␈↓ π≡␈εβfor␈α
which␈↓ λ6␈ε	U␈↓ λh␈εβ<␈↓ 	*␈εβ.␈α≡(Th␈α␈i␈α↓s␈α
mig␈α␈h␈α␈t␈α
be
␈βY␈↓ ∧∀␈εn␈↓ λL␈εn
␈β]␈↓ 	~␈∧]	~α
␈β←␈↓ 	~␈εε2
␈βv␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onsid␈α␈ered␈α
a␈αno␈α␈nra␈α␈nd␈α␈om␈αp␈α␈rope␈α␈rty␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αseq␈α␈uen␈α␈ce.)
␈β3␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈αtha␈α␈t␈ε↔␈αh␈↓ ∧,␈ε	X␈↓ ∧S␈ε↔i␈εβ␈αi␈α↓s␈αa␈α\␈α␈ran␈α␈dom␈α␈"␈↓ εB␈ε	b␈↓ εP␈εβ-a␈α␈ry␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αacc␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈αDe|␈α␈nition␈αR5␈α␈,
␈β>␈↓ ∧C␈εn
␈β[␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∞that␈ε↔␈α∂R␈εβ␈α∂is␈α∂a␈α∂c␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ble␈α∂sub␈α␈seq␈α␈uen␈α␈ce␈α∂ru␈α␈l␈α↓e␈α∂th␈α␈at␈α∂sp␈α␈eci|e␈α␈s␈α⊂a␈α␈n␈α∂in|␈α␈nite␈α∂su␈α␈bse␈α␈que␈α␈nce
␈β
α␈↓ ↓H␈ε↔h␈↓ ↓S␈ε	X␈↓ ↓z␈ε↔iR␈εβ,␈α
sho␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
latte␈α␈r␈α
su␈α␈bseq␈α␈uen␈α␈ce␈αi␈α↓s␈αno␈α␈t␈α
on␈α␈ly␈α
1␈α␈-distribu␈α␈ted␈α␈,␈α∞it␈α
is␈α\ran␈α␈do␈α␈m"␈αby
␈β

␈↓ ↓j␈εn
␈β
*␈↓ ↓H␈εβDe␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αR5.
␈β
g␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈ε↔␈α
h␈↓ βV␈ε	U␈↓ ∧¬␈ε↔i␈εβ␈α∞a␈α␈nd␈ε↔␈αh␈↓ ∧k␈ε	U␈↓ ¬~␈ε↔i␈εβ␈α
b␈α␈e␈α
in|␈α␈nite␈α
d␈α␈i␈α↓sjo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
sub␈α␈sequ␈α␈en␈α␈ces␈α
of␈α
a␈α
se␈α␈qu␈α␈ence␈ε↔␈αh␈↓ 
s␈ε	U␈↓ _␈ε↔i␈εβ.
␈β
q␈↓ βk␈εr␈↓ ¬↓␈εs␈↓ λ␈εn
␈β
x␈↓ βv␈ε
n␈↓ ¬
␈ε
n
␈β∞∞␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α}us,␈↓ α1␈ε	r␈↓ αT␈εβ<␈↓ α␈␈ε	r␈↓ β"␈εβ<␈↓ βM␈ε	r␈↓ βp␈εβ<␈↓ ∧≤␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧N␈εβan␈α␈d␈↓ ¬⊂␈ε	s␈↓ ¬2␈εβ<␈↓ ¬]␈ε	s␈↓ ¬␈␈εβ<␈↓ ε+␈ε	s␈↓ εL␈εβ<␈↓ εx␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π+␈εβa␈α␈re␈αin␈α␈creasin␈α␈g␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈αof␈αin␈α}teger␈α␈s
␈β∞→␈↓ α=␈εε0␈↓ β␈εε1␈↓ βY␈εε2␈↓ ¬≠␈εε0␈↓ ¬h␈εε1␈↓ ε6␈εε2
␈β∞6␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	r␈↓ α5␈ε↔≤␈↓ α←␈ε	s␈↓ βε␈εβfo␈α␈r␈αan␈α␈y␈↓ βy␈ε	m␈↓ ∧⊗␈εβ,␈↓ ∧%␈ε	n␈↓ ∧9␈εβ.)␈α→L␈α↓e␈α␈t␈ε↔␈αh␈↓ ¬.␈ε	U␈↓ ¬\␈ε↔i␈εβ␈αb␈α␈e␈αthe␈α
com␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α
sub␈α␈sequ␈α␈en␈α␈ce,␈αso␈αth␈α␈at␈↓ 
!␈ε	t␈↓ 
A␈εβ<␈↓ 
k␈ε	t␈↓ ␈εβ<
␈β∞A␈↓ α∀␈εm␈↓ αj␈εn␈↓ ¬D␈εt␈↓ 
+␈εε0␈↓ 
u␈εε1
␈β∞G␈↓ ¬L␈ε
n
␈β∞↑␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓h␈εβ<␈↓ α∩␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αD␈εβand␈α
the␈αse␈α␈t␈ε↔␈αf␈↓ ∧β␈ε	t␈↓ ∧≥␈ε↔g␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	f␈↓ ∧s␈ε	r␈↓ ¬∂␈ε↔g␈απ[␈αλf␈↓ ¬W␈ε	s␈↓ ¬s␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αif␈↓ πX␈εβPr␈↓ πy␈εβ(␈↓ λ∧␈ε	U␈↓ λ=␈ε↔2␈↓ λ`␈ε	A␈↓ λv␈εβ)␈α
=␈↓ 	5␈εβP␈α↓r␈↓ 	W␈εβ(␈↓ 	b␈ε	U␈↓ 
~␈ε↔2␈↓ 
=␈ε	A␈↓ 
S␈εβ)␈α
=␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈β∞h␈↓ ↓R␈εε2␈↓ ∧
␈εn␈↓ ∧␈␈εn␈↓ ¬b␈εn␈↓ λ→␈εr␈↓ 	w␈εs
␈β∞o␈↓ λ$␈ε
n␈↓ 
↓␈ε
n
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈εβP␈α↓r␈↓ α5␈εβ(␈↓ α@␈ε	U␈↓ αw␈ε↔2␈↓ β~␈ε	A␈↓ β0␈εβ)␈α	=␈↓ βo␈ε	p␈↓ ∧␈εβ.
␈β∂⊂␈↓ αU␈εt
␈β∂⊗␈↓ α↑␈ε
n
␈β∂>␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂B␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗De|␈α␈ne␈απsu␈α␈bse␈α␈que␈α␈nce␈απru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈↓ ¬↑␈ε↔R␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε↔␈ε↔R␈↓ ε@␈εβ,␈↓ εQ␈ε↔R␈↓ εy␈εβ,␈↓ π␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π9␈εβsuc␈α␈h␈απtha␈α␈t␈αλAlgo␈α␈rithm␈απW␈αλc␈α␈an␈απbe␈απu␈α␈sed
␈β∂L␈↓ ¬y␈εε1␈↓ ε3␈εε2␈↓ εm␈εε3
␈β∂i␈↓ ↓H␈εβwith␈α
these␈α
rules␈αto␈α
giv␈α␈e␈αa␈α␈n␈αe{ect␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αalgo␈α␈rithm␈αto␈α
con␈α␈struc␈α␈t␈αa␈α[␈αε0␈α␈,␈αε1)␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αsa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing
␈β⊂⊃␈↓ ↓H␈εβDe␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αR1.
␈β⊂J␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂N␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈35␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(D.␈α	W.␈αλL␈α↓o␈α}v␈α␈elan␈α␈d.)␈α∩S␈α␈ho␈α}w␈α	t␈α␈hat␈αλif␈αλa␈αλbin␈α␈ary␈αλseq␈α␈ue␈α␈nce␈ε↔␈αλh␈↓ λh␈ε	X␈↓ 	∂␈ε↔i␈εβ␈α	is␈αλR5-ra␈α␈nd␈α␈om,␈α	a␈α␈nd
␈β⊂X␈↓ λ␈␈εn
␈β⊂r␈↓ 	9␈∧⊂r	9α"␈↓ ≤␈εε1
␈β⊂u␈↓ ↓H␈εβif␈ε↔␈αh␈↓ ↓r␈ε	s␈↓ α
␈ε↔i␈εβ␈αis␈αan␈α}y␈αco␈α␈mp␈α␈utab␈α␈le␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αa␈α␈s␈αin␈αD␈α␈e|n␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αR4␈α␈,␈αwe␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	9␈εβPr␈↓ 	Z␈εβ(␈↓ 	e␈ε	X␈↓ 
≡␈εβ=␈α
1)␈ε↔␈α	∃
␈β⊃␈↓ ↓⎇␈εn␈↓ 	|␈εs
␈β⊃∧␈↓ ≤␈∧⊃∧≤α
␈β⊃ε␈↓ ≤␈εε2
␈β⊃π␈↓ 
ε␈ε
n
␈β⊃~␈↓ βl␈εε1
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈εβP␈α↓r␈↓ α*␈εβ(␈↓ α5␈ε	X␈↓ αn␈εβ=␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α
∀␈↓ β|␈εβ.
␈β⊃(␈↓ αL␈εs
␈β⊃+␈↓ βl␈∧⊃+βlα
␈β⊃-␈↓ βl␈εε2
␈β⊃.␈↓ αV␈ε
n
␈β⊃7␈↓ αλ␈∧⊃7αλα"
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα168␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.5
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈ε↔␈αh␈↓ βU␈ε	X␈↓ β⎇␈ε↔i␈εβ␈αbe␈αa␈αb␈α␈ina␈α␈ry␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓s␈α\␈α␈rand␈α␈om␈α␈"␈αacco␈α␈rdin␈α␈g␈αto␈αDe|␈α␈nition
␈βα5␈↓ βl␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβR6␈α␈.␈αS␈α␈ho␈α}w␈αthat␈αth␈α␈e␈α[␈αε0␈α␈,␈αε1)␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈ε↔␈αh␈↓ ¬H␈ε	U␈↓ ¬n␈ε↔i␈εβ␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈αin␈α
bina␈α␈ry␈αn␈α␈otatio␈α␈n␈αby␈α
the␈αs␈α␈chem␈α␈e
␈βα\␈↓ ¬]␈εn
␈ββ≥␈↓ ¬)␈ε	U␈↓ ¬U␈εβ=␈α	(0.␈↓ ε$␈ε	X␈↓ εH␈εβ)
␈ββ(␈↓ ¬?␈εε0␈↓ ε;␈εε0␈↓ εS␈εε2
␈ββE␈↓ ¬)␈ε	U␈↓ ¬U␈εβ=␈α	(0.␈↓ ε$␈ε	X␈↓ εH␈ε	X␈↓ εl␈εβ)
␈ββP␈↓ ¬?␈εε1␈↓ ε;␈εε1␈↓ ε←␈εε2␈↓ εw␈εε2
␈ββm␈↓ ¬)␈ε	U␈↓ ¬U␈εβ=␈α	(0.␈↓ ε$␈ε	X␈↓ εH␈ε	X␈↓ εl␈ε	X␈↓ π∂␈εβ)
␈ββw␈↓ ¬?␈εε2␈↓ ε;␈εε3␈↓ ε←␈εε4␈↓ πβ␈εε5␈↓ π~␈εε2
␈β∧∀␈↓ ¬)␈ε	U␈↓ ¬U␈εβ=␈α	(0.␈↓ ε$␈ε	X␈↓ εH␈ε	X␈↓ εl␈ε	X␈↓ π∂␈ε	X␈↓ π3␈εβ)
␈β∧∨␈↓ ¬?␈εε3␈↓ ε;␈εε6␈↓ ε←␈εε7␈↓ πβ␈εε8␈↓ π&␈εε9␈↓ π>␈εε2
␈β∧<␈↓ ¬)␈εβ.␈αε.␈αε.
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈εβis␈αran␈α␈do␈α␈m␈αin␈αth␈α␈e␈αsen␈α␈se␈αof␈αDe|␈α␈nition␈αR6␈α␈.
␈β¬0␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβ[␈ε	M37␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(D.␈αCo␈α␈pp␈α␈ersmith␈α␈.␈α↓)␈α~De|␈α␈ne␈αa␈αse␈α␈qu␈α␈ence␈αtha␈α␈t␈αsa␈α␈ti␈α↓s|␈α␈es␈αDe|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αR4␈αb␈α␈ut␈αno␈α␈t
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβDe␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αλR5.␈α∪[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α
Con␈α␈sider␈αλch␈α␈ang␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ ε⊗␈ε	U␈↓ ε8␈εβ,␈↓ εJ␈ε	U␈↓ εl␈εβ,␈↓ ε␈␈ε	U␈↓ π ␈εβ,␈↓ π3␈ε	U␈↓ πU␈εβ,␈↓ πg␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ⊗␈εβi␈α↓n␈αλa␈αλtru␈α␈l␈α↓y␈αλra␈α␈nd␈α␈om␈αλsequ␈α␈en␈α␈ce.]
␈β¬b␈↓ ε+␈εε0␈↓ ε`␈εε1␈↓ π∀␈εε4␈↓ πH␈εε9
␈βε
␈↓ ↓V␈ε∪38.␈↓ α␈εβ[␈ε	M49␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(A.␈α
N.␈α
Kolmo␈α␈goro␈α}v.)␈α≥Giv␈α␈en␈↓ ε%␈ε	N␈↓ εD␈εβ,␈↓ ε[␈ε	n␈↓ ε|␈εβa␈α␈nd␈↓ π>␈ε	∂␈↓ πK␈εβ,␈α∞wh␈α␈at␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓lest␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f
␈βε1␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αλi␈α↓n␈απa␈αλset␈ε∪␈αλA␈εβ␈αλsu␈α␈ch␈αλth␈α␈at␈αλn␈α␈o␈αλ(␈↓ ¬;␈ε	n␈↓ ¬O␈εβ,␈↓ ¬↑␈ε	∂␈↓ ¬k␈εβ)-ran␈α␈do␈α␈m␈αλbina␈α␈ry␈αλse␈α␈que␈α␈nces␈αλo␈α␈f␈αλl␈α↓e␈α␈ngth␈↓ 	x␈ε	N␈↓ 
∨␈εβex␈α␈i␈α↓st␈αλwith
␈βεY␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈t␈αto␈ε∪␈αA␈εβ?␈α~(␈α↓If␈αexa␈α␈ct␈αfo␈α␈rm␈α␈ulas␈αcan␈α␈no␈α␈t␈αb␈α␈e␈αgiv␈α}en,␈αc␈α␈an␈αasy␈α␈mpto␈α␈tic␈αform␈α}ulas␈αbe␈αfou␈α␈nd␈α␈?
␈βπ↓␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
of␈α
this␈α
pro␈α␈blem␈α
is␈α
to␈α
d␈α␈i␈α↓sc␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈αh␈α␈o␈α␈w␈α
close␈α
th␈α␈e␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈α
(35␈α␈)␈αco␈α␈mes␈α
to␈α
b␈α␈eing␈α
\␈α␈bes␈α␈t
␈βπ(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈.␈α↓"␈α␈)
␈βπ[␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈45␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(W.␈α	M.␈αλSc␈α␈hmid␈α␈t.␈α↓)␈α⊃L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬Q␈ε	U␈↓ ¬␈␈εβbe␈αλa␈αλ[␈α¬0,␈αε1)␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce,␈α	a␈α␈nd␈αλlet␈↓ 	∂␈ε	↔␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	u␈↓ 	L␈εβ)␈αλbe␈αλth␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βπe␈↓ ¬g␈εn␈↓ 	≥␈εn
␈βλα␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
no␈α␈nn␈α␈egat␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ∧)␈ε	j␈↓ ∧D␈ε↔∀␈↓ ∧q␈ε	n␈↓ ¬∩␈εβsuch␈αth␈α␈at␈α
0␈ε↔␈α∀␈↓ εt␈ε	U␈↓ π"␈εβ<␈↓ πO␈ε	u␈↓ πc␈εβ.␈α⊃Pro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t␈α
the␈α␈re␈α
is␈α
a␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βλ
␈↓ π	␈εj
␈βλ*␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈t␈↓ αN␈ε	c␈↓ αf␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at,␈αfor␈αan␈α}y␈↓ ∧w␈ε	N␈↓ ¬!␈εβa␈α␈nd␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αan␈α}y␈α[␈αε0,␈α¬1)␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈αh␈↓ λ>␈ε	U␈↓ λd␈ε↔i␈εβ,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βλ4␈↓ λS␈εn
␈βλy␈↓ ¬≥␈ε↔j␈↓ ¬'␈ε	↔␈↓ ¬E␈εβ(␈↓ ¬P␈ε	u␈↓ ¬d␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ε∨␈ε	u␈↓ ε3␈ε	n␈↓ εG␈ε↔j␈εβ␈α
>␈↓ π∧␈ε	c␈↓ π↔␈εβln␈↓ π8␈ε	N
␈β	∧␈↓ ¬4␈εn
␈β	E␈↓ π↓␈εα(
␈β	H␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
some␈↓ αL␈ε	n␈↓ αj␈εβan␈α␈d␈↓ β*␈ε	u␈↓ βG␈εβwi␈α↓th␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧V␈ε	n␈↓ ∧t␈εβ<␈↓ ¬≡␈ε	N␈↓ ¬=␈εβ,␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ε∃␈ε	u␈↓ ε2␈εβ<␈α
1␈α␈.␈↓ π
␈εβIn␈α
o␈α␈ther␈α	wo␈α␈rds,␈α
no␈α	[␈αε0␈α␈,␈αε1)␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α	can
␈β	m␈↓ ∧⊃␈εα)
␈β	p␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈ε⊂␈αtoo␈εβ␈α
equ␈α␈i␈α↓d␈α␈istribu␈α␈ted.
␈β
≡␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
"␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβ[␈ε	16␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(I.␈αJ␈α␈.␈αGo␈α␈od␈α␈.␈α↓)␈α→Ca␈α␈n␈αa␈αv␈α␈alid␈αtab␈α␈le␈αof␈αran␈α␈do␈α␈m␈αdigits␈αco␈α␈n␈α␈tain␈α
j␈α↓u␈α␈st␈αon␈α␈e␈αmispr␈α␈i␈α↓n␈α}t?
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∩∪~≡01@APSTXZ[\qxx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=∪!"'()*+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=!"'()+,-./012345679:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNPRSTUW[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{||/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=*,.0169Aacdefghilmnoprstuwyy/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+./0123456789<</FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+,0123456789<gll/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=01233/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=∂∩∀∃⊗↔→ABCINPSTUVWXYabcdefjklmnpqrstuvxyy/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=∂∩↔→0123456789AGHMNSTUVXZbcfijkmnpqrstuvxyy/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∂Nabfjkmnpqrstxx/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=Nfijkmnrstt/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=Nkmnprtt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=?ABCDEHIMNOQRSTUWW/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=∞⊂∩∪_"'(),-.2456:;?ABCDEFGHIJKLMNPRSTUWZ\abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}}/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=:HMabdehiklmnoqrstuu/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=,-.0123456789?ABCDEFILMPQRSTWabcdefghiklmnopqrstuxy||/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789AA/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓ε∩∀∃→≤ !12RS[bcfghijp⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓∀∃≤123MR[bcfghijj/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=↓∀∃!011/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=∀∃!1bcc/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.35?ACDEHIMNOQRSTUWXX